Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 41
Текст из файла (страница 41)
29 авет подачу пара. Регулятор имеет дзе степени свободы. Ваэьыем н качестве обобщенных коорцвнвт угол 4 етклоненвя стеркней с груэемв от нертзквлв в угол с поворота регуляторе вокруг яортикнльпой оси. Составим уроквенвя дэкаеввя регулятора. Учитывая только массы груэон и счктня вх точечнымв-, найдем,что кзнетнческоя энергвя регулятора Увнын 7= лы л8 19' об Ухи Ф) ° к я 'я 'и я для вахоадевая обабоивяой свлы 6,, соотвототвукщей углу (У,составим ачемовтарвуп работу Бац, авгиевых оал ва явртуельвои перюмещоява свстемы, отвечающем п)и)зиеева етого угла. Учвтызая силы тяаеств грузов в травив в вараврех, считая з первом проблвкеияв момевт сал трения пропорцвовавьвым скареста вращения Мд,--~дгде о>с — взвестввя постояявая, найдем, что оАо а 6ц будут соответстзеако резвы ЗА„=-й(я)~буме(у+бай)8Ю, Й,У=-Ю уВЬояЧ+ЙЮ.
Чтобы определвть обобщевыуп салу тте, требуется звать воздей'ствие мвиивы ва регулятор. Это воздействие, однако, обычно херактерозуется яе динамической велвчавой, а кивематаческвм соотвоаезвем, связывающим скорость сб впощевия маховака со скоростьщ 0 в)вдевая регулятора вокруг вертвказьвой осв: 6 ио), (43.1) где и - так везываемое передаточяое чвсло.
Тем совью силу вычислить вельзя. Взвмев мокко воспользоваться двфферевциазьвым уразяоввем врвщеяия маховика, определяемого заков измеяоввя его угловой скороств. ф~ м,-)у), (43.2) где ) — момевт кяе1щаи маховика, .И, - мсмевт сил давлеыкя пара, я .М - мамевт сал вегрувви яо меиияу. 0брвтяое воздействие регулятора ва мяивву прояаяяется з том,что вктозкый момевт Л%, зеввсат от угла отклювеяия стеркыей регулятора от вертвквла по закову ~у), =С.,+ К(ссщ-ест„), где ч„- угол откловеявя, соответствухщий еадвыной рабочей скоро- ств ярзщекия маховика, б,- зяаченве момевтв Дф~ прв Т' Ч,е (~ > 0 — постоявяый коиЩацвевт пропорщионельнаств. Лаффереяцаольяое уравяенве, определяхщее зеков взмекеная угла у, мокко получить, зоспользозавввсь лагреяыезым уравнением Д ат атея ~ю а~ й(о= и л- гя юу (у ли с" Хоо(гссх(Р=-м~Руепу- Фф.
(43.3) Иэ соотвовевай (43.1)-(43.3) следует, что свстема иеивяа-регулятор описывается двумя дкфуерояпоолыиив уревневяямв ея у лют с ш Ип4гоо 9-я~еум~-Йц е- ля л. э (43 4) 240 Д;> = й СооЧе-б, 6-М- б; 1еову, Лля цроведеяая системы к яо)ввльвоау веду пвооааа у-<у, тогда буден акать Ч-М, ~)~ ~ ц й) Уев 4о се о ~ - е Яя 5е у в в, д л~г о (43.8) Л вЂ” сову-— .У Х 2.устойчавость ствцвовврвего рея в а в. Легко ведать, что свстеыв ~43.8) урвввеввй дапусяает стоцваыв)ное роаеяее Ч" %., М-о, со= сб, ~43.6) определягщее стецвовврвый )вава роботы аваева, в которве постояввые с~, в и>, опрецолввтоя саатвоаеввяав Х ~ ф -'- — ' л- — ~+-о- уолл й ЛеД.
Ю Ле е соот его Л ~,д Л = — — ЛалЧыа. .Г Вековое урвэвеяве для получевыой свстеиы (43. 9) О ят ~~Р е ео1гр. — — 54лв, после реса)ытая определателя внове ввд 241 й в л ю доз<у., пи,= с е Сове (43.)] Задаче состоят в всследовеявв устойчввоств этого отвцваяврвого дэваеввя. Введен вазвущеввя х ~о~, о, половав У-Ч,~в, Ч-у, у-сс„л . ~43.8) Тогда свстеав (43.8) п)введет к урвввеваяв для возыущеввй, кото)ыо после лвневрвэвцвв в всклвчевяя с поноцьв (43.7) волвчввы ялсрл п)ввввеют ввд „5 е б а*я 7. 222~ 3*'о уЬ л~е' (ео57, (43.10) Потребуем, чтобы нулевое решение системы (43.9) в лвяейном приблвиенви было асимптотическв устойчиво, тогда мавно гарантировать асиыптотическую усто)(чивость и нулевого решения для нелинейной системы возмущенаого дзиаевия. В соотиетствви с крвтерием Льенара-Шипара для этого требуется выполнение услонвй Й.,>0, О~>0, Ох>0, Оэ>О, (43.11) о, о,~ лт ~ ~= аэщэ а аэ >о.
