Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 35
Текст из файла (страница 35)
93) Ъ(9, 9) 3(Р .Р.) ~ х Е(9, 9 ) 3(% )А ) 3(Ч,Р„)., (аС~,,~ДВЯ„,Р1 а(Ь,Р)3(~,РЯ Н 5(Т.Р,)дЯ„Рд Просуимнруем этв вадества по а1 от 1 до и ° тогда с учетом вы- рнкення скобка Пуессоан получям ( Ч,9') з~ ( — '(~)е~Ят)+ — '(Ра~Ре)1+~ — '— ~-(~е1Рс) Согласно условвян кевонвчноств (37.24) отсюда яаходвм ровеястно (Р 9')=-~ — '8„--'„'Г ='' м-(ч,9(), д(~Р, Ч') р В(9,(р а(о Р)се 0 3(1 Р) С которое я доказывает теорему. В честном случае уннзняентвого кввоыачеокего преобреяозанзя свойство (37.25) првннмеет оообеняо простой ввд Г % 9Ф) = ( Ч 9/Э к выракнет теперь свойство внзарнватяостк онобкн Пуассона по от- ноаевею к такам преобразована»е.
205 Глава УП убуПИЧИВОСЧЪ ВИЖЖНИП Известао, что при достаточно гладквх салех дифференциальные ураввенвя опредевшт дззвеиве свстемы аз лшбото начального состояавя. Однако опыт показывает, что не все теореткчесни воэмовные давления в действвтельвоста осуществяяштся. Пушнины кроится в том, что требуемые начальные условна всегда асуществкнштсн ве вполне строго, а лишь с некоторой точностью, Это обусловлеыо как физической аевоэмовностьш абсолютно точно реализовать этя условвя, так а тем, что к возмуаенвш вачзльвмх условий фактаческа оводатся влвяняе вояках второстепенных а случайных факторов, ве учтенных п1ш схематизацви явлеаия. При махах ие начальных возмущенных для одних дввкеяяй отклоневвя всегда осташтсн махымз, так что фактическое дзикение происходит вблизи требуемого, для другах - отклонения со временем становятся либо большими канечнымя, либо неограниченно возрастают, в фактическое дзвкение значительно отлвчается от требуемого.
Первые днзкения относятся к числу устойчивых, а вторые - к неустончивым. Проблены устойчивости двивения вОЗНихавт Как В теХНВЧесКИХ,тая и з естественно научных вопросах. К их числу относятся исследованвн явииенвя гвроскопических свстем, систем автоматического регулирования, колебательных двивеняй, дввкений самолетов, снарядов, ракет; в небесной механике - при рассмотрении вопроса о длительыом сохранении структур Солнечной систены илз двойных эвезд и т.я.
Задарен устойчивости зазевались многие выдахщиеся всследователв, в том числе Раус, Пуанкаре, Жуковский. наиболее полное решение ээлачв дана в 1892 году Ляпуновым. Исследования Лякунова была развиты в ртде направлеазй Четаевым в его школой. В настоящее время устойчавость двикения представляет собою широко развитуш тео- )вв. Задача устоачввоств реаввтся во всех обявотах некована. Пояятаю устойчивости двавевия воино продавать резипй санса.Наиболее общзм в венина по свопы п)кпцоаеввю явхвется пезятве уотоичивостн дзвкения по Ляпунову.
Это восяедаео в будет рассматривать ся в дольнейием. $38. Постановка задача об устойчивости двааеная 1.устойчвзость и всвнптет ° ческая у с т о и ч в з о с т ь. Предпоковви, что дз иване Механической системы определяется двфреренпвицьвнмы уроваенаяме У(4,, „.,т ) (Д х,„,,м), Н ю сй (38.1) правые чести которых язвявтся гохоморцаымв функпиямн переменных Это могут быть, например, легренвезы урезяезвя з обобщенных коорцояетвх, предстезяеввыо з воде уравнений первого порядка тогде РОль фрыкций ~ вгРоцй коодцвнвты 4/к з скорости <)о.
т яо,зяз Гзмвльтонозы урмзноная бь а~, ' бо б)к идя которых фунипвяии у„слуввт координаты с в ныпуяьсы р прочем е Уе з т.д. Пусть ззоостпо некоторое частное реаенве свстемы (38.1) 4)„ ~„(4) ( Й 1, , )и ), (38.2) отвечзвщее нечвльопа услонвв: прц т 4,, у„со) ч„' (/~ г,...,т~, Определяемое им двазеыве называют новоомущонннм. По отноаонав и везозмущеавому дзнкенав зое д)итие решения паствам (38.1) у„- р„14) (д- С...„) (38.3) опредеяявт так называемые возмущенные двеаеввя. Возмущенные двивения провоходят пох действием тех ве сил, что н оозозмущовнее; различие изиду вима соотовт з чзмеаенои, или,кек говорят, з возмущении ввчвкьвых условий. разности значений веяачав у„дия ьознущенного в не омущенвого двзвевид обозввчввт через ХИ) ~„(4) ЯЙ) (М -~ л) .~8.4) 207 а яззнззют зозмущеывяыа «лв откяоыеваяма.
