Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Чтобы эта система имела ненулевое решение, параметр 2 цолкен быть корнем характеристического уравненвв (43.36). Из (44.41) в (44.42) следует, что нормальная коорцвната В удовлетворяет уревненкю 0 е Я О= О. Прнцнвея здесь Я значения Уч и ( > получаем следующве уравнения дввкения мзятняков в нормзльных коордянатзх О„, 6„: 6„~ Л О = О От+Я 6 =О, Х =От .Ля-- са)я сбщве решения этих уразненвй вмеют соответственно ввд 6~=8~утп(ь)~4уы~), Оя=юяуоо(й)л4 ~охя) т (44 43) гце В„Вя, л<, ыя — проязвольвые постоянные. сопоставив (44.38) я (44.39) с (44.43), црвходвм к выводу, что в первом главном колебанвя меняется только перввя нормзльнея координата, а во втором главном колебания - вторая норкельнея координата.
Воотношенке (44.42) с учетом ранее найценных значений велвчвн О,' определяет следуюшме связи немцу нормальными в обобщевнымв коорцянатамя: е я Ю= и., у, ОяЬ='~,"чя ~ Оя="~4 'Оя%='4 %я ~ т.е. в ценном случае норыельные коордмянты нредстннляют собою сум- МУ В РазНОСтЬ УГЛОВ Ч„В СУ . ВЫРавнн ОтСЮДа У В О ЧЕРЕЗ От В Оя и воспользоввнпвсь фо(шулзйв (44.43), снова приходны к общему решенвю (44. 10) уравнеявй мвлых колебанвй. Рассмстрвм цвюкеняе мзятнвков прв следующих начзльных условиях: О, ~усато)='4, ~Уй(о)=Оз 1~~(с)=Ор 9~яСО)=0 Иа (44.40) следует, что по этвм условиям нронэвольные постоянные 254 т 45.
Влвявве перводяческнх внешних свл нн калебннвя консернатвзной системы Первохвческве знешнве свлы могут существенно взменять кслебннвя консервативной системы н окрестноста устайчввого половеняя рнвновесвя, которые она созерозла пок действием однях только потенциальных свл, в слуквть источником возникновения таках шрректов, кнк резонанс, биения и пр.
1 . У р н з в е н в я и а л ы х д з в н е н в и с у ч ео том пери ода ческнх свл. Пустьнамехзнвческую систему с я степенямв свободы, соверозюоцю цввненве в окрестноств устойчивого полонеывя рннновесвя, вместе с потенпнальвымв свлнмв- — действуют тезке возмущзкщве силы 6е, первадвческв ап ВЗМЕННЮОШЗеоя СО Врсввпвв С Пзрмсдск т =Во/Я, Гдов ЧаСтета СИЛЫ: 6 =6 ЕЕ), 6е(Е т)=6 Ее) Гб т,.„, и) Возмущашщве свлы обуслонлевы зоздейстннем кнкого-лвбо внешнего по отновенвю к свстеме пе)шодвческв неменяющегося факторы, В дельнейшем будем полагать, что свлы 6я допускают пренстенленвя в воде радон Фурье.
Прв вспользонннвн лвнеа)шзвроненных ныраненвй квнетвческай в потенциальной знергвв Я'Г- Ло.,', д с , лу)=ЯС Ск~ лагрнвмены урзныенвя ат ат ал — — — — = - — + 6 Й'=У,"., и) дЕ Эб а)„ап~ в лвнейном првблвненвв првнвмзют ннд (~'~а'а )з ~о"г')'г) 6о.ГЕ) Гб х„..., Я).
