Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 39
Текст из файла (страница 39)
3. у с т о й ч в в о с т ь р в з в о в е с в я груза ° ва пруааве в среде с оепротавлек к е м. Пусть грув месса лт вовек аоверювть првелзвейаое дзвкевве под действвем воссЪеавззвввацей упругой савв, пропеуцвеавзьвой откзовевзм, в сала вязкого треззя, пропо1лдовмчьаей первей степевз оиороста. Исоледуеа уотойчавость полоаеваа рвваовеовя.
Возьмем качало отсчета в полоаеввв реввовесзя в ввпревав епьх в иепрввлеввв дввзеввя, тогда легко видеть. что двруеревцввзьаое урвввевво дзкаеввя будет вада лх--ех- ~х, где б а,с - ковруацвевтз восствввзвззеецей а те~мовяцвй сал. Это уреваевве второго порвдка мшао пуедставать в ваде ворввльаей па- ствам 4Цл» сг где полояево М --Фх-Рох л г Вк й - —, ре- —.
я б м Ф хл Псзучеввая свстемв являетоя озотемой дзя откаоаеаай. Уаваовесвв отвечает вулевое уеаевве. Сзстемв лваейвоге твпй. Матраца квэФ$вд~евтов пестояввва з змеев вод Хвректервствческое урвввевве в этом олучве будет кввдрвтзмма = Лз~й Л рл-о, 5 42. Устойчввость по левейяому првблааеваз Урвваеввя для воемущеввй вообце велввейвм з в обвея случае ае внтеграруются в елемевтарввд йуакцаяз.
Получал поэтому реопреотумкевве метод всвзедовеввя уотойчзвоота вулевого ревевзя пе урзвае взяв лвяейяогс пувблваевая, пвзучввзввея путем лааеараеецвв вела- 229 его коряв прортне в змеат еввчеввз Л л куя - «е Ал -л-~/яе-гв . Тек кек або корка вмевт стувцвтельаме вещеотвеввме часта прв лабом сопротввзеввз, то яевоэмуцеакое дваяеяае - полоаеаве рвзазвесая есвмптотаческз устойчвво. нейных уравнений. Ляпунов первый указал на неэквивалентыость линсиной и нелинейыои задач и установвл условия, при которых результаты линеннои задачи сохраняют силу в нелинейною случае. 1.
У р а в н е н и я л и з е и н о г а п р и б л и в е н и я. Выше атыечалось, что в нелинейных ураннениях для возмущений — =Хк (4,л) ( Р=т ° ~л) Ю (42.1) правые части считаются голаыор)шыии функцияыи. 11ользуясь этии, разлохии их в ряды по возыущениям в окрестности начала, отсчета, тогда,с учетои условий Х (с,с) 4ю (к=д..., ю ), получим дх„ =Х- СЬХ, (С)ХЕ т~ (С Х) ( К= У...., Л) е (42 2) где через ~„ ((,л) обозначена суиыа членов реда второго и более высокого порядка относительно возыущений, являхщазся такие голоыорфной функцией. Стбрасывая в уравнениях (4'..2) все нелинейные члены ~„ , получаеы линейную систему дифьеренциэльных уравнений с~х „ сь =х.",а„,х, ('Л=У,..., ), ( Э е которую называют линейныи приблияенвеы для нелинейной систеыы (42.2).
Различают стационарный в периодвческви случаи: в нервов из аех величины ст постоянны, а величины у эазвсят только от возмущений; во второи случае — а„е (е) и ~ ('е,ю ) являются пе(юодическиии функцияыя вреиеня с одним и теы ве пе)иодом. Ь обоих назнанных случаях Ляпуновыы было установлено, что иэ асиыптоти вской устойчивости или неустойчивости линейного приблихения следует соответственно асиыптотическая устойчивость и неустойчивость нелвнейной свстеыы. В случае ве обычной устойчивости линейного пушбликения сделать заключение об устойчивоств нелинейной системы нельзя. Этот вопрос требует дополнительного рассмот)мнив. Эти результаты Ляпунова виеют ваиное значение, поскольку исследование Линейных систеи не вызывает особых затруднений, В дальнейшеы огреничиыся излоиениеи результатов Ляпунова тельно для стационарного случая.
Предварзтельно изучив вопрос о поведении лиаейной систеыы при преобразовании переиенных. 2. С в о й с т в а линейного и р и б л и в е н в я. 230 Подвергнем линейную систему (42.3) йевырожденному преобразовзлвю переменных з х У/57о ( =У,...,/ю) ( д'я)ФО)/ з (42,4) тогда система п(шмет вид (у с(Лз «/ с/т Т /2хеУ-'/оЛ/ Умнсжнм обе часто каждого из уравнении на соответствухщий элемент Ц,„ об(атной по отношению к (/ матрицы (/ и просуммируем результаты, в итоге с учетом свойства Д (У Ц ~ Де буден иметь зз к1 д, =/-агехз а,о=~ (/ока,е~ез (т,з-х-.,ю),(42.5) где я, являются элементами нреобразовзнной матрицы. Свойства характеристического уравнення преобразованной матрицы ныразает следующая лкцмА 11.
характеристические уравнения матриц )(а„)! в ))/ь,. )! совпадают друг с другом. /ТОЛА(3АТПЛЬСТВО..Составим очередное матричное равенство ~5 ~я зе мз )! ~~ /е ~~ ~$ Переходя в нем к определителям- и учитывая, что определитель произведения матриц ровен произведению определителей сомножителей я что провзведение определителей пряной и обротной матрац равно единице, найдем соотношеыие (а' -Лд' )=/У~„! )Й.„~ — Л/)ие! )Узз(= )~~ — "д'„ которое и доказывает лемму. Таким об(азом, характеристическое уравнение матрацы инвариеятно по отношению к линейным преобразоЛругое свойство линейной системы вырывает следухщая ЛВЛИ 12.
