Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(42.17) В компонентном ниде уравнение (42.16) записывается так; Нг бе дхз ~~ о У~ ' ' ' (42 18) В силу зтвх уравнений будет справедливо соотношение й(т! т Й(з! х с~ ;, „ - к , ~/г — Й, ) !1! — =- — =- — С.х 2--Е('2 — ' г — * /= ыь я ае ям~;- ° я ( хне ° л / где черта над величиной означает знак сопряжения. Воспользуемся неравенствами йен !2„!щ )х !, !Аз/ш//А!! !Х!.
(42.20) Первое из ввх очавдно, а второе можно получить применением неравенства Коши-Буняковского (Еа„8„) в(Еа.„)(ЕВ'„): я я з/и Щ Ах!=!Е!Еа .хх! ] -/Е(Л!а !!х,!) / а/Х(Е!а (/(Е/Х~~)]=!!А!!!х!. Тогда нетрудно установить, что для ф, вниду условий (42.17) и 42.16), будет справедливо неравенство !У(в(-!!(/'/!!/((/Р !/а6 !!У '!!(!У!! М= У )1), где число 7=6)!ц'!! Вц!! может быть сделано сколь угодно назым 234 эн счет 5 . Опираясь на неравенства [41.13), (42,20) з (42.21), мозно сведующим обрезом оценвть сверку слагаемые правой часта (42.19)! Я А д ЕЯеА )2 ! й- Яд.)Е ! - ь!е! ъсо -'с с~,й, у,н,)-а ~,! .)яГру,!)~(Р.! У" ~)1!. По лемме 15 чвсло у монет быть сделано сколь угодно мама[. Ив [42.19) в [42Д2) п)входам к не)ввенству с))г! — л~ (.г(~~~() )2! Отсюда ннтег!мронанвем веходем [~[- )1.)Я(" ~'" ", ~-КС .) ° (42.25) Выберем полоавтельные чвсла )~ в О! тнквы обравом, чтобм выпелннлвсь неравенства,~- -!' > о в ос,~-г.
Тогда зо неравенства (42.23) легко надеть, что )о[о)[а )7,! в Кот lуя)! =О, (42.24) т.е. резекне н б сметены (42.16) асзмптотвческа устойчиво. Поскольку некто)щ х. а 7 склеены язвенным преобравовннвем Х Уе, та будем знать ) х ! с з [) )! ! у ! а )[[) [[.
)! [) ' )! ! х, ! е " ' " '4) [ [42.25) донное неравенство получена для моаевтов времена, блвввах к ааЧЕЛЬНОМу, КОГда )Х ! с Л, НО д СВЛу убннныая Х С тЕЧЕВЗЕН Зроыени оно будет спроведлвво для всех 4 > 4, .Ио (42.25) следует, что ! Ж (Е) )Л. Н0 Ф )! [) )! ! то ! м Ж» Я (4) )- О е Следовательно, реовнее з = о свстемы (42.1И тнкве есвмптотвческв устойчвво. Теорема доказана. Росснот(зм еще одну теорему, вырвзевщую достаточные условна неустайчввостн по линейному Прнблваеваю) ТЕОРИАА ?1.
Еслв хотя бы сдав корень характе)аствческоге урнвненвя линейного преблакевая (42.12) выест полпаительную дей- ствательнув часть, то нулевое решение нелинейной свстеин (42.11) неустойчива. Поповен теореиу для случая, когда характеристическое уревневае ае аиеет кореей с нулевой дейстнвтельвой честьш. Буден счатать, что снстеиа (42.11) пронедева к заду (42.18).
Пусть среди корней характеристического уравнивая поране и штук (~л пл «т«) ииешт полокительные, а остаеьаие - отрицательные действительные часта. Полонин б=«н«сне ГЛх«"'«Ялэ Л«««х« ° «Л««««)>0 ' (42 28) и Вычнслвч произнопвуш по вреневи от внракения О Е Н„)-2' /г„/ . Пользуясь системой (42.18), получив Ыб с) — =,х (ЕЄ -Е2„1,,~= с .« " ~,«оЕок~« ~е,«~ )«Д(у ««у й ), -тм.1 ) )'Л у " «' „~ х~~~н~х ~у)х~~1о) ~ (~Яфй«).
."- чезчз здесь яя1«(д-1,„„п) и Ь(-я„) (У*л«1«,.«л«) через К и ззчотон кокуле слзгееонх всех остольнпх суки, буден иметь «ь 2пх « ~«ъ '2««) ~75))15))~з) «««) «))~х! ' б«х х ххз т.«О копанье„я дэлзе те ке опенки (42.23), что а пре доксзатедьстве прес.: уксы тсороин, а тезке очевидное не)авенство )2) ° «' 1,1 ?6; нниден сЫ вЂ” „, ъ2Й-~-~))л! ='Я(б'-)-'()~ Ы нли, усллнеае его, с'6 бь — -б а>О « б;= б-Х-о >О. откупе, интегрируя по вреиена от с«до е и заменяя величину (х ее знрскеннеи, находки Полскнтсльность бх всегда иоана обеспечить путеи долквого набора оолых величин у н ( . уинокеи зто неравенство на осер~-б,('с-~,)), получив -,-', Сбе "('.'))> 3.и.(+))-С ин)) .е' ЕЕ,и')-Е,н,'( ~ . (43 3у) 4 '" Ю к(4.4.) " .4 4 г.-с т.и кЧ ч*лм Всегда асано, считать, что волана 6, пслозательвв, ыоловвз, а честности, 3 -с( т-а~1, ..., л>) .
