Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Обращаясь к иифрзронциаяъному условию каыовичыости преобразования (35.5) и преобразуя к переыенныв т,~, Т функцию Р: 7Гт,~,Р)=5Гт,~,~),будем иметь ~ ° Ро.~с- ГГЗ4 =О(+ок~фо--)ГЛЮ бЗГт,~»9). (35.Ш Лто соотношение садеркыт эереецви только независимых перенеыямх Прирй~няз нулю коэффвциенты прв них, устанавивваеа фо)э(улы 35 д5 3 =Ры Гб' у~..., я~ ° (35.12) де доя Л-И~ — э ал ди (35.13) определякщне свободное каноническое преобразование с двыной провзвсдной функцией 5 Г 4, о, Т ) и денной взлевтностью с , а такие вид гзмяльтояовой функции в пресс)вковввных канонических урввневиях. Уравнение (35.12) монне представить в обычной форне (35.4).
Имеет место сяеяующая ЛИМА 9. Гессиан производяяей функции канонического преобравовеняя уГт, б. ~у) отлвчен от куля, т.е. Зиз де4( =,) Ф о 34, а~к ~цт- (35.14) ЛОКАЗАТЬЛЬОТБО. )(спустим, что гессван равен вуию. Тогда будут зависимы функции — ° " ~ — ~ т.е. будет выеть место функцвональЪ5 АИ ас, бс, нэя зависимость ~~Д '"'~3 ' 9ю " 7е) ()У 45 а5 бч, дс„ в которой переменные о,, „,, со рассматрвваются.квк парвнетрн.
193 В сиду первой груши фо)аул (35.12) зта заввсиыость переходит в равенство (~/~ Фс/~л~~у, ., 4/ )=ю озыачнззкее эависииость иекду координатами фззового пространства ц„, что противоречат исходной концепцав. Левка доказана. ил > На основании неравенства (35.14) первую группу уравнений (35,12) воино разреиить относительно ~~., представив их через исходные гаыильтонавы перевенные с, р: ~,. = с,.(т,с,р ) (б'=~, „,, я), Подстановка этих выравеввй во вторую группу Фо)аул (35,13) првводвт к анелогичвыв препстанлевияв для рк : р,„= р~ (т, е,,е ) (й'-.
У„ , я). Теи сзиыи (35.12) экввзнлентны обычныы йюрыулзы кананвческого преобраэоззявя. Анэлогичами способои из (35.12) ыовно выразить все старые переиенные через новые, т.е. получить форэулы Уб Чк(+ 7'Р) Рк РоК1'Р) ~ м'"' л)' Лля унивалентных каыоническзх преобразоввнзй С= Т и определяющие форэулы преобразования (35.12) в (35.13) пряниызют более простой вид Ь5 — = р,, — =-р, ('о = г,..., я), (35.15) Ь5 ЬС, ' ас 33 Н- Н+ (35.16) Из последнего равенства ввдно, что если применять одно и то ве унввахентное преобразование к различныв гэвильтоновыв свстеыны с фуакцияви )(, и НА, тО раэзица ЫЕКду Старой в Првобрззонанной фуакцвяыв для обеих систеи будет одной в той ке д5 и -н -н,-н,—— (35.17) Форыула (35,13) позволяет п)юйтв к еще одному взкноиу выводу.
Из аее следует, что Й = С)( только в случае, когда — 0 . Но зз аь тогда, как это следует из фо)щул (35.12), каноническое преобразование не содериат явно вреиенв. П)ю таквх преобразованиях фувкцвя Гаыильтона существенно не меняется, сна уинокается только на постоянную. Поэтсиу для существенного упрощенвя каноническвх уравнений следует использовать свободное каноническое преобразование, обязательно содерзащее вреия. В заключение ззыетви, что фо)юулы унивзлентного свободного канонического преобразования (35,15) определяют преобразонание Лекендра с производнщей функцие» 5 п)и переходе от переиенных ), 194 с к переменным р, -)с, $ 36.
Канонические преобразования в уравнение Гзыильтова-Якоба Приненение унввалентного свободного канонического преобразования для п)введения Гзмильтововай системы к простому веду непосредственно приводит к у)азненкв Гвмзльтоав-Якоби. 1. У р а в в е н и е Г а м к л ь т о в а - Я к о б а д л а и р о з з в а д я щ е й ф у н к ц и в. Под действиев преобразования ~35.14) 34 35 =р;, --р <Я-г,...,я) Эс» ' апг (36,1) гамильтонова система уравнений б~у дй дйм ЬН ~й д)зм де д~)м — — — — 1с-1.... и) [36.3) переходит своза в Гамвльтонову овстену вида -г — —, = (С У, м д) .
