2019 лекции 11-16 (1247450), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Сложность здесь, правда,состоит в том, что теплоемкость сама может зависеть от температуры и объема, то естьможет быть так, что cV  cV (T ,V ) . Но при этом необходимо заметить, что зависимостьcV от объема можно найти, используя (15.23):    p  2 p  2U 2U cV TpT  2 V T V T T V  T   T V T V V15. 5. Термодинамическая температура из объемного расширенияТермодинамическую температуру можно найти, не используя непосредственноцикл Карно, а опираясь на формальные соотношения Максвелла. Рассмотрим, как этоможно было бы сделать из величины объемного теплового расширения произвольноготела – реального газа, жидкости или твердого тела.

Из соотношения Максвелла (15.22)следует, что Q  S  V   T    T  . T  p p T p TОтсюда можно написать, что1  ln(T / T0 ) , V Q p p T(15.24)51где Т0 есть некоторая удобная для использования реперная температура. С помощью(15.24) можно провести калибровку показаний термометра через изменение объема егорабочего тела.Отметим, что для идеального газа с температурой Тид. газ для определенной из(15.24) температуры будет иметь место соотношение пропорциональности, Т = const ∙Тид.газ(читатель может убедиться в этом сам).

Значение константы в этом соотношенииопределяется из дополнительного условия, что разность температур между двумяреперными точками (замерзания и кипения воды) должна равняться одной и той жевеличине (100 К), отсюда const = 1.Покажем, как калибровка на основе (15.24) может выглядеть на практике. Пустьимеется сосуд с поршнем и с некоторым рабочим телом внутри, объем которого V припостоянном атмосферном давлении и должен послужить термометром. Рабочее телонаходится первоначально при температуре T = Т0 первой реперной точки – пусть это будетточка таяния льда, – причем точная величина Т0 пока неизвестна. С помощью поршняувеличим давление на малую величину Δр и измерим с помощью изотермическогокалориметра (см. п.

11.4) количество теплоты ΔQ1 < 0, которое необходимо от тела отнять,чтобы температура при этом не изменилась. Неизменность температуры можнопроконтролировать с помощью любого некалиброванного термометра, погрешность егопоказаний в данном случае значения не имеет. Примем, что в (15.24) можно считать, что Q Q1 p   p . Вернем давление к атмосферному, тело немного подогреем, так, чтобы егоTобъем изменился на ΔV.

Примем, что в (15.24) можно считать, что ln(T / T0 ) ln(T1 / T0 )  ln(T / T0 ) , где Т1 – температура после этого нагревания. VVVpТогдаln(T1 / T0 )  pV ,Q1что позволило бы определить температуру Т1 при известной Т0.Если повторять эти действия, после i -го измерения (i = 1, 2, 3 …) в соответствии с(15.24) будем иметь:pln(Ti / T0 )  ln(Ti 1 / T0 )   i Vi .Qi(изменения давления объема каждый раз могут быть разными). После n измерений врезультате суммирования всех этих равенств получится:nln(Tn / T0 )  i 1pVi  f (Vn ) ,Qiгде f (Vn ) есть полученная в этом эксперименте некоторая функция, которая в условияхпостоянства давления должна быть однозначной функцией объема Vn .

При достижениипри N-м измерении второй реперной точки – кипения воды – из этой зависимости52получим логарифм отношения температур кипения ТN и замерзания Т0 как f (VN ) , где VN –соответствующий объем. Положим теперь, что ТN – Т0 = 100 К; тогда из имеющихся двухусловий обе эти температуры определяются. В итоге получится калибровка зависимостиизмеренной в кельвинах температуры тела Т от его объема V при постоянноматмосферном давлении в виде T  T0 exp( f (V )) . Причем температура Т совпадает свведенной п. 1.3 температурой идеального газа.15.6.

Метод цикловПолезные термодинамические соотношения можно получать также с помощью такназываемого метода циклов. В этом методе исследуемая система используется в качестверабочего вещества в специально подобранном цикле Карно. Обычно это бесконечномалый цикл, для которого разницы между температурами нагревателя и холодильника имежду минимальным и максимальными объемами системы берутся бесконечно малыми.К качестве примера применения метода выведем еще раз зависимость (15.23)внутренней энергии U тела от его объема V.

