Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 34
Текст из файла (страница 34)
»)», »)е Ре " Ре~ »)» " »)л» ую»»„, 7» (бай,»л»л)(37.1) Тогда двфференцвальное уславне канонвчностн преобразования (35.5) л »- Ре»П)е'л РлЬ~ -Нее-п(У. РтбУХ Р„~~ -Нет)=-сг к» о.юл Р .» ы*е»» (37,2) после вырзвенвн в нем варнаций зазнсвмых велвчзн через ва(иацвв независимых велвчвн (37.1) с памощьп товдеств л л л Е. Р ~~ =дй Р ~ -Е ~ ЬР и л Рр»)е ~ РР»»Р ~ »)»р брр допускает представление Р др -~ фдрр -ЙН-с~ЯР д~ -~ у др — Нй) -8У, где половейо и У-Г Е Рр~~-~Е Р б Поскольку все величины 7, р, »), Р выранаштся через независимые велзчнны (37.1), та функцней этих велнчвн мозно считать в велвчвну У .
Приравняв в левай н правой частях тавдестза (37.3) коэ4фвцвенты при варнацвях независимых величая, устанавлвваем формулы дУ аУ =цре (г.д,...е), — =-со„(.~-г.г,..., и), (37 5) д»)е др.» аУ - . д() =--р ( .у," »), ==ар Г~» у,..., л), (37.5) дое эре аУ Я пН+ (37,7) определяищве кенонвчное преобразование через провзводящую функцвш 200 () н волевтвость б .
Эта фо)мулы евахогзчии феумулю (35.12) а (35.13) для свободных нввовачосаах преефеозванй. В уравнениях (37.5) волвчаин — > —, рвссматрвзвеаые иен функции величин ое, )оа (здесь заденем прннимевт то ае эавчевая, что и з (37.3)), нееейасамы. Койстзвтольво, еаваоаместь ноз)0 вами Ф( — ° — ).о ооввчахв бы, ввиду (37.5), вввасамость мазду Ъ0 ЪО пеРомевйнма ~ф(СРо;ГС ) и,что пРотизоРечало бы всхеДвонУ ДЕЪЧ~ ЪР пуаенвв о неоозвснмостн ло величии (37.1). Этв веоезноамость позволяет нейта иа (37.5) величавы «~а=~~а (» ~'Р) Рр ~рй'фР) (б У, ...,ПС,' /О Л)~х "' ~О~ (37 6) Зтн знниснмоств вместе с уравнениями (37.6) приводят и соотыоае- 7 -~ «~,р), р * Ь(о+в Г ° ..:, ~;,а.
°,-' .). (37,6) Теы сапа опредеаыаае фо)з(улы ываоввчесзоге преобразования (37.5) ° (37.6) могут быть представлены в ваде ° рееревеавем отвосительно новых переменных. Э.Кратер ° й иваси ° чинств прообраз о в н н в я. Оынроясь нв дафферовцвааьвое условен вввовачвеота прооб(аоовевня (35~5), вовне уотввавать удобный зритерий внвенвчноста, т.е. необходимые а достаточные условия, пра ноте)ха преобразование с =с <т,ф р), е =Ък~,г) и'- "" и) (37.10) являетсн кеноничосвзм.
