Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(Р~ бд, - гл, Ьр ) = а. Равенство нулю контурного инте1рала ойначает, что лодыятегрельное выракение являетсн полным дмФФеренциалои некоторой Функции. Обоенечая эту Функцию черен — П, имеем соотношение ~ ~ а уе е )б)= Е( уш Э фк). ЭН аН Отсюда следует, что долкно быть г' = - — Ь) = — ( б= у, „,, л) 'ан ан ае ' а~ее > что и тресоввлосв доканать.
Этим теорема доказана полностью. В заключение заметим, что если ие основного интегрального инвариента следовало, что уравнения двихения долины быть гамильтонового типа, причем с той гамильтоновой Функцией, которая Фигурирует в этом инвариннте, то из универсального интегрального инварианта вытекает только Факт гамильтоновости уравнений двикения; сема ке Фуннция Гамильтоыв при етом мокет иметь любой вид. 1,-ф Е~,Ь),=У25,, (53.26) 182 6 . Г е о и е т р и ч е с к и й смысл и н в а р и а ы те о с т к интеграл а П у а н к е р е .
Пнвериантности иытеграла Пуанкаре полно деть. геометрическую трактовку. В фааовом пространстве Егл сгвнем рассматривать коордиыатные плоскостк, соответствующие сопряиенныы Раыильтоновны переиенныы ю , р~. е б' У,..., и ) . Памкнутый кон~ур Я Фааовсго пространства проектируется в контур )) на плоскость се, р . и инициирует на Р неы направленце обходе. Легко видеть, что иатеграл Рыс 25 1в У' и )ш У ш"Уш ш р .Ое определяет о соответствуювым внаксы величину площади К ф ограниченную контурам у) .
Теперь ясно, что для интеграла Пуанкаре справедливо предотавленме Ф При замеые контура ПУ другим контуром ЛЪ одновременных состояний вообае ваиеыятся нан плоспве контуры .О , твп и еграниченные ими плоаеди 5е , но ввгебрвическан оумма плопвдей (53.26) при етом остеыетоя ыеивменыой . В етом фанте и состоит геоиецычесвая интерпретация инввриентности внтеграла 1 ф уе. Сиотемы интегрвльных январиантов Интегральный инввриаыт Пуанкере не является единственным универсальныы интегральным инзврнентом.
Тания инвариввтов достаточно иного. В атом параграфе будет приведена классификация втих инвариантов и рассмотрены некоторые их свойства. 1.0 т н о с и т е л ь н ы е и а б с о л ю т н ы е и ив т е г р а л ь н м е и н в а р и е н т ы . универсальные интегральнме инварианты раавичаются нан видом области интегрироваыия, так и порядком подннтегральнсго выраиения отыосительно дифференциалов гзмильтоновых перемеыннх. Интегральные инварианты завывают относительнмыи , вели область интегрирования представляет собой ааиннутое ыногообравме.
Абсолютнымы интегральными инвврнантамн нзвывают внтегралы, ннввриантность ноторых сохраняется прз любом выборе сбластв интегрирования. В частности, область нятегрнрования молет быть невамкнутой. Например, интеграл Пуанкаре является относительным интегральным инверизнтоы первого порядка. Известно, что в фазовои пространстве Ег„ существуют следуюаие последовательности относительных интегральных инвариентов нечетных порядков н абсолютных интегральных инварнантоз четных порядков: Т,=фЕ'1'еУ~е, 4=Я Рв'~- 1 =Я~Р П~ т ~~ 1-ЙОЯМ~~~р.~~ 1ги-~= гя1"1ть' ~; "а~~я; фь", дуг„, 3л„= ~" Я, П~, ...б~е Ь~е.
Теория зосолхтнзх зйтегрзльных инвариентса ыомет быть сведена к теории относительных интегральных инввриантов. Например, отнес. тсльзми внтегрзльный инвариант 1е за основании теоремы Стокса 183 ф ~А л, =ДЕ'. (,'~- ~ ") у.,б'. „А.=А,Г „", ° .), где 5 - некоторая поверхность, ограниченнан нонтурон равен ,7 . Вообще ати инварианты связаны соотношенинми л 7 =.Т (с!=У„, с). (5ч.5) гы- з уы 2.'.нварнантность объема 1азовога и р о с т р з н с т з а . Ннзариэнтность интеграла Пуанкерс оылэ доказана выме.
Непосредственно докахем еще имеющий важное значе— ние такт иквариантности объема разового пространства - интеграла ')ее 1 "'1 Р %." Р 9с (54.ч) Х для атого следует похавать равенство нулю пРоизводной по зреиени от данного интеграла. Рассмотрим решение уравнений Гамильтона, удовлетворяющее нэчальныи условиям ')с ')е(е ~ !' ) )ее= ~е Ге,~,/~.) Й=Д- с) (5Е.5) где с' и р'- значения координат и импульсов б и р при . На формулы (54.5) мокло смотреть,кан нв некоторое преобрааование координат, рассматривая время т в качестве параметре.