тогда вв верввевотвв (43.ж) вытекает, что, по крайнев мере, одна зе зелвчвв И„l ое впеюевеа неогрннвченно возрастает. В овлу ооотыоаеная /х/>у((й И/ бУДет неог)еныченно воеРвствть в )У!, хота )хе(< 8, т.е. ыУлезее решение свстемы (42.11) неустойчиво. Теорема доказана. 4.Нрвтервй вовмаетрвческей устойч в в о с т а. Выме устнвовнено, что в свщвовврвом ступа нулевое решение нелвнейных урнвневай для зоеыуыеаай вовмптотачеокв уотойчвво, ослы все ко(аа хорвате)мотяческоге урвввеаая для лавейвого праблавенвя (41.5) Д(1)=а,й а,Я.~ '+, ° +а тЛ+а -О а,>б (43.38) вмешт отрицательные действительные часты. Отсюда ясна прыктачеокея онечымость к)мтервев, прв которых выест место отмечеавее озойство корней.
Спреведтвзо схедухцее П р е д л о к е н в е. Необходвмнм усноввем отреывтельвеста цекствительыых частей кормой хнректе)астяческого урезвеввя юаяется полоаетельвость его ковКипаеытоз с~~ > Ор ОЛ > 8 ° э йт > О . (43,29) действительно, пусть в урезанная (42.28) М„(й 1,...,4) - вещественные в хеба 45е ( Г 4,„, — ) — коыплековые ке)хи,п)вчем Л О (В-Г,...,с~), т (О (4=~,...
— ~ ) (42,5О) Тогда для ыногочлевв 4(2) будет оп)ыведлвво предстнзлевае П~Х)-а, ПО-1т) ПР-хе-45е)ГХ-ге>45 ) -а.ПГа-Я„) П("ЯЖх ° г >5 ), 4 'е " е (42.31) В силу не)мяеыстз (42.50) кеа)па мноавтель в (42.31) высот пваеввтельные ковфунпвенты, пестову будут полоавтелыы коэр)мпаеыты з поленова с(Л) . Предловенве обосновано.
Что касается неабходвмых в достаточвых ускозвй "устейчввеотв' ногочлена б (1),то онв устананлвэаются более словным путем.Тазе условвя найдены н 1875 году Раусом в незаззсвмо от негс н 995 году Гурнвцем; п(введем мх без доказательства. У с л о и в я Р а у с а - Г у р в з ц а. Чтобы все корне (ювневвя (42.28) авеля от)юплтельвые нейстнвтельные части, необ>нкма в достаточно, чтобы была паловвтельны следующйе определвте- ~ Гурввош: а, О, аэ... ая,„ г а, ал а„... аз >0. 0 а, 0,...О 0 0 0... О,е [42.32) метам, что когда и определителе появляется коэф(шцменто с кексом, бокшэкм е, 'го его следует заменить нулем. П(ш чвсловых коаЩапвентех характеристического уравнеаня услон (42.32) легко проверяются. Затрудненвя псннляются в случае, гда этв коэф(апвеаты содерват парамет(ы, пуа нычвслеввв опредегелей нысоиаго порядка.
Представляют поэтому антерес более прозе услоняя, устзноалеввые з 1914 г. Льеваром в Швпаром, которые (ераат меньше детерквяеатных неравенств. Прэведем вх такке без ~азательстаа. У с л о з в я Л ь е я а р а — Ш в п а р а. Чтобы мнагочлен 1) п(а а,> о ввел все корав с стрвпательвымм действвтельнычастямв, необходвмо з достаточно, чтобы нсе коэффициенты многочлева д( 1) была полоквтельны б, >С, ад>О,,„, а,„. 0 ' (42.33) вмеля место дете(шзнантные неравенства (42.34) сь, кан в ренее, через б,с обозначен определитель Гурввца пока,С.. $43.
Пентробеаный регулятор )днам нз наиболее известных устройств для ентоматвчеокого регу~нанвя работы мешины является пентробеаный регулятор Уатта. Этот ~лятор успешно отвечал своему незначенвю с момеата создания в 238 18 веке к до середины 19 века. Затон в рееузьэщте унда кеастур~ тинных вэмоненей ов стел 1аботвть неиадеаао. Вмипеградозй мисник услонвя устойчазой роботы регулятора к дак ревомеадвпвв пе вх пректнческоиу ооуществкеавв. Это зыдвпаееоя аосиедоививе Випегрн ского показало начало соэдинав теории ввтоаатнчеоаоге рогулврезанкя иваны. 1,устройство а урвввоназ дениев н з я р е г у л я т о р а.
Иевтробеааый регуянтор 1рнс.йй) продстнвэяет собой кертнквльэмй стеркопь, который монет нравиться вокруг вертвкаэьвой оов з з верхней часов котороге крепятоя ын аврыврнх двв одвннкащох сторона дкваой 8, аосущях ае концах груэы мессой ю каодый. Стеравв с помощьв тяг пропятс» текин к опецвнльной муФте, которнн монет скозьокть идокь зертакакьвого стерви. Регулятор присоединяется к паровой макине дзя педкеровваз реввомерноств ее хода.
Конструктивно ето осущоствэяотон тово меховее кокосе пиреней ванны пущ 1 1 позови зубчатой передача сзяэнно с иортнкезьпав стерн мог ыем Уогуяяторн, в муФта регуяяторэ с поиощьа эяг свиэоан с эаояовкой, рогуяаурммть ющей подачу пара н 1щбочао е цялиндры. Регуяятор внотреек ын опроиияепвуи окореоть нрощеннн; при эовеазеаав нрэщензя он унеявчкваот пеплуавоп мариины кнчу пара и цпляндп~, прн ускоренви врещензя - умевьРво.