Этот нрвтерай устовезлавается для преоорааонення, не соде)кнщего явно времеви. Условие ао ввыоиичвоота общего преобрнэазвная, содераащего врона, вы)хьвнет следуащая ТЕОРЕМА 64. Чтобы оеваснщее от времеви преобразование (37ЛО) было квнонвчосзнм, необходимо а достаточно, чтобы были вааенвчесннмн, в врагом с одяой а той ввлеытностьз, зсе ае евавснщие от времена преобразования, получвмпаесн ав (37.10) ваиеной переменного времени его пронввольнын Чахсаровввзым вим чонаем. ПОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть преобразование (37.10) наанется иввеизчесним с золеытностьз С, тогда оно обуезиет в теадеетзе дыффереацнольвое условно кнноничноств (35.5) Х. К~~~ — г)ъо- Ямб~ -нУ4)- ГИ,~,р) . щ Фахсвровнв время Ф.Ф„, отощв получим равенство 201 ~ Р 3- =п~р,Ь~,-ИЦ.~~. (37.14) Вы)щзвв варкзцвв й~ согласно формулам Б9,=Е( Е1, ° Ерк) ( =л,.... л) ь к Всг бРы представка условве (37.14) в виде 2. (Ф,й~, Ъ Бр ) -6К(~,р>, гхе положено такам образом, чтобы стоящее в левой части равенства двфреренцврованное вырзженве было полным двф(еренцвалам всходнОй функция, нзобхопнмс ы достаточно, чтобы козррвциенты прк варвацвях удовлетвогялн услозияы (37.15) Е,с, 8~~ *гЕ,оо с)~ж ог И ° 9 Г> (37. 12) являющееся двфференщоалькыы условнем канонвчноств преобразовывая, не садеркацего явно времена. Пусть теперь, наоборот, дано, что все преобразованвя, получающееся вз (37.10) заменой времени произвольным фвксврованным значенвем б», являются канонвческкмв в притом с одной в той же валеягностью С .
Зтк преобразования обращают в тождество условае (3).12). 0пределвм функцвю /7 посредством )мвенства аГ -ат уу =он+ — Ер— д» о до умножав его на Ьо в вычитая результат вз (37.12), првходвм, как легко надеть, к условны (37.11). Последнее же утверждает, что каноническим будет преобразование (37.10), содержащее время. Теорема доказана. Итак, (ассмот(щм следухщее ыевырожденное ореобрзвовавве, ые содержащее времени: ~е=фе(~,~), Як Ро(~,Р) (с'=У," ~пр3(~, )40), (3713) тогда необходвмОе и достаточное условие кннОннЧНОств (37.12) можно записать так: 202 аЕ аФК ж аЖ аул. Эу ( ауе Е7 ' ЗР,= ЪР, ' аР бр ' ' (37 13) кола воспользоваться вырвквыыныв Функцвй Ф, в Ъгб. двзнеыыав Форыулыыв (37.16), то после ряда очевидных упроыенвй соотвоаеавя (37.16) вовне представать черов зсходное преобрвзовваае (37.13) з ваде ауят ЗПьо ~ ~ае, а~, а~, а~,) о' ЗР ач~ ач ) см 39е аре Ьрк 37е Зтв Форнулы в вырекввт собвв крвтерай, т.е.
необходвыое в достаточное условве канонвчвоств преобрнзозанвя (37.13). Крате1ай кывоявчаоств аскет быть вы)кавв в конпектноы ввде, есле воспользоваться тнк невывнеыыыв скобквыв Лнгренкв. З.Скобка Лвгрвква в крвтервй квн о в в ч в о с т в. Пусть вынется набор глвдквх Функций пероыеыыых с, р: ф(с, р), э~ (с, р> (б=у, „,, и), сунну определвтелей Якоба ЖЖ~йЮ обозначают через ( р,у) в незывеют скобкой Лнгрннотч, Рз кв, т.е. дж,м,) ~,ач.
а(н. Зщ 39 ч < 71 е а(9,р> е ~~ос 3~ ар зс ~'(3713) Срнвнвзня это вырекенве с зырзкеннеы для скобке Пувсоевв а(ч,м) аг Зр Ъм зм ч ((, Р)-Б — '=Е( — — — — — ) - а()„р,) ЭЧ ар, Зря а),~ (37.13) иокно зэыетзть сходство строевая этвх величин: кык в лнгрнокезых, тзк в з пуессоновых скобках суыивруытся определвтелв, составленные вз частных производных ФункциЯ. Однзко, еслв в окобызх Пуассона сало две ЩУвкцвв <Р, <Р, Уз вугйиентов с-, Рб в сУынаРованне апренелвтелей провззодвлось по вндексзы вргуыентон, то в скобках Легрвнкв, наоборот, вызов Лэ Функцай 4ф, 9Рб ДНУх н(н7ыоатоз с, р в суыивровеняе определвтелей ~ровэзодвтся по выдексаы' Фувкцнй. В те)нынад скобок Лнгренаа к)вторый (37,17) кеыонвчноств преобразозенвя, не содеркнщега зреыенв, вынет вад (~~$г ~~в3 О1 Ра'Рт) б~ ~7к1Рт ~ Сббз 6~>г-1,...,л).(37.20) 203 Кслв ке преобразование содеркит время, то этот критерий долкен выполняться при любом значение 4 .
