Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следует отметить, что определение устойчивости в смысле Ляпунова содерквт очень сальные требования. При этом неустойчивыми оказываются многие практвческв вэкные двикения. В ряде случаев целесообразно требования несколько ослабвть. Именно, возмокыы случаи, ногда нельзя ыайтв полоаительного чвсла с , удовлетворяющего поставленному в определении устойчивости требованию, если рассмацшвать любые воэмакные возмущенвя х~, , л,„ , и такое число указать макке, еслв на начальные возмущеввя наловить некоторые ограниченая, подчинив их услсввям вида 7~хэХм)Оилв7(х~~хэ)эОэ токдественна уцовветворяюавеся прв,ю, = .к,'„= О.
В этом случае говорят об условной устойчивости или устойчивости невозмущенного квашения для возмущений, подчвненным определенным условиям. В частности, дввиение по круговой орбвте, ыеустойчввое вообще по отношению к декартовым ноардвватам, будет устойчивым по отноше.
210 нам к нем, осла возмущенна сунут удовлетворять ускавав поотонаствв эаергва точка. Токам образом, в классе неустойчавнх лввкенвй асано рнссмат)ывать условно устойчивые дваяевая. Отметав еще, что прз рассаотреона устоачвзоств вевозвущеняего дэзаеная речь вдет об нсследовзвва устойчввоств нулевого ромовая системы возмущенного дззаеная. Но такую састеау конно пестровть не только для мехнначесквх дванеаэй, но вообще доя ыекоторых процессов аной пророды, описываемых обыкновеныыма днфреревцавльвыыа урнэненаяна. Тогда все ыаэеазлаэенвое мокко прввеввть в к этан процессам дая определенна устойчавоста процессов. т 39. Устойчивость двнкевая Устойчивость невазмущенного днааенвя опредеаается поведевяем воэмущеннй н окреотноотв этого дэааенвя.
Интеграровзвве ве ууввнонна возмущенного дззменвя н воследоэевее вх уеаенвй эачвстум снязояы со зннчвтельнымв труднастнмв. Поэтому п)а рассмотренна устойчзвоств предпочтатеяьны методы, позваляющае азбегвуть этих оперзпай. К ах часяу относятся тнк нвзываеный промой метод Ляпунове.
Ов состоят в отыскзаам некоторсй функцва времена а откяоненай а в азученви свойств ез производной. В основе метода яеывт способ, вспользовннный Локон-Наравне п)ы доквэатеаьстве теорема Лнгрннкн об устойчавоста ревыовесая. 1. Т е о р е н а Л а п у а о в в о б у о т о й ч аз о с т н д в в а е в а я. В окрзстаостн вевооыущевного двааен,эя а на поэубесконечаом временном антервеле, т.е. э обяеота Ь: „~яд, ~ьт. ( I-я," . яо), 1ЗВ.П буден рассвет)изать тэк ннзывзеаые фуакцан Ляпунова ~ГИ, х ), кото1ие тэм однозначны, непуе)ызао двфференцвруомы в обрнщавтса в нуяь пры х, "° *я о, т.е. 'Уй,б) о.
Функцзя т1т, я) в обяэств Ь веэыввется звэкепоотоявней, еолв онз монет пранвмнть знвченая только одного знака, лабе пояоввтельные, лабо отрацэтеаьвые, а знакоперемеаяой, вела оаа монет п)анвмнть кнк полокательные, твк а отрацатоаьвые эннченая. Нвпущнер, э Е х„- заакопостоявваа полоквтельаея, о-е,ух - зная а М ° ф к копостоянввя от)ацнтольвнн 4~акына; 4унацаа ае 1Л;.м~, ф (дя„) к будут эннкоперемевщап.
Вн копостоянввя змвкцвя кеардааат Мг,я),обрммюэоя в нудь з облзств Ь только в авчане отсчета .м,ч„,мх „0, везынветоа 211 зввваопределенной, нап)ммер, функцвя Еа„.х„будет знакоопределеныой паложвтельыой пре положительных козффвцнентах в знакоайрекеленной отряцательыой прн отрвцательных. Звакопостоянная функция времени в коордвнат Уй,х), обращающаяся в областв 2) в вуль п)м любом времени только н начале отсчета ж,= " = ю„, ~ о, называется звакоопределенной только в том случае, если для вее существует знакоопределенная полокмтельнвя фувкцмя коордвнат тт Гж) такая, что в областв Я будет полонятельной одна вз разностей.
