Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В реаультвте получаем следующие параметричеокие уравнения трубки пряных путей: Ре-бе(УУ, е),де-Р„(Уг,м>, ~-т(Р,м) а У„,л>. (33.1а) Параметры р и е~ кокка рассматривать в качестве коордннет точки на поверхности трубки. Фиксирование параметра еС фыкоирует определенный прямой путь - обрвеуищую трубки, а фикскроваяые ,м — определяет точку нв выбранной обравуищай и вамкнутмй контур не трубке. Поставим теперь в интаграл 1 величккм б,Р, + по формулам (33.14). тогда интегрирование вдоль контура оведатся к интегрировании по параметру г- и , следовательно, сам иытеграл будет функцией параметра у , т.е. нв каидом охватывавщем трубку контуре интеграл будет принимать оное значение.
Иывариентность кктегрвлв Пуанкаре-Еартена оеывчвет, что он фактически не ввввомт от внбора контура, т.е. от /~ , следовательно, доливо быть И-ХО )Ф-о. Выполняя дифференцирование по /л интеграла (33.6), вайдам о $йиР,е~~~Р~ и~,)-мй-Н~бт, Поскольку параметры ~ и )и неваваовим, то дифференцирование по ням перестановочко, т.е. еЮ бе( . Заметим еще, что интегркроввние по частям вдоль ввикнутого коытура дает уиди ик~"-фтци -фном.
Применив все вти операции к предыдущему рввеыству и представив в полученном вырвкенни 6Н в подробном виде, найдем ~г~р,~~,-Бр,Ур -УНМ гНбй- =ЖЕфр Л е)8у ~-,I~ + Ы~й)ф ~+~-еу))+~ ~А)й. 177 Поделив это рававство почленыо нв фью=с»е,>'т и испольауя уравнения двикеыии (55.5), будем яиеть (»= фЯ[(Р~ — )Бр ~( О + )Ъ~~~ ( ~» эЭ» ) бт~ "° Поскольку интеграл по ааикнутоиу контуру равен нулю, то подынтегрзльное выракение доливо быть полным дийреренциалои. При произзольыой >рункции »1(т,>у, р ) это возмолно только в случае, ногда равно нулю выражения в Фигурных скобках ~ ~(Р.— „'~)И',.( а...— )Вр,~ ("У ° '")Ь О. Ввиду неззвйсииости и проййвольности вариациЙ гаыильтоновых переменных отсюда следует, что долкно быть ( "') Э»» з)( ', «у»» Э»1 де; е ддг ае Полученные' равенства доказывают, что систеиа (55.5) гакильтонова.
Последнее иа нкх явлнется следствием гаыильтоновых уравнений. Таким образом, теорема докаавна полностью. Закатив, что при докваательстве достаточности было введено неэавиоиыое переменное ь» . это потребовалось для того, чтобы получить произвольный контур, охватывающий трубку пряных ну~ей (при е - сосет получаем только контур одновременных состояний), и теи саиык полностью нспольаовать свойство ннвариантности интеграла Пуеыкаре-Кзртзна. йз теоремы следует, что инвариантность интеграла Пуанкаре-Картава аквивелентна уравненияы движения Гаиильтона, следовательно, ее иокно половить в основу кехзннки натуральных голономмых систем. 5.Структура интеграла ПуанкареК а р т а н а . Интеграл Пузнкара-Картана Г = ~ Х ~> 3~ - И»- (55.15) обладает рядом специфических свойств.
Лв его вида црекде всего следует, что время входит в интеграл на тех ке правах, что и обобщенные координаты, пркчеы роль соответствующего импульса играет величина - г» , т.е. взятая со знакои ииаус энергия. Лыенно в этом 4акте заключается основа аналогии цекду временен и координатой. Этот интеграл сохраняет смою структуру при замене переыенных. Действительно, введеы новую переиенную Е > сзязаннную со старыкн переыенныыи Ч>ормулсй 178 (33.
16) (53.19) 1--Нй,~,рЭ, ы вырваны на нее, непрвкер, ыыпульо о, ~я Х( ц~ " ~ )и в л' )ьл ю " ' ~ Рл ) . (35.17) Тогда интеграл 1 в новых переменных примет вид 1 ~тА+р~б~р+... +р„д'~„-Ю~, (35 18) Текин обраэои, иытегрел сохрвняет вид кнтегреле Пуанкаре-Кар- тена и в новых переменных с той линь разницей, что теперь роль времени играет координате с , а роль гвиильтоновой йункции - Функция На осиовныии теоремы об осыовнок иктегрельнок инввриенте инвериаытность интегрела (53 ° 18) аквинвлентвн следуюккк уравне- ниям двикекия Гвкильтонового тнпв: а а)( Уг аК У Р гЪ аК (ю.л,....л), в которых роль неаввксиыоп переквщной играет велкчиыа ~), .
Здесь уыеотно зеыетыть, что уравыения Лагренкв в обобщенных координетах, полученные на вернецнонных принципов, были инва- ряаыты относительно выбора обобщенных коордиыат, н в атом нх су- щеотьенное достоинство. Однако время в этих уравнениях нгреет особую роль. Уревнения ве (33.19)> следующие ие основного ннтег- рвльиого ыыверыента, уке не свявены со спецификой времени, Роль ыеаевисниой переменной в них покет играть квк время, твк и любея другая обобценнея координета. Теи секын достигается неаевисиыость в выборе пространственно-врекенных координвт.