ш. ця~ Все коэффициенты уразневвв (43.10) полоиительны, поэтому необходимым в достаточным условвеы асимптотической устойчввости судет выпслвенве неравенства л„ > о, которому с помощью первого условна (43.7) мошно с(икать вид гЗ йа — > тте сб (43.12) Лля выявленвя мехонвческого смысла правой части послеэяега неравенства заедем играющее вэвную роль в технвке понятие неравнамерностм хода паровой машины. Иэ соотношенвй [43.7) следует равеыство а ю, = — .
Отсюпн видно, что при изменении величины е л «» '= еа' Й=М-й+таоэр„, т.Е. Прв ИЗМЕНЕНВИ НаГруЗКа Л4, будЕт МэнятЬСя стабильйзя скорость Ы),. Величина 9= ~'~~ ~ и называется неравномерностью хода паровой мшэивм. Из предйдущего легко усматривается равенство (д, б = й"-, ссяэр, дифференцированием его получаеи и Ьеэ. сз.
' ее' ' сэ, ьм лц — — — ° Таким образам, Ч= — ', и условие устойчивости систелщ мы машина-регулятор (43.12) воино п(мкстввить в следуюкем окончательнов виде: е У1 — >х т (43.13) Нарушения работы регуляторов в середине 19 столетвя связана с тем, что все параметры, входящее в условие (43.13), стали изменяться в направленви ухудшеввя устойчивости. )(лн обеспечеывя устойчивой работы регуляторов Вышнеградский рекомендовал в качестве реально осуществимых условий вскусствеаное увелвчение трения при помощи специального устройства в увеличения неравномерноств хода за счет изменения параметров я в й, зависящих от ковструкцви мшпввы. 242 Главе УШ иыыи кяылия Теория мелях колебвнвй является п~шбхвкеваой тес~мой, оввсыввющей дзекенве механическвх систем вблвзв устойчавого половеввя равновесия нлн опрехелеянога устоачввого двяаенвя.
Онв вмеет первостепенное зночение во многнх областях неукв к тохкнкв. Начоло развития современной теории калебсввй саяново с рнботвмв Гюйгенса, Ньютона, Лвгренвн. Теперь ото швроко рвзввтвя тео~шя с многочисленнимв првлокенвяив. В основе теорвв леквт ярвблваеннме методы опнсзнав двваенвя. Предполоаеяве о малости возмущевай позволяет лвневрвзоввть абаке нелинейные уршвненвя, сведя вх к двнейным урезненням, что существенно упрощает есслецовввве задаче.
$ 44. Малые колебвнля консерввтвввых светом Буден рессмотрвввть двваевве ковсервнтвввой системы в окростноста устойчивого полоаеннн раоновесвя. установим ланоаушверовевную евсееву уревненвй дввкенвя в поколем, что онв определнет малые колебенвя. 1. У р в в н е в н я м в л ы х колебав ° Й. В ушосмвтрмваемои дввкеняв свстемы обобшеяные коордвнвты ° обобщенные скорости, по опредоленвю устодчнвоств, остаются мвлына. веллчвяа мн з любой момент времени. Это обстоятельство позволяет сохранять в двФФеренцавльных урвввеваях дввкеввя, ннпраиор в легрвнвевмх урввненвях второго рядн (9.27), только ллнойвне члены атяосатель но координат я скороотей, отбросвв остахьвые малые члены белее высокого порядка. Те ке лвневрвзвроввнвые уразвеввя, однако ° моаао получать более пресна путем, еслн предввуательно лввевразвроввть вырваенве квнетвческей в потевцввльвой ввергай, в затее состввать обычные лаграваевы уравнения.
Зги эне)иии доя консервативной системы с и степевнмв свободы определяются через координаты с~ и скорсств с е следуюавми вырааеняямв: Т='~~ < ),, ))=П1~) Прв етом полагаем, что Т(П, 4) в ПГ4) являютоя голомордыми Функциями. П)маем, что полокенвю устойчивого равяовесвя отвечает начало отсчета коордиаат сп = о ГК- 1,..., и) и что потеяцввльная энергия з зтоы полааевии доствгает строго мвнваума и обращается там в нуль Я~о) =- О.
