Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 37
Текст из файла (страница 37)
прн 4»т )х~~)мХ <к А,, ™) будет сохраняться малость нозмупеввй в любой момент )х„) с с ЕР=у ... щЕ Жбервн вечазьвые зозмувеная твквкв, чтобы было У>0, !х„) б, 1М ~,„,,л>), / Поскольку у' - зывкоопределеввая полоннтельвня функция, то для значеввй коордвват х„нз обнесен, где Ум У;, авй)~ется такое число У„, что будет зыполвево неравенство У'ъ~ У . тогда аз уоу »' пеняя У-У-)" У сМ будем аметь у ~ у' '~' Ег- )в ) / "Мо Отсюда ясно, что прв с» 4,» —, получам УР1, что противоречат исходному условна У~ ) . Взмученное протвворечве доказывает теорему.
4.устойчвзость внерпаоввнх сфервческнх двввенвй твердого тела. П)аменвмость функцаи Ляоуноза для всследоненвя двнвенвя пронллпстрн)нем ва промере сферкческого дзнаезая твердого тела по нве)к)нв. Лвнемоческве уревнення Эйлера н зтсм случае в проекцвях вв оопутстзуюзпе оси координат е, ч ~, - главные осв анеупвв для неподннпной точка - имеют звд (39. 12) л о л л ~ ь л е е е бс) л л л л л ~м) л л Е, — '= (Ел-Ез)сдзс~з, 1л,,ч =Г1з Е ))м~сь~, Ез ~~ =Е1;Ез) ш~йя л л л л л Здесь са~, СОя, або - компоненты угловой скоростн тола, а Е,„Ез,Ез осевые моменты оно)юве.
Рессмстрнм устойчевость двввеная тела по отношению и компонентом угловой скоростн. Легко видеть, что система ~39.12)допускает реаенве л ло з ° о и ссо5з сон=О, Юз 0 ~39,13) опроделязщее тек ннзызненое перманентное врваввве вокруг глазной осп 9, . Исследуем его устойчивость. Вводя зознунеавя оогласво Форму,б - ар,'+.м~, бой,юл, сок х в вспользуя нсходвую свстему 139.12) находам, что ноонунеазя удв- 217 летворяют уравненная (39.14) Ураввеввя (39.14) допускают следующие внтегрвлыз л л л л лГл л Л л и л Л л и л лл ф1 -1)хл+Е~(ЕИ-1л)хз с„1лх,+1~хз+1зхлл21,алехи аа ° Пусть ось ф рассвет)юваеыого пе)юааеатвого зрщцеввн слуант осью вавмевьаего момента аверцав, т.е. 1„с 1з, 1о.
Возьмем фуакцню ляпунова в анде следующей комбинации интег)алов: л и л л л Л л лл и л л л Л л л л М'-(1, х! '1ла +1,х, +21ла4хл) ' 1л(1И-1,)хц'1ИЕО 1)хз(39.)5) 3та фувкцвя знвиаопределеавав полоавтельакя. Прсвзводаая но времена ат фуккпкв т в силу уразаенвй (39.14) возмущенного дзваенвя тоадестзенно равна нулю. Итак, фуякцвя1г удовлетворяет успениям теоремы Ляпунова об устончвзоств денаення, следовательно, Врощевве (39.13) устойчиво. Еслв п)акать, что 1л> ~, 1 , то, беРЯ в качестве фУаацма йпЩ- вова фуакцвю (39.15) с измененными зяоквмн перед вторцы в третьям членова, вновь п)идем к тону ке реоультоту.
Таким обрезом,пермакевтыые врощеямя вокруг осей ненбоЛЬВЕГО Ияи навмоньаето ыОМЕН- тв внерцвв устойчивы. Что касается вращения Вокптг осе среднего момента мыерцви,т.е. пРО 1з с 1 с 1 злв 1,л 1, л 1л, то оно бУдет неУстойчвзо. ЛейстВзтеяьВО, раоомстрнн фуняпаю М= хихз „ПРОЯЗВОднев 7, ВЫЧИСЛОЫ- авя с учетом уразаенвй (39.14), будет равна —,4 -(х; с;)(1,'(1;1,) х', 1,'(1;1,) хй .