у~с ос)-~яубя) >О илв — УС+,х) — Мьх)ю О. 139.2) например, пч х..ж*„ будет знакоопределенной положвтельной Функцяей, дзя нее моано взять Ю~ж) Я хт тогда в области будет справедс к И 1 лвво неравенства И -х) Л.ж' > О. к к Отыасвтельно Функция времени н коордвнат Уй,.ю) говорят, что она допускает сескояеоно малый высшей предел, если для всякого положительного числа Н, как бы мало оно ня было, найдется другое по ловвтельное чмсло д такое, что в областв тат,т!хк)к д' фУнкцвя У удовлетворяет неравенству ) У(й, ж) ) с ~, Легко вндеть,что етому требоваввю будет удовлетворять всякая, не зависящая от временв, яепрерхзнея Функция.
Что касается заввсимой от времени юункцвв, то она может быть ограниченной, ыо в то же время не допускать бесконечно малого ныснего предела. Примером может слуявть фуыкция ~*'» С ю, т " ' +.ют ) б ° В данных германах сформулируем следуюпую основную теорему Ляпунова, выраваюкую достаточные успевая устойчаваств движения. ТЕОИМА БВ. Если дифФеренциальные уравненвя возмущенного движения — «=Хк(ь,ж) <~ ) ''>я~) сй 139,3) допусвзют существованве знакоопределенной в области 2) функцнв У~й,х), производная которой по времени, вычисленная в силу зтвх урзввеннй У~й.ю) — -Š— Х + — з ) сЛГ ВУ ЭУ бт к дл, ~39.4) является знакопостоянной в Р функцией протнвополавнога с У знака влм токдественно равна нулю, то невозмущенное дввжевне устойчиво.
ПОКАЗАТЕйьСТВО. Половам для определенности, что в области ,В 212 такие, что разложение фувкцвв » Ю У=Е', ~А„У С„У ) ы з вачвыается со заакаопределенаой кнздратачыай формы, тогда легко видеть, что зта Фувкцвя будет удовлетворять условиям теоремы Ля- пунова аб устойчизоств двваенвя. 2. Т е о р е м а о б а с и м п т о т в ч е с к о й у с- т о й ч и в о с т и. Если для уравнений зовмущенвого движения мож- но найти Функцию Ляпунова, облапакоцю по сравнению с обычной ус- тойчивостью некотаримв дополвительнымв свойствамв, то движение будет устойчвзым асимптотическв.
Именно, имеет место следукщая ТЮРЬМА 67. Есле дифференциальные уравненвя зазмущенаого давления таковы, что можно найти знакоопрепеленную функцию Уй,х), допускающую беси»не~во малый высший предел, производная по времена от которой У'Й,х~, взятая з силу дифференциальных уравнений возмущенного движения, является знакоопределенной функцией протизопалоиаого с У знака, то невозмущенное дввжение устойчиво асимптотически. ДОЕАВАТЕЛЪСТВО. Лопустям для определенности, что У - знакооп- оеделеанея положительная функция, допускающая бесконечно малый высший предел, а у'- знакоопределенная отрицательная функция.
1огда в силу определенин знакоопределенной функции существуют та- ае не зависящие от времена Фуакцви )Уск) и Щ(к>, что з облас- 'и с ю |, )х,!с а ( А = Г,.„, ~л) выполняются неравенства I У(з,х)) У(х), У ю К (.к). (39.9) Поскольку в данном случае ныполнены условия теоремы Ляпунова, о движение является устойчивым, т.е. зозиущения остаются меныои- и наперед заданного полоиительнаго числа а; /х„!с е ( А'=г,...,ю), сли анв достаточно малы г начальыый момеыт, т.е. )х „)с 8 Г й = ») ), при етом Функция Ляпунова является ограниченной )4 ьц", где )ы - наименьшее значение функции Ж на границе -окрестности.