Лвпеаризвруем выраяения для фуавцвй ТЯ,') ) в Д®, Разлоквв коэррвцяеяты а 14) в вырааеввв кинетвческой энергия в ряды по степеням координат в окрестноств начала координат О„К=Гьот Е.( а ) 9 " (б'П=,С,..., и), устанавливаем, что с точаостью да квадратячных членов кинетическая энергия будет равна о Д ~' бгуб7$ ~ 44.2) Разлоаим в ряд по степеням координат в окрестноств начала а~ счета и потенциальную ввергаю По у у П(~~=О,а)'Зп )=Я 1)=о ( > 1 ",Я) сз4, о ю по определению полокеввя рзвновесвя, то разлокение потенцвельной знергяи начвнается с квадратвчных относительно координат членов. пренебрегая членамв третьего в более высокого порядков, найдем лля энергии П вырааевие l Пт1) П= —,Ее,~,~, с,=( бт < 44.
3) Таким образом, кинетвческая и потенциальная знергии прмблааенно представвмы в виде квадратичных форю с постоянными коэфряцаеатеми; из определения зтих величаи ясно, что мат)мцы коэфрицяевтов будут симметричны а =а .,„, С;. - а я 1с;х - х °, «). 244 из фнзыческого сынолв кнветвческой заерцнв следует, что всею да Тю О (Т о только пра е), - " - ()я с),следовательно, квадратичнел форюа й'Г Яа" бе~. бУДет половнтельно опРеДелевыой.
Что касается квец)атаевой фароы к))-Ебою уе- уг, то ее полоаательная опрецеленность следует вэ принятых допуневюй о тоы, что потенциальная энергня доствгает в начале отсчета строго наквыуаа в равна теы нулю. пользуясь вырнкенвяыв (44.2) а (44.3) для Т в (), устзнавваннен, что лагренкевы уравнення в обобщенных коарцвнатах ~ Вт Вт ВП вЂ” — — — — (о г,..., а) бе а4, а), эс '' ' ' (44.4) з рассыат(ювааию случае пронвкают ввд Е(а,.~..с„~,)-о С =у,..., ю) . В этих уравнениях величавы аыч называют инерпвонныки коз))рапяентояв, е С' г - коэР)апкентенв весткоств.
Первые вз нвх определяют инерпвонные, а вторые - квазнупругве свойства снстены. Зоцоче определения цзвкенвя з окрестности полокенвя равновесия, такны образок, свелась к ксследозеаыю реюенвн свстеыы лвнеянчх однароцнчх дяфререновельных урввненвй второго порядка. Поколея, что отн уравнения определяют излые колебания. 2. Г л а з н ы е в о л е б а н в я. Предствнвы уравнеавя [44.5) в катричноц Форне. Введен в рассмотрение две полокнтельва н зектор-столбец с опрецеленкзе изтрецы А , [) с-) е л~' ''~ля с„ ... е,„ Ф е ..е ею ее "(е [44 6) тогда система двКзренсвельвых уравнений [44.5) конст быть запв- сана в веце А~ б~=б. (44.7) Буден отыскивать частное реюенне этой лввейыой саотеыы в ваде Ю 5(я (Сь1 4 + г.), (44,8) ГДЕ й- ОЕКтОР-СГОЛбвц С ПсотОЯВНЫЫВ Зязызатвюа Ц„..., ие,а СУ и Ы.
- пареыетры, т.е. в вввв гаРыонвчеоках колебвввй с сдавав а теыв ке цля всех коорцвкат частотой в Щвзей, ао с разлвчаюв внп- лктуцанн. Подстановка этих выражений в снстему (44.7) прзвоцвт к следухщей системе алгеб)юнческвх уравнений цля амплятуд н частоты: -й (' С - ДА ) ь( = О, л = сз (44.9) Поскольку все амплитуды Цп не должны одновременно об)шщаться в нуль, т.е. пля существования ненулевого решенвя этой системы должен быть равен нулю ее определитель с)п4 ('и-ЯА) =О. (44,10) Таким образом, получено характеристическое уравнение, которое является элгебрзнческвм уравнением и -го порядка в служит дкя нахожценвя частот.
Свойство корней у(евненвя (44.10) выражарт следующая ТВОРИМА 72. йоран характеристического уравнения (44.10) вещественны в половнтельны. ДОПАЗАТЕЛЪСТВО. Пусть Я вЂ” комплексный корень. Тогда ему будет соответствовать вообще комплексный амплитудный вектор-столбец У— вектор с комплекснымз элеыентаын Ф , определяемнмв вз системы (44.9): х.'(и -Ла~~, ) и,. О, умножив каждое нз этих уравненвй на соответствующий элемент УП, комплексно сопряженный элементу и и просуммнруев результаты Д(С вЂ” Я0~~.„)иДгО.Отсюда находим, Х стттхо(хе 2";а,,а,.т4,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
