Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 38
Текст из файла (страница 38)
функция П(~у) имеет изолированный максимум. Величие максимума в этои положении усматринаетсн также вз наинизшего члена разложения энергии по степеням отклонений т —,, л ()(9') -р-)э)(Я-~7 ( с~- 4) В соотзетствии со .это)шм предложением Ляпуноэа верхнее положение равновесия неустойчиво. ч 41. устойчивость линейных систем В ряде случаев уравнения дкя возмущений допускают интег)шрование. Тогда исследование поведения намденного решения позволяет прямо решить вопрос об устойчивости нулевого решении. К числу таких случаев относятся так называемые линейные системы. 1.
И н т е г р и р о н а н и е у р а в н е н и й д л я в о з м у щ е н и й. Пусть диФФеренциальные уравнения для возмущений (ИВА) линейны и имеют постоянные коэффицгзнты сйк — =Е й„еХе, и„=сслзЕ ГК,Р-У,... ю).~41 1) с Устойчивость невазмущенного дниженмя определяется устойчивостью нулевого решенмя этой системы. Будем отыскивать частные решения уравнений (41.1) в виде экспонент Ггз= и,е Гл=д..., ю) 2..;э,) >д ) (41.2) где ()„ , Л вЂ” некоторые постоянные перемет)хз. Подстановка этих фуакций э уравнения (41.1) приводит после сокращения на маожитель 222 е /' с к линейкой системе одаородвых вагаб)шических ураааевий Р:,С 1.6 для коэффициентов (е»: )'" (' э„- ЛД», ) и, = о (' А -е,.
„, л), гДе Еха — символ КРовеккеРа. Поскольку разысквэаетоя аезулекое решение, определитель системы (41.3) долкеа равняться кулю: с» - Л й»я ' ° ° »»»м а а-Л а »)Я)= а,э» а,эя . с„,„,-д (41.4) Раскрывая определитель, приходим к апгебраическаму уреиыевию»я-й стаивав для па)амат)а 1: где коэффициенты о„составлеаы вз параметров»ь»», которое ыезывают характеристическим или вековым урэвыеавем для иатрацы /(а„((.
Корни зтага ураввекия аезмвеют харектервстическвив чвсламв матрацы )(а„, )(. Наряду с определвтелем б(Д),будем (ассмет)акать телке матрацу еК (Х),составленную вз тех ае элементов Ое-Л ~Ф"' ~Ут »хв»хее э'' '~мл (41.6) ~ли»(те ' ' ' цле Таким образом, чтобы (41.2) было решением свстемы (41.1), параметры и,, д калины удовлетворять уревыеавям (41.3) в (41.4). При решении характеристического уравнения могут представиться случае простых и кратных корией.
Пусть зсе корни ураэяееия (41.5) резлвчаы, т.е. все корка простые. Тогда имеет места схедукюця Ае»ь)А 10. если Х„ - простой каревь ураваения »)( А)=о,то существует, по краакей мере, одвы отлячыый от яуля макар »э-1-ге порядка определвтедя б ( А). КОИАНАтеА)ст20. Вычаслим провзводыую по А от фуккцав б (х). Используя правило дифреренцяровквия определителей, аа((дам, что эта 223 производная будет розна сумме вэнтых со эввиои мввус дввгевазьаых минеров ю-1-го порядка а„- Л о~э ' ' ° аэ „, акт хне Л ° ' нею-с Оэз-Л аео'' ' бгя азз-Л" аз~ аз к / б('Л)=- аоэ а„, а -Л цо, а аю.,и,Л Иодстэввн в это ооотвонеизе Л- Лэ з заметив, что поскольку ко- ревь Л простой, то дзккйо быть а~(Л ) ФО, Следовательно, леван часть рввенстэа будет отлвчва от куля, во тогда долкен быть отличен от нуля хотя бы адик зэ даагонэльыых мвворов т-1-го порядка определвтекя б ГЛ ),входящих в правую часть )ывовства.
гев сивым ленив доказана. На основвавз леммы 10 беэ огрыкзчевия общности козью привять, что отличен от нуля минор Оо Л~ Оы... От~~„к ~ээ ", '0-г -х б~ ('Лэ) = Фо, а а „...а,.,~-Л, (41.7) получокщай вэ определителя (41.4) вычерквзвваем последнеге столб- ца з эоследвей строка с последуазей подстановиой Л = Лч. Это озна- чает танис, что матраца М (Л,) будет иметь рент„ ровный лг- 1 . В этои случае в системе (41.3) пс)выо лю- т уравнений будут ые- звввсомм.