(36.3) ЭН А й сч д)ог М д~г Полученная система будет макоиваяьво простой, если половить Й.с. Тогда сна сразу интегрируется и п)вводит к зм)виениям % =", А )ам ~с'=У*" Ю ° (36. 4) в которых м.,~ и ап - произвольные постоянные. Следовательно, ес- ли каноническое преобразование 136.1) известно, то, подставляя в его явное вырвкенме ~м=~м~Л у' Р.) Ра=ГмАу.Р) Ф=л.-'Ю значения новых переменных по формулам 136.4), получим завнсвмос- ти координат и выпульсав от времена и от 2я проззвольвых посто- янных,т.е. конечные уравнения дзивения сястемы ~,.=~, ~4, с Р.) ~ Рк=~с(т~ '" Р.)!'~ У~" ~я) И6.5) Таким об)азов, задача внтегрировзнвн каноническах уравыений сво- дится к нахокдеавю канонического преобразования, преоб)азузщего в нуль гзмильтонову функции.
Это непосредственно приводит к урев- неяив Гамильтона-Якоби для пронзводацей фувкпик. действительно, формула (35.15) при Й о првводвт к равенству 34 Н(4,У) )=с, 35 которое з совокупности с фо)мулемн 136.1) дает уравненве Гзмиль- 155 тона-Якоба для функцяв 5(е,~,4~): е))(ь 1ю "*)е' ''"' )=0 136,6) д5 35 д5 ~~в 2. Т е о р е м а Я к о б в. Итак, выяснено, что производящая функция 5('е,ч, ц ) эф)шктного канонического преобразавенин должна удовлетворять урэнненяю ~36.6). Кроме того, взвду (36.4), она должна содерзать л произвольных параметраз ю~,„., а'„: 5 (+,~,л) и уцозлетворять неравенству (36.13) ,) 4 ( 3'5 )" п)пд'~с гт т ~36.7) По отношению к уравненвю Гамильтона-Якоби это означает, что функция 5 должна быть его полным интегралом. Как только функцвя 5 (е,~), ~ ), обладамщая перечвсленнымв снойствемв, найдена, конечные уравнения дзяаенвя даются фо)мулэмя ~с у,..., О).
Следовательно, для решения задачи достаточно найти полный интеграл уравнения Гамвльтааа-Якоба. Но ранее было выяснено, что это утзерждевве состанляет содерканве теоремы Якоби. Тем самым продемонстряровено, что к вззестыому методу Якоба знтегрнрозанвя кананвческвх уравненвй можно првйтк в с тачки зрения канонических преобраз оваввй. З.Главная функцвя Гамильтона.
Одвя мэ полных ватегрелов уравнения Гамвльтона-Якоба можно построить методом, указанным Гамильтонов. Рассмотрим дейстзве Ы от некоторого вачального момента й, до переменного момента Ф: е Ч= Г /" сч 9) г' е (36. 9) Пусть известны конечные уразненвя дввкенян системы вз некоторого начального состаяння ~к "~к1е! 9 Р )* Й*Ре1т ~ )и ) 1с У - *Ю. (36.10) На семействе пряных путей, даваемых отвыв урезнеянямя, действие будет фуннцвей времени в пареметроз начального состоянвя ММ,Т,~ ) Гемвльтон предломвл ныразвть начальные ямпульсы р вз уравненвй (36.10) через переменные Ф, с, ~', тогда функцией этях переменных будет в действве Ж-Юй~,~ ). (36.11) 196 кое пуеобРазозанне от пеРеменных )е,с~(я=1,."~ Я) к пеРеменным ~(к, ре (я= 1, ...,и ), причем производящей функцией этого преобразования является-(М', т.е. ззятел со знаком минус глазная функция Гамильтона.
Легко задеть, что кананвческвм будет такие обратное преобразование от переменных ~), р к перененныы с)., р,которое осущестзлнется производящей функцией Х1е, с, ~)' ). Таким обрезом, првходим к вмводу о тои, что конечные уравнения двзвения люоой гаыальтоказов системы осущестнляют кзвонвческае преобразование фазового пространства, п(ычем это преобразование является свободным и уннвалентным. 4.Применение канонических пряобраэованвй в теорвн возиущеавй.
