Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 32
Текст из файла (страница 32)
зА ьВ ан аАч зА аВ ьН зВ 1 зр ао ас ае М ар ас зр ае -I Не ревеыотвв ыуав коытурпого ивтегрелв вдоль проиввоаьвоц ввикву- той кривой Ю следует, что подюпегрвлькпе вырекевае являетоа полвыы диареренцквлоы от иекоторой аувкцвв переыекиых о в р условиеи етого слупят рввекс во ар ер ап аЗ ае =до ар ао Эр ае 1 ' ь ~ (ьА ьв) ьн ьА~ а ~(щ ьл)ьн ьВ 1 После очевидных преобрвеовакий его ыовпо представить в виде аг аН аг ан аг — — — — + — О, где полокепо а а э а ~й~ р>=— ЬА ав, бр дФ ыяверивытеооть интеграла Х, киеве кесто длп любых гвыакь- топовых систеы, попеску аупкцая Н в втоы вырааеякк покет быть ооеериевпо проиевольпой. Отовда следует, что доааво быть ал аз аз — ю — ыО, др аб дд т.е.
Фуккция Е долина быть поотояпкой: Е -- С солИ, ар ао Но тогда киевы уоловае асА-у) ав ар ас ' оепвчавыее, что лиыейыая $орив сА-,~18~+37р являетск поаиыы дяааерекцивлои кекоторой аупкцки Ф 187 ~Л- .РИ~ М~= БФ. Проввтегророоав ото риевства вдоль зааквутого ковтура Э, будок ваеть ~у~А84~ В8р) е фрау ф8Ф=о; отседа следует, что т,' - с, т,, в теорека тек свами докаэвва. Пуа /Фу в п >У докаэательотво ороводвтсв соворкевво аввлогвчва, хотв во ферко ова ставоввтсв болев слаквав. 188 Глаза У1 КэНОВИЧБСМИБ ПРБОВРэЗОВЬББ К вопросу ввтеграревевая кевовзческвх урвэненай ввтурахьвнх головонак свстеы нояве пододев еае со сколков(ах поззцвй. Иоаае ззеств з рвсснотронве преобрезэзввае гвывльтсноэнх верековннх в фезозоы врострввстэе, сохроваааео йорву кавовачесяах урвэвевай, е затон взять твкое аз авх, которое ввкоанвкьвэ упрвдвло бм этв урезнонзя а делахо бы эозыоавнн ах автегрвроэеаае.
Твкзо прооб. резознэня, ях свойства э пуалоаеаяя э рвсонвтразвэтся з етой глазе. $ 35. Квяоначескве преабрвзезввая 1. 0 п р о д е л е к а е. В ввакзтачесяай даввыаке уае рвоснет(азвквсь преоброзоэвввя обобаоавмх коордаявт з коордаввтнов пространстве а покезыввкось, что она сохрвзявт зад лвгрвакоэмх уревненай.
Преобрвэээензне координаты по-преявещ опроделяат полояезэе взобрвзеааеа точзэ сверены, пезтоау етв прообрвэоэвввя нвзызеэт точечнннв. Точа вне преобувэозвваа но првзодят а сумостзенноыу упроаеввв урвэяеяай двваеавя, вбо прв вах Щувкцая Багрваве преобрвэуется простыв перекадеа з преааеи внреаеааа к поэм переыоэнын. Рвссэотрак теперь более обяае яроебрвзозваая, пра которых преобразуется квк коордаавты, тек з аыпульсы. Незыровденное преобрвзозввао коордвввт в йвзоэоа пространен эо Еоэ 3 =у П,~,р), р =р Ну,)э) (э' ~,, л) „пью Д Д~ (35,1) (б„р„...,~„р„) ~ Э Котсрсн у ('О о С) фЯ ~ С) ббэ В ареал СЧатеотоя Первкотреа» 189 называют кааоввческмм (влв контактным), есле оно сохранвет форку каноавчеснвх уревяеявй, т.е.
гамвльтонову систему бЖ.. 'Н, )Р~ 3~ (~=у,„., ) ые ар, ' бт ас переводят снова в Гамвльтононт систему, но узе с другой, вообще говоря, функцвей Гаввльтова г( ) — — Ф- у„ , л), (35.3) дае За ЫРя дй ем Ар, уе а~,. Заметны, что з ста)щх пеРеменных аг, Р . пеРеменные ~Уз опседелялк полозевве механвческай свстемы, а ноя совокупность величвв д,, рв — состоянве снстемы. Новые зе переменные у , Рз вообще теряют зту спецв4вку. теперь узн нельзя в общем случае сказать, что ~~~ определяют полозенве свстемм; мозно лишь утвервдать, что вся совокупность велячвн ~~р., Ря определяет состояние свстемы. Таким образом, прв кавонвческвх преобразованных по существу старается грань мекку коордваатамв з нмцульсамк. Пенность каноывческях преабрнзованвй состоит в том, что с их помощью мозно сущестненна упростить нвд гамильтоновой функцнв в тем самым получить более простые ураннення двззенвя, которые проще ввтег)ировать.
2. Д в ф ф е р е н ц и а л ь н о е у с л о в в е канав н в ч н о с т я. Условие, которому каляно удовлетворять преобразананве гамвльтоновых переменных, чтобы быть хенонвческвм, вырывает следухщая ТЕОРЕМА 63. Чтобы преобразование ~в.= ~к(е Ч Р) Ро РяИ,'~, РЗ (6=4-,л; б з-"††' '†' зо)~35.4) ю"'» Рз) было кннонвчеснвм, необходвмо я достаточыо сущестнаванве функцвв г в некоторой постовнной С, прв которых равенство ЙКб~ -УуИ-е(Ер У~ -НН)- ~Р (35.50 таздественно выполняется в салу преоб)щзонанвя.