Поскольку вевоэмущевное дзааеняе эедаво, то откэояеввя зпохяе определяют возмущенное двакевае. Очезадво, что пра совпздеыва зозвущевыого дэвкеявя с ыезоэыущеыыым откяояеввя обращаются в вуяь, т.е. незозыущевяоыу двааеяаю соответствуют вухезые откхоыеяая. Уравыевва двавеввя свстемы (38.1) мозно представать з фо)ае уразыеыая для откковеыай. С этой целью вырезан тат факт, что урззяеывя ыеваэмущевыого дзааевая явхяются реаеввеы (38.1): дФ ~" =У,(С,~„",~ ) (ы-г,,т), (38.5) а почлевяо вычтем соответствуюпае урзавевая (38.1) в (38.5); тогда с учетом фо)муа (38.4) будем авета д~к ~г ~к ((чх~ "тХм) (я У~" ~ы)у (38.6) где пояоаеяо )('(т х)= У Н,~<» ~ У (т хг(~)7, (38 т) Подобно Уе, фующаа Хе тэкае голоморрыы па переменным с в х.
Св- стема (38.6) а язяяется урев~еэвяма для атккояенвй. Зтв урззнекая езэызают тыкве уревнеывямв возмущенного даваемая. Из зырваеяая ~38.7) вытекает, что Хе(е,о)ыа (/с К..... е), следовательно, свстеыа урвзвеывй ь отклоыеяаях амеет вулезое реов- нве, з зто ремевве соответствует ыевозыущеавому дэвкеааю. Текам об- резом, выдача об опредехевав устойчввоств зздвяного дввкеввя прово- дятся к задаче аб определеваа устойчазосща нулевого реаеяая даффе- ренцвзаьвых урззыевай воэаущеввого двааеввя. В терминах откховеввй.
макао опредеяать а поыятве уотойчввоста вда зеустойчавоств дваае- ывя. Невоэмущеявое дзпкеыае х,=б„„,д о вызывают устойчив~а, если дкя любого полоквтельыого числа 8, кзк бы мыло оыо нв было, моаво укеэзть такое полоаательвое чвсло Ас), что дхя любых от- кловевай, удозяетворякщах в ыачзльвый иоыезт ыерзэеыствем !х.!=)х„(т,)!со (l --с,„., ), ври любом времена будут зыпелыевы усховая ).х„(ц) с я ( к= у„...
~ю) . В протвзыом случае яезоэмущевввое двекевве вызывают ыеустойчавым. )(ругзма сховемв, устсйчавость ыезоэыущез«ого двааеыая озыачзет, что конно обеспечить достаточвув малость откяовеввй в любой момент путем выбора достаточао малых начальных откковеввй. Еенный класс устойчввых двваенай состоакяат всамптотвчеокн устойчивые двваенвя. Устойчввое невоэмущенное дввкенве ж„ = о,...,я„, с называют асэмптотнческв устойчввым, еслв нэйдетоя таков паковатояьвое чволо Я, , что для всех откконеввй, удовкетворящвх в вачваьвый момент неравенствам ! х„и,у!~А ~Ь-у...,, в), с неогроначеыным воэрвстеввем времена будут ныполвеаы уояовая Ьл )л„ю1-о ~й- г„.„т).
Другана сяовемв, есвмптотическвя устойчавость воооовуаевного дввкеввя оэывчвет, что п~а достаточно мелых по абсолютной вевачнве начальных откконеввях этн аткловеващ пуа неограниченном вовуастеввв вромонн но только остаатся в эадвавых маках предояох,ао убывевт до нуля.
Такам образам, о характере устойчавоста невеэмуо|онноге двавеввя судят по поведеннв стклоневвй, т.е. возыущеввых днааевай. 2.Геометрвческая анте рпретацва. Лая голометрачеоной антерпретацаа понятна уотовчавоата а вснмптетвчеокой устойчвноств невоэмущевного двааевая сметены рассмотрим т -мерное прастренство 4„возмущевай, в котором коордаавтама авоброквнщей точка Р слуввт вовмущевая х„..., х„,. В этом прострввстне невоэмущонному двааоввм соответствует начало отсчета ОГс,...,о~. Если невовмущевное двааенае устойчвво, то любая трвекторая взоброавкщей точки, нвчевмвяся ввутрн л-мерного куба с центром в начале О а ребром йо , т.е.
в б' -окрестыоств точка О , будет целаком находиться внутри такого ке кубо с ребрем И., т.е. в ~ -окрестности начала О 1рвс.26). 209 Коли ке невозмущенное дввкенве асимптотичесни устойчвво, то все траектории изобракаищей точки, начинающиеся внутрв де -окрестности начала 0 „в кальнейием не только остаются внутра б -окрестности, но с неограниченным ростом времена асимптотически прибликзются к точке 0 (рис.27) . 3. У с л о в н а я у с т а й ч в в а с т ь. Как уке отмечалась, величинами еч,-, доя которых написана исходная система ураннений (38.1), могут слукать все функции, определяющее двикение, непример,все координаты в свороств С;, ц,.
~о'=1,..., и) прв отсы ю = Ыя . Однако с более общей точка зрения под оч„ воино понимать только часть определяющих величин влв в более общем смысле некоторые Функции этих величин, яввяюииеся характериствкэми дввкенвн у„=у.к,~,ц') сl-г...., т рт) и обсукпать зОПрОС Об устойчивости дввкения по отношению к этим характеристикам. Прв этом ясна, что невозмущенное двикение аскет быть устойчввым па отношению к одввм характеристикам в неустойчивым — по отнсшенвю к другим. действительно„ известно, что круговое двикенве точки в пале ньютонианского тяготения устойчиво по отношению к полярному расстоянию, а такке по отношению к модулю скорости, но неустойчива относвтелуно полярного угла вли декартовых координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