«.В ы в о д и в н н т е г р н л ь н о г о и ы в а- р и е н т а У р е в н е н и К У н т т е к е р в . Уравнения Уиттекера для обобщении консервативных систек веские вффсктивно когут быть получены из интегрального инввриенте. Вействитально, для обобщения коноервативннх систеи Функция Гамильтоны Н , в вслед аа нею и Функция К не зевнсит явно от вреиени. Но тогде в силу второго уревненнн (55.19) икееи циклический интегрел к -4 голее , и соотношение (53.18) выреквет обобщенный интеграл вне ргии. 179 Последняя группа уравнений (55.19), в которой фуняцин )б имеет вид )у(,)„ ~), , с„ р е ...,с„ ) и представляет собою автономную систему уравнений Уиттекера да ЭА' а)т' — — Ге0= У,..., л,) .
(55,20) Д~„Э) Зти уравнения определяют Фраентсрии системы в фазовом пространстве Закон движении по траекторным находится с помощью первого из урезываний (55.19). Нарнду о основным интегральным инвариантом, важную роль играет также тен называемый универсальный интегральный инвариант, отличающийся от первого инварианте рядом специФических особенностей. 5. И н т е г р а л П у а н к а р е . Рассмотрим основной интегРальный инваРиант 1=ф~ РеА~ -Нлт вДоль ЯонтУРа аДновРеиенннх е состояний Се , получающегося при сечении трубки прямых путей в расширенном фазовом пространстве гиперплоскостью т сопИ .
для такого контура Й = о , и интеграл принимает вид 4„=5 Е'/'б б'~)6 . Этот интеграл называют йнтегралом Пуанкаре. Интеграл Пуанкаре сохраняет неизменное значение вдоль Любых контуров одновременных состояыий, охватывающих трубку прямых путей гвмильтоновых уравнений движения, т.е. он также является интегрельным инвариантом. Менее общий вид контуров, чем у основного интегрального инварианта, компенсируется тем новым свойством, что интеграл Пуанкаре не зевисит от гамильтоновой функции и поатому является интегральным инвариантом для любой Гамильтоновой систеим.
По втой причине этот инвариант навывают универсальныи интегральным инвариантом. Как и основной, универсальный интегральный инвариант можно использовать для получения уравнений движения. Все перечисленные свойства интеграле Пуанкаре выражает следующая 5ЕОРЕйй 60.
Чтобы неноторан система уравнений — =ОжН,~,)з), ~ =Р~1т,~,)с) !к 0..., и,) (55 21) бсж с непрерывно дифференцируемымм правыми час~ими бмла гвиильтоновой, необходимо и достаточно, чтобы интеграл Пуан- каре 155.22) был инвариантои по отноиенвю к любой трубке пряных путей, определенных втой систеыой. ПОйазятельстВО. пусть оиотена (35.21) гвиильтонове. тогда интеграл Пуанкаре-Вартана сохраняет поотоянное вначение вдоль любого контура, охватывающего трубну пряных путей.
В честности, он будет иметь равные эначения вдоль любых контуров одноврененных I состояниИ Е с ~, У~.1.=ФР)" ~~. ° (55 23) э это условие выравает равенство интегралов Пуанкаре вдоль этих контуров. Необходииооть тен саныы установлена. интеграл Пуанкаре удобно рассматривать в обычном беловом ПРОСТРаНСТЭЕ Лл , В КОТОРОМ КООРДниатаМИ ТОЧКК СЛУМат Обсбценныс координаты и инпульсы. В веси вростренстве контурны / Е, н с„ соответствуют контуры Э и уе , охватывающие труб. ку прямых путей, и свойотво инвариантнооти интеграла 1 представимо в виде (33.24) Один иэ этих контуров, например ,Э , колко веять проиввольно, считая, что его точки являютоя равличныии состонниии системы в один и тот не ноиеыт времени Т .
Тогда ооответствуваие состояния систеиы в иоыент Т' определяет ноытур 33 Пусть теперь дано, что для системы уравнений (35.21) интеграл Пуенкэре является инварнантон, т.е. что он сохраняет неиэыенное значение вдоль контуров одноврененкых состояний, взятых на любой ее трубке прямых путей. Покекеи, что следствием этой инвариант- ности будет ганильтоновость скстены (53.21). Поступая выщеиэлоненнын споообон , конно получить уравнения тРУбКИ В ПРОС~Ракотнс Елс В СЛЕДУЮЩЕЙ ПаРаиЕТРНЧЕСКОВ ФОРНЕ: ~,= ),и, с), ре- ре(1,') (о.-у„... «>.
Параметры т и с являютоя коордныатани точни трубны. Поааган ~и солне , получаем обраэующую трубки, а прн т ссале - охватывающий трубку контур одноврененных состояний. Подставив в выраленне интеграла Пуанкаре (33.2) функыеа (35.4), найден, что интеграл долкеы быть йункцией вренеяи. Вы- 181 вариантность ке его овначает, что он от времени Фактически не вавиоит , т.е. ИГ,/М * о . Эвписывая вто условие в подробном виде с учетом свойства =а у в н интегрируя по чистяк, получим ,/ о-фЕ( —;Е~а 'Ршсе у~ ) "ф Е(,~, у~к- оч арк ) . йспользуя теперь уравнения двииекия (Зу.ь), будем иметь О- ф Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