л Есла х,лй -о, то отсюда в нз урезаеилй (39.14) получаем х = -о2~', т =с( х =)) у где л( сслзс, (6 0 или Ф ср ~н Йизт ~ следовательно, дзвкенне неустойчвво. Еслв .к, й;>О, то провзводная ((' определенно полоквтельне з областв М>б,в з сиду теоремы Четаева о неустойчозоств дзвкензя ЗРащенве будет неустойчиво. т 40. Устойчивость ревнавесвя 1. П О с т в н о В к а задача о б у с т о й ч в в ос т и р а в н о в е с н я. Равновесие является простейцюы задом двваеявя сзстеиы е соответствует тому случею, когда зо все время определяющие парьнетры сохрввяют постоянные значевня, а 218 скороств тоадествевно резвы вуза, поэтому завезенный вае метод всследоввввя устойчавоств двнзенвя п)змевзн з з вссюдовввна устовчввоств ренновесая.
Однако устойчааость (ззаозесан обкедвет ридом спецвйкчосках особенностей. Рассмотрим консерантввнуз евсееву с и степенза свободы з будем определять ее полонские обобщенваа коордаватемз с„.", б„.йолокенея рввновесвя састемы определнвтся вэ усзоэая обрвненая в нуяь обобщенных свл, что дзн ковос)автвввой свстеаы экзвавкевтае равенству нулю провэвадвых от потевцввкмой эне)кчи П~~) пе ноердв натек: ак- — — -0 (6- т, ..., я). дП ЗТф. (40,1) Беэ ог)зваченвя общноств мозно пуавять, что рвссмвт)аввемае разновеске доствгеется в начале кос)э(вант с,- " Т„о з что потевцвнньння эвергзя в этом пвооаеввв рава вузы П(ь). О.
Тогда в пояокеызв равновесна будут тоадеотвевво резвы вузы вое переменные .$вгрвван: с) (4)и о ф (4)ио Гб х,... Я) . (40 2) Будем )зссмвт)звать устойчивость по откоаеваз к коорквввтвм с~ в скоростям То-, Иэ явг)аякевнх.у)авнеазй дэвзеввв в обобщеавк координатах, предстввкеняых в ваде норэакькой сметены 4.. й. - аЛ < 9а. е б =-Е()о — -~' )~,,„г 7, ) ', (40.3) 'г с см ораву ввдво, что (40.2) явяяется ее роаеввем, т.е.
равновесна оа вечвет нулевое резонно этой озстены. Но тогда воэмущевая будут совпадать с семымв коордввнтемв в скорестямз: х д 1б-г,...,л), .х -б ~ш-л+х,...,зо), в свстемн (40.3) совпадает с свстемов (38.6). Текам образом, п)а всследовннвн устойчквоств реввовесвя заходввя састема звгрмокевах уровнензй (40.3) з то ае время слуквт в саотемей дзя воэмущевзй. 2. Т е о р е м а Л н г р в в а а о б у с т о й ч в в о о- т н р н в в о в е с в я. урвввеввя рвюовесая мехввзческей сз- стемы (40.1) вырезают сабом веобходвмое условно экстремума потев- цзельной энергзв в полокеввв рннновесвя. Онвэывнетоя, что харви- тер устончквоств рэвыовесвя существенно энввсат от тапа экстрему- ме патенцвокьвой ввергая. Этв эеввазмооть вырезается, в чвотвостн, 219 следукщей теоремой Лвгравка. ТЕОРЕМА й9. Если в положении рановесия консерювтивной системы потеыцввкьнвя эыергвя вынет строгий вэолировенный минимум, то такое положение рввновесия устойчиво.
ЛОКАЗАТЕЛЬОТВО. Будем опираться на теорему Ляпунове об устойчивости движения. Возьмеы в качестве функции Ляпунова механическую энергию евсеевы .Е Т+ П. Эта энергвя в окрестности положення ревыовесия является звнкоопределеявай положвтельной функцией. Лействительво, определенная положительность потевцизльной энергии следует вз условия ее строгого минимума в положенви равновесия и равенства нулю самой знергвв в этом положении; определенная ке положительность квнетвческой знергив в окрестности равновесия следует вз сзмого определения этап величины. Кроне того, ддн ковсерэзтивной сястеиы механическая энергия служит интегралом урьнненвй двнжеывя ~40.3); Е= /г " сея 5т, так что ее правзводнзя по времени в силу этих уравнения тождественно равна нулю Вш о .
Тем сеням энергвя .Е удовлетэарнет услоеиям теоремы Ляпунова об устойчивости дввжения, в положение равновесия устойчиво. Теорема жокзээна. Ленную теорему, изложенную Лагрвнжем з его "Аналитнческок механике", нередко связывают с именем лежен Лнрихле, который впервые дэл ей строгое докеэател~атэо. Выше отмечалось, что прн использованвн прямого метода Ляпунова для исследовэнвя устойчввостн движения главная грузность состоялс з нахожденяи функции Ляпунова.