Пронаводя эту вамену переменных в интеграле (5Е.Ч), будем иметь ! )~ ньа,-,е,~,~~~ пкобиаы, стоееняй под анакон интеграла, повелителен, и знак иоду я у него мокко опустить. действительно, в начальный момент этот якооиан обращается в единицу. Прл последующем ие ивненении времени он изменяется непрерывно, не. обращаясь в нуль, так квк особые точки по предполоиенкю в рессыатрнваемом объеме отсутствую~. Вычислим производную по врененк от втого интеграла в начальный момент: Пропав.дыая по времени от яксбивна с учетои гаынльтоновых уравнений длинен!!я будет равна нулю: 184 ~~.г и Вц;,...,р') ~,, (. В(а'„...~„'р,',„„р)" б(),„,~,,~, „„)(Я -ач, Ве, Ч Га ВНИ.,Т,Р) 8 Зй(Е"Т,Р)~ ~тО Ь), Ври~с „~дф асс Эр,' аф сазе е следозательыо, ( — ~ 0 , Но поскольку квчазьямй иомент монет быть выбран проаезольво, ао дзи вюбого времеви буден иметь (34.6) Таким образом, объем Векового проотранстза ве еазвсят от выбора контура одмовременыых опотомкмй ва трубке враных путей.
Скедоватекьыо, оы язляетсв нвтегразьимн кызарвавтом. 3. Т е о р е и а Л и у з в в ы я . Одной вв оояозимх теорем статистичесвой механики язляетоя теорема Лвузвпвя. Вту теорему нонна вынесем, опираяаь аа уотевозлеывмй знве йакт квзариавтноотв объема йаеазого простраяотза. Реосмотрвм некоторую оозовупвооть одинаковых механических снстен, т.е. систем о одной к той ве ганнвьтоыовой Вуакцней в отличаюаихся друг от друга товько своим вачавьамм оостонвмеы. Такую совокупность яаемвеют статистинеоннм ансамблем. Примером отатнстнчеокого ансамбля покет слувкть совокупность молекул газе, еаполняюких двнкый объем.
Какдому элемеыту обьема е)Ч Визового пространства манью сопоставить "масоу" д~ч , понкмая под кею число првходяияхоя не этот объем оистем. Отпевание "маоом" к объему обозначают чарва б) У('~ Р)= Ч (За.7) и называют плотностью статвотичесного авоамбля. Пвотвооть у обледеет зекным овойством, Анраыаемнн све>ц~юаей теоремой Лмузиеия. ТЕОРЕМА 61. Плотвооть отетиотического ансамбля яввяетов ыытегралон уравнений дзивения. ЛОЕАЗАТЕЛБСТВО. Будем рассматривать 4Ч как некоторый ннднзидуапьннй ооъем иехеничеоких сиотем числом с,и .
В оыву ннзарвантноати обьеы с)Ч ке меняетоя о течением Йремеки. Ссхраняетоя оо зремеыем танке число е(~с состевляювих его систем. Тогда прояеводнвя по времени от плотности )> будет равна кузю: ом (34.8) 185 В поцробвом ваде с учетом уравнений дввкеаня ~,=ад(п~„~,=- Вн(щ, ~в= е,, и) зто условае извет бить представлено в ваде ф+ ср,н)=о, (34.9) где (р, Н ) - скобка Пуассона фувкцнй р в Н . Полученное равенство является достаточным условием того, что д есть интеграл девизная. Теорема цоказана.
как было вынснено раыее, для консерватввной системы знергвя Н, з такие любая глздкан функция ат нее Ф(Н), является внтегрзлон уравнений дввкенмя. В силу теоремы Лвуввлля фувкпвя Ф(Л) новее слуивть плотностью статистического ансамбля. 4.Единственность интегральных вн- в а р в а н т о в. Наряду с относительныын уняверсаяьнымв ннтег)вль- ными знвараантамв, перечвсленнымк в последовательноств (34.1), дцн камцога фиксированного порядка мокыо рассматривать и другие внтег- ральнме инва(менты. Оцнако было выяснено, что зтв последние не яв- ляются независимыми внвариантами. В 1947 г. Ли Хуа-зиуа установвл следухмую теорему, вырзиаюощю единственность январвантав (34.1).
/ ТЕОР))АА 62. Если Тк - универсальный относительный ннхегральный инва)мант к -го порядка (м=х',..., ле-т), те он только постоянным мнокятелеи отличается от зива)маята того ке порядка вз последозателъноста (34.1), т.е. 1к =Си'1я > См =Сбюят, (34.10) Лаканом теорему для случая К= х в п=й . Т.е. пусть ф~.й(( п,р) Ду<3(т,ю,/>) Лр ) - некоторый относвтельный ввварваат первого порядка, тогда он только постоянным ынокителем отлвчается от внварванта Пуанкаре?,=фас (34.
П) ПОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим цля канонической снстемы уравнений С=дН др, р=-дН/дд в фазовой плоскости ~),р трубку прнмых / путей. Еаза)мантность интеграла 1х означает, что ан сохрзяяет по- стоянное значение яа любом контуре одновременных состояний .О атой трубки, следовательно, с/Хх /хтт =0 . Выполнив дифференцирование под знаком интеграла и провзведя с учетом соотновенвя 186 — иптегрыроввяке по чвотяы, ывкдеы В В ое сй о =-~ = ф — бу~ — бр еА и В~ е В- бр лу ,м гВ сн ое ой -ф — Ь'~+ — ер-ВА — -А — ' ВА М ое ВР, бе 7 ~ус сЧ,й нырекея в явпоы вида проаеводиые по вреыеаа и вариации Щупкцый А ~т,с~, р ) и В~с,~, р) для коытурв одыовреыепвых соотояыай аЛ ЬАбр, ЬА М,аА бв аВ ае „аВ Ыр, аВ Л=а~'ое +бр'Ос ат ' М ас М "ар И ' ае ' ВА= — Ь~ — ср, д — Яс+ — Юр аА аВ зВ аВ ас бр ' аб у ар и испольеуя геыпльтсковы урввневия двыкеыая, коксы придать ето- ыу ревеиству следуваий вид: о~ф~-( — — ) — + ~4~<.~-( — — ) + ~Вр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