4. С в я з ь с к о б о н Л а г р а я к а в "- у а с с о- н а. Скобка Лагрэыка и Пуассона обкарукввают не только сходство своей структуры; меаду нами, оказывается, существует более тесная связь. Лля установлеквя этой последней выведем вначале вспомога- тельные соотношения. уоссмотрзм две труппы канонических переменных 7, Р в у. ур, свя- занных менку собою каноническим преобразованвем. Тогда нетрудно установить, что меаду производными от фуякыий О, Р по перемен- ным у, Р а произэоднымк от функцай у, р по переменным с,,ю су- ществуют простые соотноаеяня.
Лействвтельао, возымев следуюцую двфференпиольную фо~му перемеыных с р и ореобразуеи ее, исполь- зуя условия канонвчности, к внду 2'.,( — "'й~ — — Л вЂ” бр )=Е,([~ Р, 1~4„, ГР р,УР 3=б»у~ '" оРс бР» Отсзща нснз, что долвно быть бР=С Рф-, ф . С Э2» ~б.»=у,..., ю>, ~Р» " То- "Рг д ра (37.21] Аяэлосичным образом из эырюкеявя Й д~,бй ~о,,", б' )= 2-([Ч,~.7 у~ ° ГР ~,ЯР )--б'у[' следуют равенства проззэодяых ар эр, Лй,.
— =-Š— — =С вЂ” д (к»=у,, я~, ЗТ» а'Рт дЯ» дР, ' ' " '' ' (27 221 Теперь, используя эти свойства производных, легко устонавлива- ются рормулы ~09 дР д~~ дР~ ~ З ГдР сР дР аР Эоо дУ~ д~~ ЭР) ~ дЦ др дР б~ ) ( ач ЭР ау ~~1 зб (ао ВР, а~ ЛР, ~ а~, аР» дР. дУ,/ де ВР ВР 2- / которые выракают следующие связв мелку сксбквив Лаграыка и Пуассо- на: 204 л л У Е ~~ ~е У = с Гдг. Ре) 1 ( Ре ° Рт 3» б Ца.
~т)ч СЯг. Рфп(~г Р~(37.23) Пв основаявк етнх соотаааеввй крвтернй кановачнеотв яреобрвзеза- нвя (37.20) мовет быть представхеа телке через окобкз 0увосеав н анде ГРо е Рч) С (~)я'~с) бэ (~ф'Ре) 4 (еР 5" )о). (37 25) Подобна (37.20) отв соотномензя зыреавют аеобходвмые в достаточ- ные услоння канонвчноств преобрняозеляя.
5.Ивзарзаатаость скобок Пуасоова прн кавоавческом преобразования. Рассмотрнм Функцзн гвмзльтововых переменных Ч(9,Р), 4и(9, Р). переменных 9, Р с помовью кавоаяческого преобраеозввая вовне пе- рейтн к новым переменным с~, Р . Вырвана О покоеда обратного каво- ннческого преобреяозанвя 9, р черен ), Р, момен )вссматрмзать Функпян '7(9, Р) з ~у(9 ° Д). В соотзетстввв с етам скобка Пуаоое на от деыных Фувкцнй конно вычнслять любо по стара„лябо пе но- вым перемеваа. Вонемссвяоь этьх двух скобок вырезает оледуювея ТЕОРЕМА 65. Прн кнконзческом преобреяозаввв ~,= 9.(9, р), -ь р( Р) скобка Пуассона зоаеняетса по янкову ( Р, 9)=с(У,У). (37.25) )(ОКАЗАТЕАЬСТВО. Освозызеясь ва козеством зыреяеввз Якобнева от системы схемных фувкпзй, будем внять аМ,Я ) 3(9, ЕО 3(9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