Будем рассматривать внутреннюю энергиютела как функцию температуры и объема: U = U(T, V). Пусть температуры нагревателя иохладителя различаются на малую величину ΔT (ΔT = T1 –T2  0), а объемы V1 и V2 намалую величину ΔV = V2  V1 0. Тогда все кривые на pV-диаграмме заменяютсяотрезками прямых, и цикл Карно (рис. 15.3) выглядит как параллелограмм 1234.p1T14'42Рис. 15.3T23'3VV1V2Работу за весь цикл ввиду ее малости будем обозначать как δА, соответственнополученную от нагревателя при расширении 1→2 теплоту за δQ1. В соответствии стеоремой Карно (см.

п. 15.2), и формулами (15.1), (15.5) для цикла КарноδA = δQ1(1 – Т2/Т1) = δQ1 ΔT / T1.(15.25)Полученная теплота при постоянной температуре T = T1 согласно первому началутермодинамики есть U Q1   V  pV . V T53(изменением давления здесь пренебрегается, его учет привел бы к появлению величинвторого порядка малости).С другой стороны, работа δA равна площади цикла, т.е. площади параллелограмма1234. Видно, что его площадь равна площади другого параллелограмма – 123'4' – см. рис.15.5.

Тогда работа δA есть: p A  ( p(T1,V1 )  p(T2 ,V1 ))V    TV , T V(ввиду малости ΔT разность давлений заменяется производной, умноженной на ΔT).Тогда подстановка полученных выражений для δA и δQ1 в (15.25) и сокращение наΔV и ΔT дает U  p   p T  , V T T Vчто соответствует (15.23).Заметим в заключение, что, используя это выражение, разности теплоемкостей cp и cVиз соотношения (15.17)  U   V c p  cV     p  .  V T  T  pможно придать вид p   V c p  cV  T   . T V  T  p(15.26)Итак, если уравнение состояния известно, то можно найти зависимость внутреннейэнергии от объема, а используя (15.26), вычислить разность теплоемкостей cp и cV. Дляидеального газа уравнение состояния имеет вид pV = νRT и(U / V)T = 0, а cp – cV = R.(Здесь теплоемкости cp и cV молярные.) Таким образом, для идеального газа внутренняяэнергия не зависит от объема (закон Джоуля) и справедливо соотношение Майера (11.18).54Глава 16.

Приложение: термодинамика фотонного газа16.1. Фотонный газ, черное излучениеЛюбое тело при температуре выше абсолютного нуля испускает электромагнитноеизлучение. Излучение испускают молекулы и атомы вещества при переходах междусвоими электронными, колебательными и вращательными уровнями. Свет – излучение ввидимом спектральном диапазоне, его испускают все тела при нагревании до температурпорядка нескольких тысяч градусов. При очень высоких температурах возникает такженевидимое ультрафиолетовое излучение.

Тела при обычных температурах испускаютизлучение в невидимом инфракрасном диапазоне.Электромагнитное излучение можно трактовать как поток частиц – фотонов. Длятермодинамического анализа свойств излучения необходимо его рассматривать вравновесных условиях. Такие условия реализуются внутри замкнутой полости сизлучающими стенками – см. рис. 16.1. В такой полости в стационарных условияхнаступает равновесие между стенками и фотонами, что позволяет рассматривать этусистему как термодинамическую. Здесь очевидна аналогия с заключенным в сосуд газоммолекул.

Более того, из-за линейности уравнений электродинамики взаимодействиемежду фотонами можно считать полностью отсутствующим, что соответствует моделиидеального газа.Пусть рассматриваемая полость изготовлена из массивного материала, так чтонаружу излучение не проходит, и пусть этот материал находится при постояннойтемпературе. Стенки полости излучают фотоны и поглощают их, также имеет местоотражение фотонов от стенок. Теоретически удобно рассматривать случай отсутствияотражения, тогда есть только два процесса – поглощение и излучение.

Это такназываемый случай излучения абсолютно черного тела, а само такое равновесноеизлучение называется черным.Экспериментально излучение абсолютно черного тела можно наблюдать черезмалое отверстие в полости из любого, даже отражающего материала. Действительно,входящее извне через это отверстие излучение претерпевает многократное отражение ипоглощение внутри полости, за счет чего оно практически полностью поглощается;излучение же наружу через поверхность такого малого отверстия обусловлено толькоизлучением самих стенок полости.

Характеристики

Список файлов лекций