Е45 й) т Плн упрощенвя састемы перейдем от обобщенных каордвнат к нормальным координатны по фо)шулем (~ ж~ )4~9, Е г=м...,,л сеяеее) ) АО), Умновея уренненвя (45,2) на зелвчвны И~, суммируя во вндексу е в переходя к переменныы 6р, получки Переход к но)шельным коордвнатем означает одновременное преоб- рвзоввние ивтуац А а С к магоиапьвоиу мпу; вводя, долее, для ПРЕОбРВЗОЗВВВЫХ ОбОбЩЕЯВЫХ Сап ОбОЗВВЧЕЫаа Ю,е, бУДЕИ ВпотЬ 4 и а и~=8 ~,4",.иа и -). Б~,Еи а,~ 1455) поскольку обобаеавыо силы Я (о) допувквм )евпоммя з ряды Фурье, то в салу мвейвоств фврзул (45.5) отии сзойствоы будут облапать в свлы О, т.е.
будут справедлям предстозловвя 9 (4)=1~~ лд,ууаяС~лт+)вмр) (4В*4„.,я). (45 6) уо С учетом (45.5) а (45.6) урвзвевая дзвкеыая (45.4) првмиовт зад систеиы незезисвиых урвмевай дла но)иаковых коорхиват 8 ~Я 6 "Е Р„рую(рйо+)6 ~)(ю-1„,я)(45,7) ус 2о.исследозввае дав заявя, Обаеереюаве урвзвеяая (45.7) выест вад о 6~о=Воз утя (иЫ ~асе)+Юое (''а 4 ° ° ° я)) (45 6) ГдЕС7 )/Л - Ссботзеяпво Чаотети СзотЕИЫ, В,а,~Сов- Преаояояз яые постояняю, в В„ - вокотароо чвстяое ромме.
Легко мдеть, что з УРеввеваа (45л) квклмУ слагвеишУ ЯягУаЯЯУЯ4+6„у)пувзой часта отвечает частное ремизе уувявемя мдв —.-*.',~Я.~(е(7))озтоиу в салу лвыейвоств урвзвевая (45.7) его часовое решение 5) ыоает быть предстазлево токае в ваде ряда Л~~г В -~ —,—,„~*'((а4+6,)( -С,...,.). „,„ у-о со~а-р Воззри(мсь к п)ввввв обобаевва коордаввтеи с поиоаьв Фо)ыул (45,3) а предстевзяя ота фоуиулы з иатрвчвой Форие~ Яй~9а,где У'- выпмтудвый вектор с коипевевтвм й', „,, Ф„», с учвтеа (45.6) павочки 9=7 '7™ (45е10) где УУ ~" й4ЙВ Уалйдет ~ма) ЮВ ввалится свободиым волебвввяиа, а я 257 (45,11) (45,12) вынужценнымя колебаняями системы. Таким образом, злияыые цериодичных иозиущеющих сил проявляется з возникновении вынуаденных колебаний, происходящих с частотою этих сил.
В результате цвижение системы предстаиляет собою супер- позицию свободных и зынуждвнных колебаний. Если некоторые ТЯ совпадают с одной из собстзенных частот исл, и соответствующее Йыу Ф о, то для координаты ю имеет место явление резонанса д -га порядка. Отсюда ясно, что чем больше у систени степеней свободы, тем богаче у нее резонансные явления. В заключение заиетим, чта среди свободных и вынужденных нолейний ст постоянных интегрирсвзнив зависят толька первые из них.при етом легко видеть, что нс уцается сделать отклонения сколь угодно малыми для любого момента времени путем соответственного выбора малых начальных отклонений.
В частностя, при резонансе зги отклонения могут со временем неограниченно возрастать. Поэтому полажение равновесия, устойчивое п~ю отсутстзия зозмущающих сил, станоаитсв неустоичивым при действию этих сил. т 46. Колебания при наличии дяссипатвзных сил Выясним влияние диссипативных сил на колебания консервативной сястемы около положения устойчивого равновесия. 1. У р а в н е н и я малых д в и ж е н щ й с у ч ет о м с и л с о п р о т и в л е н и я. Будем считать, что механическая система с я степенями слободы салерпает движение в окрестности положения равнаиесвя при наличии консервативных сил и сил сопротивления среды.