Прв раэновесин эта трудность о знечвтельвой мере ослабляется, блэгодаря теореме Лагранка, согласно которой функцией Ляпунова может служить легко находимая механическая энергия системы. 3. П р в з н а к и н е у с т о й ч в з о с т и р а в н он е с и я, Теорема Лнгрэнжа лдет только достаточный критериИ устойчивости раввозесвя консеуюативной системы: если полокению равновесия отвечает строгий минимум потенциальной энергии Лц~, то ояо устойчиво.
Это не вснлючает других устойчивых положений равновесия, в которых функцвн П(~р не имеет строго минимума. Необходимые в достаточные условия устойчивости равновесия пока не установлены. В этой связи препстазлнют интерес достаточные условия неустойчивости ~авнавесвя. Этот вопрос не получил еще исчерпювнющего решения. П1шведеы обзор наиболее известных результатов. Ляпунов рассматривал разложение потеыциэльной ввергни в ряд в 220 у, овростиостз поисковая рввковосыя () ° ° ° ~ л 0 7о Пц)-П, 6))~П ° (я)+ ", тай, (40,4) где П~(о) (й т, е х,.„) - одиородавя Фувицвя веериават М -й степени; р члокевае иочаввется с члевов порядки ае вазе второго, ток квк П.-о ев счет выбора произвольной поотеиваей, в П,-О в саду уреввеввй рвввозосав.
Им довввввм оледумивв вредиеаевия: 1. Если патевцввиьвоя эве)тая П(4) вовсе)мвюамой свотеиы в полокеввв рввыовесвя ие кисет минимума и ото обстоятельстве авиве усаотреть иэ чловов второй отвисав ПГ()) в ревлыаеаив (40.4), то полокение рвввовеоая ыеуотсйчазо. 2. если в половевив рвввовесвя зеяоерввтивкой оаытемм йукицая П(~)) имеет строгий ыввсвиуи и ото обстовтельстве уотвавзивввется ве рвссмотревия члевов ввваевьаей степева в реализовав (40.4), то пслокевве рвввовесвя веуотой аво. Чочиев доказал слодумиий критерий иоустоичввести реваезесия: Если потонцввльввя ввергая Л(с) иовсерввтиввой своевым является однародвой $увкцяей откловевай с,, ..., ~)„а в иеаоиеизв резиовосая ~),-., -с„= о ае амоет кввимуыв, то полозеизе рвзаеввсия неустойчиво.
5(г) Ф и с сомо П Ре ~С РЯ- Иэ урмввезвя реииомсИ О- вц Р ~~2'-о Лхя(~ Ы 221 Рао.28 4. У с т о й ч в в о с т ь р в в в о в е с а я т я а е л ег о с т е р и а я в н у т р а с Щ е р ы. Иусть одаородмнй стораеыь весом Р и длввой йс находится ввут)м гладкой сйеры рьдвусом Я . Установим пелокевав роввовесвя стеравя и восиедуем их )стоачовость. Ьудем счвтать сбору удерклвевыей свяеьм. Стермевь ноходвтся цод действвеи трех свл: веса и двух реакций в коацвх стерквя. Л(м рцвыовесви оти силы иаликы располагаться в ОдвФ плосиоств, Отсюда следует, что полоаеввя ривыовосия сне)мык ярваодлеквт плоскости меридианы. Определвв пеиааевие сто)мвя в этой пиес- кости углем ~у мок)(у вертмизльм а порпеадвиуляром, опуиеавми вв цовтри сйм)м вв стериевь (рисЛИ), зайдем, что потевцваиьавя ввергая стермки А кисет эввчевве устанавливаем, что возможны два положения равновесия, в первом вэ которых 4э= О , а во втором у= ж.
В обоих положениях стержень гаризонтален, при этом ~у= о соответствует крайнее нижнее положение А, В, а ~~=г< — крайнее верхнее положение Атви. Вторая проиэводнея от потенциальной энергии имеет значение () Г~у) РД2-д ссз~, Ф цтсюда ясно, что в нижнем положении равновесия () (с)=Ртайюз О, т.е. функция ПГ~() имеет вэолировааный минимум. В силу теоремы Лагранжа это положение равновесия устойчиво. В верхнем положении равновесая П ((()=-РИйо л С,т,е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