Линейная система двКеренциальных уравнений (42.3) с помощью невырожденного линейного пресс(названия переменных (42.4) может быть првведеиа к внДУ (42.5), в котором преобразованная матрица имеет треугольный вяд (42.6) 231 а// ал/ /ю/ а/е а,ю, аул "л Г /з/яе ° ° //» ю 1 1 (с А.й ... Аюг 0 4я...
Агя 1 т х 4с Ав ... 4ю, Ей Сгй .. Оэ с т Аю к А~о,в ° Аэт 0 Х'„, гУ [42.8) На основание левым 11 п)я невырокдеввок лвкейвом преобрезовенви хкрькто)ыствчес~ое уреввевве мвт(вцы й0е, И ве измевяотся, поэтому ивтрицв й йе,!!к будет аметь своими хв)акте)ыствческюв чвсаемк остельвые л-с хвректе(иствческвх чисея Хх,..., Л„,матрацы )(а„, й. Примевим апвсовный процесс к системе посяодиях л-х уреввевий (42.7) в т.д., в атоге всхокяув систему (42.3) .приводю к треугольному виду т бей + атал ау о " Л Мя + ' ' ' + оье 2ю б( ю р (42. Э) 232 Гдо Х» — ХаравторостиЧЕСКВЕ Чаояа Матрвцм Н 4х„о ((,Протвы ЫОдуяа ведаегоаавьаых олемевтов анхо (К с Р) могут быть снедь угодно мелы. НОК((ВАТЕИЬСТВО.
Возьмем в качестве первого ивгв невыракдевыое преобуазовевао .х Х. У„й ( й-4-" М) в котором верею стоябйа ыат)ыцы У охуввт собствоваый вектор и„, соответствуаавй хвректервствческюу чвсяу 3~с . х У„,=и„, Еи ие =Я,и„('I -у,„„л), Тогда светова (42.3) преоб)авуотоя к веду / Ы =Я 3' 1' (р-Г,„,,т) .
В свлу оюечевяого свойства преобуаоваввя ливейвва система (42.3) имеет реиеаве .х„= И„8 ' У„Г °, Среввявая его с преобраоо/ ваовем Хк Е Уес ~е е Устввававввем соствовеывв Укт е,~ Укоре ( й /,.„~в) . Отсзяо следует, что доливо быть д, =Е", Я„" Ее, = О. Но из прообрвэоввввой линейной системы (42.7) тогда следует, что ото возмояво лввь в сдучво, когда 6~~ "А~ ой="' б~~, О, т.е. когда матраца Н Ф~Т И имеет вад Прозоведя, пвковец, мвсвтвбаео преобреоовезве переменных г„=,Ц 4„~~С>б, lс-у,.„, к»), переводим спетому (42.9) в светику ~ к =1»ск+л скоке ((' к»- сз) мвт)зцв которой вмерт ввд (42.9).
Ио зн)мнений водввговояьвых овес-к ментов 4»с-)»с П„, ()скк) ща отек следует, что овв могут быть сделаны сколь угодао молнии по модули, осла выбрать часхо,и достаточно малым. лемма доказана. З.Теоремы об уотойчзвостз по ли- вейн о м у п р а б л з в о в з а. П)едствглм нолввейвум са- стену (42.2) для ствцвоввраого случая в нвтрачием виде бс '" АЯ7Гя), (42 11) где А=(/акс П - квадратная мвтрвца с постозваммз олененками, в Т(к) - вектоР-столбец о оломентвнв ~к(ас,...,ле)<М -с„, гФ, яэляцовмвся голомор$вмкя фувкцваи. Нелввейаой пестове (42.11) со- ответствует сзотенв лзвейвого щабкзвевая ~ -Ак», сс(с (42.12) достаточные условия устойчзвостз велввейвой састеаы по линейному пребликенов вырезает следунавя ТЕОРИЙ ТО. Есле все корпи хариков)зствчоскаго урввневвя ляя левойпого праблваовзя (42.12) выонг отрицетельвуа доаствотельнум часть, та нулевое резекне нелввейаой системы ~42.Ш осзмптотвческе уотойчцво.
дбийАткй»стВО. Еа освозвезв условна теоремы макао поломать ,осю,реЯ» — с с О . »о кое (42,13) Обоопечвм делос через )7( модуль векторе-столбца ? в черен () А(( - во)к(у мвтрнцм А, определив зх зырваекввз )Й (Е)~„) )~, Ия-Й: )~„,)з)~у к »',о Рассмотрен аекоторуз малую Л -окрестность нвчолв отсчета У. Пусть (х. ! с б; в салу вепре)завой овзвсвмоств ренская овсовом (42.11) от ввчнкьвых условий ) з) к Ь и вв некотором времеввем интервале (4„4) .
Лля значений х из этой окрестности буден иметь 1~/Х)1-6/ ! (42.15) где положительное число Е можно выбрать сколь угодно малым, поскольку в нырэжение кахдого элемента столбца входят малые члены второго и более высокого паря)Шов. По лемме 12 существует лвыейвое невырожжнное преобразование Х= — Це, приводящее матрицу А к треугольному виду са сколь угодно малыми недвагоналхепав элеыентамв. Припевам его к нелвнейной свстеме (42.11), тогда цвщчим уравнение сй д (42.16) где 3 - треугольная матрица, определяемая выраженном (42.6), а / /я) - вектор-столбец, равный ~ /Б = (/ У С(/я ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