В обобщенных координатах с„..., с„ консервативные силы определяются через потенциальяую знергию Л по фориулзи сы =- — ( е = л,„, и). Относительно сил сапротизления зп ече праняиается, что при иедленнмх движениях они янляются линейнымя функциями обобценных скоростей: 6" = -Е, 8 б', причем ю -8 = аолИ ~б г =у,„,,гзу. В этих предположеняях можно ввести циссйпативнУю фУнкцию Ракен Я=яхт~ б бю,лзллющтюсн апРеделенно положительной квщцратичаой фориой обобщенных скоростей, через которую силы сапротивлеыия можно представить в там же виде, что и потеыцяальные силы, а именно: Я.
=- —. Си =л,..., л) . эя Полагаем, что паложеняе равновесия совпадает с началом отсчета обобщенных координат, что потенциальная энергия в нем равна нулю и достигает строгого минииума. Тогда в иолой окрестности подааения равновесия для кинетической и потенциальыой энергий будут справед- 258 ливы приблииенвые вы(мнения 3Т Ей Т ут, РО Ег )ьувп)в- чем коидвя ао нвй, подобно фувкцаа релея, будет определенно пелэ- аательнон квадратичной фауной. Лэивевае в окрестности рвзаовеоаа будет определяться легрввае зымв урввваващв — — (б" С,..., Л), а( ат Ът М 6)У и а~, а~, вс а~, которые в россини)вввоиых условаах дввт следущие лавевраэовнааме уравнения: Е(а' 'р';В„р б„д,)*о (е-у,,я) . (46.)) Таким образом, (46.1) представляет сабом систему и однородных линейных двфференцинльных уравнений второго поря)псв с пастоянаав коэффициентами. Вводя киев)мткме матрацы А-((о' .
((, В )(еач )(, с-!(сеа)! а обозначая через ~~ вектор-.сюибоц с олеиевтнмв с„..., ~„, представим оту систему в следущви ивт)винам заде: А~+В~+а~ о . (46 а) В.Интегрвроввяае урнввеввй двина~ н в я. Будем искнть рааевво састеаы (46.2) вада 9= Ть~ (46,3) гпе й — вектор с проиовслзныиа постоянвмии олеаевтвив и„... „а„, а р — некотории настоенный пнрюетр. Подстановка етого вырвнеааа а ивтричнае урввневве (46.3) прввоивт после сопрановая нв оковтаевту еГ к следущей однородной алгебраической свстеие для вектора ц и числа ь(: (А,о',В .с)й-о (46,4) илв в рвзнервутой энпвсв Е(а,' ри,8р+С т)и;О (е=~,„., и) Чтобы отв састемв иннин аевулевое реаеаае, необходимо и достаточно равенство нули ее определвтели.
Это приводит к следувиему уравнении для пврщетрв ц: л(р> баб(Аа( т3!г тС~)=0 (46.6) или з подробном задо А я Й ) а„)( ° Ь„р. Е„... а,„ц ь Б„„и е С'„~ У)ювнение (46.5) называют вековыы влв характервствческиы уравненвеы для канной систеыы. Это алгебравческое уравнение степенвл» относительно,И ; оно определяет Яя ко)шеи р„...,,цля. Огрезшчвыся рассыотренвеи основного случая, когда все зтв корив РаЗЛВЧНЫ. НШКНОЫУ КОРЮ А(е СООтзвтотВУЕт НЕКОтОРОИ ВЕНУЛЕВОЕ решение й аистовы ахгебпавческвх уравнений (46.4) и, следоме ве тельно, частное равенне Ю Е~ е систеиы дифреревцвальаых уравнений (46.2). Общее решенно этой систеиы дифйеревцвальннх уравнений будет представлять собою следукщую линейную коибинацию частных решений: Ае 7 (46.6) где С;...,, Ся„- Произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