Последнюю састеиу мозно представать в наде гп- у веодч воРоДных УРавненнй Дла такого ке чвсла велзчвн иэ/о (5=1,..., л -~), В силу (41.7) решение этой системы единственно в дается фороуламз Кромерэ (5= у, ..., Ф-1), Р„, и пт ( Л а) где Ао (Л,) - определитель, полученный вз определителя (41.7) под- становкой вв место элементов 5 -го столбца свободных членов урез- венвй вли, кек нетрудно убеднться, вычеркввеввем в определителе (41.4) эаследвей строка в 5 -го столбца с последукщаи умвокеааеа я~э вв (-С) з подстановкой Л- Л .
Йнянмо соотноневая предстзвк- мы тезке в следующей форме: э и и, ц, — м =...— й л ("') бл(лг) л"'(лч) Эйэ Отсюда следует, что зсе перемет)ы и< будут пропорпмоиаяьвы опродояатеяяы я, Р.)< е о 14 <у <<з <'д 7 сб. с,..., т), 141 ) 3 где коэррвциевт 3 яыпяется прсвзаекьвой поотояввой. Эту постояввув полвгаеп резвой едивице В .<<. Такам образом, в рвссывт)ыявоыеа случае устввеапеве мь част вых ремевай системы 141.1) 2<4 и.' 4~* Л (Л,)б ~з,у*С..... я<.7. (41.9) Эта разевая везезасаыы ввиду себом. Лейстзвтеямо, допуотаз зависимость разевай, амока бм соотвмзеызя о д,о 2-,С, Гй а -О Сп-Г..., <М~ .
[41.10) упвовам обе части равевотзв вв величавы <ого а просумыаруеи пе авдексу 5, Тегдв о учетоы сведущего вз (41.3) соотаоыеаая да и =я< иа будем масть ео 3 з Л о ~...1,бои,е * -о 1я-с,.„,<я) . ~41 11) Повторяя зтот процесо деяее, после я<-Г вега вайдам мс з я<о ЕХ, е,ире '=о Гр-г,....<и7, о ~41 13) Такам обрезем, по<щчеав одвородваа оиотемв <и у)азвеивй (41.10)- (41.12).
Рассматривая ее отвоовтеяьва аеяачев с, и, е;..., С и б~ ~ задам ° что определатеяь системы имеет зввчезие << Ю < з, следозвтеяьмо, отличая от вуяя, тек как все ко)ыи < . е< рвзлачвы. На такая смтемв имеет только пулевое реаоиие си,Г ' о,„., С и, и -о Гп-~,..., <м). Лд <о Л<<< т Поскольку зсе величавы ио, „,, из по услозам ве резвы иуды ОдксврЕМЕВНО, Отевда СЛЕдуЕт, Чте дсяиВО бытЬ С< " е С = 0 . Пазучевные усяозвя озввчвыт пезааиаамость чвствых реиеиий (41.9). < < д<< "< < <) Ре дк) 1 ...
Л Обращаясь к исходной линейной системе (41.1), мечем теперь представить ее общее решение в виде линейной комбинации независимых частных рвпений -и = 2 с» И б = с' С,»зз(л )г (б у»~)~41 12) рассмотрим далее случай кратных корней характеристического уравнения. Пусть А, есть корень кратности (» . В таком случае р- и производная 1ункцяи л(1) при,л — 1, будет отлична от нули: и ~~( Л, )»ь О, и рассуждение, аналогичное предыдущему, показынает, что среди минораэ порядка гш-)» определителя П(Л,),по крайнен мере, один отличен от нуля. Отсюда следует, что дкя ушата р матрицы М (Л,) справедливо неравенства "ь лш»с .
В этом случае система (41.1) сводится к у независимым урасненинм. Из теораи линейных алгебраических уравнений известно, что в этам случае в реоении системы (41.1),ш- р неизвестных остаются произвольнымв; пусть зто будет й; = 3», ,, »»' т --- В„ ,,остал ные ке д неизвестных г~„, Р,,, , ь»~ выразятся э виде следующкх линейных форш относительно величин Л,, , В,„.б».' ©»" бк (1»)В»» Д» (1») дя» ''' »лк (1»)Зл» Т (Р»о ) ~»» ° »~~~) Тем свини получена система решений, зависящая от»л-у» произвольных постоянных 3~,..., 3 ~, 1е 1т лс,-В,~,...,х т-3,б; х „-)'б Таким образом, одному корню 1, кратности р соответствует »я ся р частных решенай, которые следуют из 141.14), если полонить 3„»т для К-т,....