Кааоннческне преобразования находят в механике широкве првиененвя.Вмие деыонст)врезались их возыокности в деле внтегреровання уравнений. Рассмотрим теперь вх прнлокенве к теорем возмущенна. Пусть для неноторой мехенвческай системы с гзмнльтоыовой функцией )( получена реиеаве каноническах уравнений д9е ЗН ~)Ре М вЂ” ~о.=у,..., и) бо ар с(е а~; (36.16) в вене ~, (1 7, Р ), Р,- Р, (~, д, ,'Р ) ('б=4, "' Я) ° (36.17) где ~)', р'- па)юиетры, определяхщве начальное состояние. Форкулы (36.17) определяют так называемое вевазнущенное двнкенне системы. Пусть, далее, система получила некоторое возыущевие в ваде дополнительной энергии Н,, так что ее функция Гамильтона стела резной Н > Н,, и требуется определить дввиение этой возмущенной састеиы, описываемое уравнениями ~Й~г д(Н+Н) бре Э(НеН) — — — — 1о= у,...„п) .
И а ее Ле ас, (36.18) Обычно система (36.18) более слакав, чем исходная овстема (36.16). Интегрврованве этой свстеиы вовне земеаить внтегрврованием другах более простых свстем. Используем яля этвх целей кевонвческве преобразования. Квк отмечалось ранее, форнулы (36.17) определяют уыивзлентиае свободыое каноническое преобразование фазового пространства. Это преобрезавание переводвт гамвльтонаву систему (36.16) в гемнльтонову систему с функцвей Й о; 198 сок ЫР' ~й ' бе — -О, — О (е х,... я) (36.19) а гзмвльтовову свстему (36.18) - в гзмвльтовову систему с функцией и и,, ноторвл будет рвана Н,; дй, бр' Зйэ 89' ь з е ~~ — Сб 4,.„,л).
(3620) Лействательво по свойству преобрезовщия (95.16) змеем (Н~Н~)- (Н~Н,)~О-Н, Ньмэ Нх. Такам обрезом, велвчавы 9', р', рассматриваемые в качестве вожс кеноническвх переменных, ха)акте(хкэ тем, что для ыевозмущенного двзкенвя оне сохраняют постоянные значения, рввяые начальным эначеывям; для воэаущенного ае двввенвя овв являются переменнымн велвчвнзмк, опрехеляемьвв вэ уравнений (36,20), в кото)хэх гзмвльтоновой функцвей сдуаат знергая воэмущеавй. Еслв теперь найдеыо в решенве скстемы (36.20) Яе =7э(т 7 ~ Р" ) ~ Рэ- Рэ(ее)', Р')(е х-,лэ(36 2П где ~", рм> - парзмет)и некоторого нового начального состоянвя, то общее решение системы (36.18) мокко получить суперпоэнцаей решенвй (36.17) в (36.21) з ваде ') *~.~~,~К~",'р"Л Р ( ~".'Р'")), Р Твэви обрезом, с помощью кзнонвческах преобрвзоввнай внтегрвровзвзе возмущенной свстемы (36.18) заменено внтегрзроввнвем ддух более простых сметем (36.16) и (36.20).
П)ю этом фвктвческв показзно, что "воэмущенае в энергии" эквивалентно "возмущенна начальных денных". 5 37. Структура произвсхьяого канонического преобрвэовянвя рассмотрим рзд общзх свойств квноннческвх преоб)шзоввввй. 1. 0 и р е д е л я ю щ а е формулы к в в о н к ч е си о г о п р е о б р в з о в в а в я. Лля провзвольвого квноввческого преобразования конно устзноввть формулы, вырвввюкяе это преобрвэовенве через провзводнкую функцвю в ввхентность подобно тону, квк это было сделано для свободных кввоввческвх преобразований. 199 Гантмахером было показано, что среда ел переменных (~е, ~Ъ; лзе, Р (б' »,..., л),свазанных Ул саотношезвнмв (»») р), ре ре(Е,»),р) (б=1... п; Ф. »з), в качестве незаввсвмых махно взять снедухо(уш совокупыость велачын, не содеркащуш сопрнаенных пар»)е, ре илв»)е, Ре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