/ В силу знакоопределенной ат)шцательности производной У полс- зтельная Функция .У со временем будет убывать, так что Ы» У1'т,.к(41) - У ~ О, 39.10) ев сечем У~4) > т' . Покажем, что У должно равняться нулю. 214 Лействвтельно, еслв У >о, то в смзу существовнння у ямвкцвя У бесконечно ызлого высвего пределе, неслось бм такое полоявтевьное чвсло Ь,', что в областа 1з.те, lяе!4 Л ('й г,...>кю) выполнялось бы неравенство УГт,.т) л у', в яущ действительном двяввнив возмущения взменялясь бы в облвстя с я)ос„)Ф И (м "х " ы). 139,П) Но в замкнутой облеств (39.11) определенно пзлоявтельвея функция М~~ Гя) змеет поломвтельннй ввамвй вредел, который, обозначим через Хх, так что в областв ~39.11) будем вметь -У (~,х) > М~~ Я, ы) ~Уй >О Ф С учетом етого услозвя вз ураввенвя У- Уе ) Усе теперь получеем е Уя У.-')У,"И-1.
), з всегда найдется такой момент х >х., когда фуякцям У станет меньше, чем У . Тем снмым п)аходвм к протвворечвю с предполояенвем У> У, допустмв, что У' >О. Следовательно, долвво быть У = О , в услаьве ~39.10) долзно быть вада сх Уй,.я) = о Зтс условно, в силу первого вз неравенств (39.9), влечет за собою аналогичное предельное равенство Пля звакооцределенвой полекнтельной функцмя ЖГя) Ьм %*!" О ° э Из определения ме зннкооцределевной фуккцмм обдует, что равенство ЪКСх) =О возмояно лвшь п)и л' " х,„О. Таквн обрезом, првходям к условвяв )~се ) означающем есвмптотвческую устойчивость двяяенвн. Теорема доказана. Итак, теорема Ляпунова позволяет судить об уотойчввоотв клв зсимптотнческой устойчивости дввяеввя, вола нейлона фувкцвя Лапу- нова для рассматрввнемой задачи. Алгорвтмв для построеввя етой функции теорема не деет, тем самым вопрос о способе построевяя функции Ляпунова остается ссверлевно открнтмм.
Извеотвы лввь результаты о том, что для устойчивых двзкенвй тзкзн фуннпйя заведо- 215 мо существует. Эта обстоятельство ограничивает практическое применение теоремы. Однако эначеыие теореиы Ляпунова не исчерпывается тем, что сна дает средство для творческого решения задача, с помощью этой теоремы устанавливается ряд других теоретических результатов. 3. Т е о р е и а Ч е т а е в а о неустойчивое т и д в и ж е н а я.
Наряду с достаточными условиями устойчивости движения Ляпунова быки ыайдены также некоторые достаточные условия неустойчивоств, сФор~улировзнные им в виде ряда теорем. Четаев нашел достаточные условия неустойчивости, обобщающие результаты Ляпунова в более пригодные для практического применения. При исследоваыви аеустойчввости движенвя введем в рассмотрение Функцию УД,.т), об~шщахошюся в нуль пре .ш, =" л,„ б и пакет бить на некоторой поверхности Уй,х)= О, проходящем через начало координат.
Назонеи областью У'> О совокупность переменных 6, х„ ..., х „ где выполнены успевая У>о, А»1,, !.ж„/ 6 < р-у,..., т). Эта область со временем может изменяться. шункциш АНУЯ,х) называют знакоопределеыной в области У> О, если она может обращаться в нуль в этой области только на границе T= о и если дяя произвольного числа с'> о всегда найдется такое число Х„ > О , что для всех значений координат и времени аз области У» б, $» Ас справедливо неравенство 'тч'> тт'» .
Имеет место следующая теорема Четаева, дакщая достаточное условве неустойчивости движения. ТЕОРИИ 68. Если диФФеренциельные уравнения возмущенного движеввя таковы, что иожно найти Функцню У, ограниченную в области У> О, существующей в сколь угодью малой окрестности невоэмущенного движения, произвопдая которой У ,взятая в силу уравнений возмущенного дввжения, была бы определенно положительной в области У> О, то невозмущеыное движение неустойчиво. ЛОКАЗАТЕЛЪСТЬО. Согласно условию Функция У ограничена в области У> О, так что в этой области она не превосходит некоторую положительную постоянную 1.: 216 У'с1 . Пудом рассуадвть от протвнногсг допуотвм, что пра уоловввх мадамы днвпевне устойчиво, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