»ю- у»,а прочие 3 (гтг) равнымв нулю: т ' »о-р»» бм-й»т» М, ° Г~» я»» (АЛ)г ~41.15> 226 ыатрнцз вз коо$$вцвентов прв н"" в прови частях зтвх соотношений вынет звд О...О б „~1)...Л Р) О 1, О Ьш т~» ~Ел) йм Рн) 1 4 и 12 р),. б СЛ т) Она, очевндно, имеет ранг, резвый а-д, следовательно, ее строка незззисвмы. Тем самым получена светова»н- р неззввсвмых решений, соатзетствушзвх к)штаоау корню л~.
Если р= о»-)», т.о. есле ровг матрацы МЯ) вынет навмевмкее значение (в зтсм случае матраца М (Л,) змеев простые зкементарные делители), то и»- о = р, в получевнбе чзоло рмзевай )швво врат носта корня Я,; том сзмй~ вспучены все ршкеввя, соответствувщве отому корню. Пусть таком ае свойотвом облвдаиш все другве к)киее, корни. Тогда общее решенно системы [41.1) мозно представать в фо)ше [41.13) г =л.С,.х, ~$-),..., »н), прв этом кратный кореаь считается столько раз, какова его кратность. Если рент О мзт)идн ЯУ,) больше»н-)», то чвсло о»-Р полученных уквззыным способом решений будет меньше крзтноств )» верня Я, . для нзхозденвя недоствзвмх ~овевай вх отысквввют в наде лнненных комбзнзцвй функций а ',6е ',„,, Й б ' .
Пусть »л,е Р-г л, о указанным свойством абзвдзет хотя бы сдав кратный корень. Тогда общее решение састемы ~41.1) змеев кмд и, л.о х- ' з= ,Ерг Г с,..., ), з % где Рз - папином отнасвтельна зремезв, степевь которого и, зв единицу нкао крвтноств /» корня ~,, т.е. И, р,-т: и, з» з Р~ =У„и„т+ . + ))„,о4 ~5=»„„, г»»), 141.17) Члены и, 4,„,, И„з 4 ', неогРвннченно зоз)шсташкве с течением времени, называют зековымв. оа е е В частности, еслв все кора простые, то»», Г, Р Р =С ~„ в формула !41.16) совпадает с фа)шудой 141.13). Следовательно, И1.16) мозно рассматривать как общее представконне решеавя сз- стемы 141.1).
2. К р к т е р в в у с т о й ч в з о с т з в в е у с т о йч в в о с т н д в н е й н о й с в с т е м ы. Общее решенно 227 ~41.16) уршввеяий ливейяой системы ~41.1) позволяет сделать звклшчевве о хз)матере устойчивости ыевозмущеяыого дрэкевия.
Пусть все коры хз)акте)вствческого уроввенвя имеют отрицательвые веществеввме чести, т.е. ЭбХ Ж )е-- "О. ~41.18) ~сзат Тогда с учетом усковай Ыв е~б ' =о (с=ог,..., п~.) получаем с о л Л Ь;=Л', Ея СЛ, б )=О, г в нулевое решение системы диф)шрекцязльвых урзшзеывй ~41.1) зсваптотвчзскв устойчвза кзк при отсутствии к)штяых корвей, твк и п)а вх взявчви. Пусть теперь хата бы адан каревь Я хзрзктервстического урвшвеввя ииеет половатеяьвуш действительвуэю часть Яг Л, > о Тогда системз ~41,1) амеет решение л =е Фо е " которое веогровачеаво воз)встает ща 4 , в то время квк его нзчельвое эввчевие .х'.Е,)) макет быть сколь угодяо молым зз счет произвольного маоаителя С,.
В етом случае нулевое решение овстемы (41.1) веустойчаво. Нзкоыец, пусть среда кореей хзректе)шстяческого уразяеявя яет вв одного ко)шя с пояомвтельвай вещественной частьш, во есть корив с вулчэвии веществевкзмв чзстяыв. Рвосмат)шм одвн вз геках кореей Л 1 М,. Если оа простой, то ему соответствует огреввчевяое о евое ремевие х б,из ое ', КОтзрсэ МОает быть сделзво сколь угодво мелям эа счет выбора произвольной постояввой Со. Авзкогвчво обстовт двяо в дкя к)штвого корня, если ему соотэетотвует матраца яд у ) ваавазшеге рзяга у =л-)о .
доли ке коревь Л,=ууе крвтвый в уавг матрицы Я ~ г т,): р >л - р,, то еау соответствует ре- аевие аеогразвчевве вовреетешщее со зремевеа эв счет вековых члеыов. Таким образом, в )ассмвтризвемом оиучае вулевое ревеяве будет. устойчиво, если в решевав (41.16) во всех слагаемых, где ЯшЛо О, будут отсутотвеввть вековые чдевы, в веустойчвзым в противвоа случке. Отметим шзе, что в ршосмат)швземаы случае устойчавооть будет обычной, ве асимптотической.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