ЕОКАЗАТЕИЬОТЮ. Пусть преобразование (35.4) - каноническое. Рассмотрим, наряду с (нсшвренным фазовыы пространством Хл„ ~ поре- МЕННЫХ А, б, Р, аваЛОГИЧНОЕ ПРОСтРапотзс Ел„„, ПРЕОбРанснаННЫХ переменных т,4), Р, Преобразование (35.4) переводят трубку прямых путей уравнеывй (35.2) простраястна Екя„ в трубку прямых пучек уравненвй (35.3) пространстна в . Прв зтои провзнольвый яя ел 190 контур С а контур одвовревевных соотоююй б, перьод т)6>бкв переводятся соответственно в зонту)ы С в б, второй трубка ()зс.26)> Ранее было выяснена, что спрьэедхлвость ганвльтоаовых уравнений цвоконвя эквивалентна внвврааатвоств ватогрела Пуеаке)ю-картава.
В силу атой вввв)вввтноотв выонг кесто рввеыства ~ ~,р,бп -Н64-б~С р, у~„>~г.)у,бе,-НМ-фЕ~~, ..6) Ийтегуольаый анна)аонтфрд,азлк, РессаатРквавиый в пуостуннстве Е „,, будет кекото)на лайейиа отаоовтельюю внтеграъща инверьентон. По яворово Лв Хуо-чвуве он будет телько поотоявюю инснателен отлвчетьса от иное(маета фЕРо Ю~о-, т.е.
ф ~~/ое~ук ~ф ~~>еыс)>е ° (35,7) Э Полученное равенство в салу (36А) эквнвелеатво соотковеазв РЯД,д'~,-Йл-афер,е~,-ни. Перекдоы в переон ввтеграле к перенеаюю ~,,Р > тогда контур П преобраэУется в контУр С а обв члена конно эвпасать под э>йь. кон одного интеграла ф ~Яр бц -Йб4-С1Ер 8~ -Н6И] о.
Поскольку С - прокэвольный контур в простркастве Ел„,х, отсняв следуег, что подыктегрнлькое выракенве делано быть полаю> кафференцнолоы некотороа фувкцвн перековках ~,>у, р; ваяв эту функцию в виде -ЕЙ, и, )о ), п)иходвн к рввевстду 135.5); веобходаность теореыы тен сенин установлена. Пусть теперь дняо, что в)а аекоторой функция У('е, у, ~>) в константе с, фигу(зрунщеа в (35.7), услоаае 135.6) тоадостзенко выполняется в сиду преобреэонююя 135.4).
Покеаеа, что ото пресс)ю- 191 зовзнве будет кавонвческвм. Преобразование (35.4) переводит га- мвльтонову свстеыу урэваенвй.(35.2) в некоторою новую систему с!о - <уРс "=а — =Р, ( -~."., Я). ! — ° уе (35.9) а ее трубку прямых путей в простразртве .Ь~„~ - в трубку прямых путей новой системы в пространстве Е~„,э . Проинтегрируем двчфе- ревцвальное равенство (35.5) вдоль контура С в перейдем в его левой часта к переменным ~), Р, заменяя контур С ыа контур С; тогда с учетом условия лбу= б получам равенство (Зь.ы).
заме- звв в его правой частя антеграк по С ва внтеграк по контуру С, аа осыованва первого вз )ювевстна (ЗЬ.6), будем иметь Ф СР.~~-)4~ -СФ Е,Р Ь~ . ы цРеобРззтзи внтегуюк ф~Рэ-3~о. к пеРеменным й,,о, вос- пользовавшись условвем (35.7). Тогда п)идем к равенству Ф ~Р.~~.-)4~ = Ф~Г~, С. о которое, как легка видеть, вырезает собою внзарнантность ннтегра- ла Пуанкаре'-Картана вдоль трубка прямых путей преобразованной си- стемы уравненвй (35.9). Но тогда в силу теоремы 59 ос основном яы- тег)юльном ннва)маяте эта свстема Гамильтоноза в, следовательно, преобразование (35.4) каноническое. этим зазероается показатель- ство теоремы. шункцвю У, фигурврукщую в услозвв (ЗЬ.5), называют нроиэводя- аей Функцней, а постоянную С - залентностью рассматриваемого ка- нанвческого преобразованвя. Каноническое преобразование, дяя <ста- рого С - 1, называют унизалентным, Ляф!)еренцвзльное условие (35.5) каыонвчности преобразования кля случая унвналентного преобразазання было установлено Софусом Ха.
3. С в о б о д я ы е канонические и р е о б р аз о в а н з я. Установим Формулы, дающве представкенве канонического преобразования через произзодяэ(ую 4щнкцню н налентность. с этой целью рассмотрам некотарыы класс так называемых свободных ка'коначесквх преосрэзованвй. Зтн преобразования ха)актервэуются дополнвтельным аеравенствам и" ''" ~о, (35.10) д(Р,~ ' )зэ) 192 которое обеспечивает иезаввснмость наличии 4,9, ") . Меря эти последнве з качестве оснозньос переменных, мовен через вах выразить все остальные величавы. Действительно, в салу (35.10) первая группа уравнений (35.4) $,„~~ Го>~~Р) Гб' 4 ° °,я) позвояяет представить иыпуяьсы через новые веэависаиые переменные Ре." =,оя(А, Т, О) ГК-4..., л) Подстановка этих выРавений в д))Угтю гРУппу фо)аул,о~,ое.(т, о, р) Го - и, „, и) позволяет подучить аналогичные представления и дкя величин ~-: р- р .Гт,~, у~ Г б-'У,...» Я1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
