Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(44.11) Переходя в этом соотношения к сопряженным велвчзнам, имея в ввду вещественность матриц А в С, получнм ~ К~ТА~ х'а' а, а (44.12) В салу снммет)шв катран справедлвны равенства Ещетгг х(е= Ейпсбе (хт т 2 петтгптхт Естся)к(Аг т поэтому вз выреженвй (44.П) в (44.12) следует условве Л Л, утке)зкдзкщее дейстннтельвость корней. Яля вещестненного корня Х снстема (44.9) определяет вещественнмй амплятуцный нектар и иб- ((г л...,,л).
По тогда вз выражения (44.11) с учетом положительной определенностн форм ,'Га' я тл >О, 1'С ть тх. > 0 слецует полонзтельяость этого коряя А> о . Теорема наказана паляостью. 246 Таким образом, характеристическое уравнение (44.10) имеет и раей Д„„, о Эе Ь(вялому корв 4 соответствует действвтельвая полови тельная частота.сд р у' д,неэыиаеная собственной частотой системы (по этой прачиэе эекоэоь уравнение нередко называют еце урааэением частот),в действительный аыдлатудвый вектор ят, определяемый системой (С-Д А)й -О адэ Е(С вЂ” Драв,.)тР О Ф.д...,м) (44.1З) по ФоРкУлем вида (41.8) ох~~ су ь г('др) ('о э',, и) к где.
Ь (Ду) - мвноры определителя ) С-ДРА),э тем сваю частное ремение уравнения (44.7) ( ~ Й Лэя(щ)р4 е акр ) щур ~Яр (44 14) Рассмотрим пначале случай, когда все корни уравнения частот разлачвы. Покнаем, это при етом все я частных реаеввй вада (44.14) будут независимы. Предав)игольно устааовам следукщее свойство: А йуЙУ Йо тсуи.~'=о при уФ,(у, (44.1п) ет т.е. билинейная Фороц с мвт(мней А для различных векторов члт в цУ обращается в нуль. Действительно, иэ системы (44.13) Е('Смт-Яра~ )И, О после умноаеввя ва у()' и взятая суюм е У по б получаем Л ( С -ДР а )т4 .и, О. Перехоця здесь к ма~ У )~ (мцю в меняя ролана индексы О в ц, отсщда находви Сйрй"-ЯРАйгйУ, Сй)й'-2~ Ай)'йт. В силу снимет(ми мзт(щц соответствующее вм бвлвнейаые Формы не зависят от порядка перемнокаемых векторов, поэтому вычитвнвем полученных равенств устанаелвваен соотношение (' Яу-Я~)Айуй1 =о, откуда, введу того, что Ар Ф Др~,и получаем требуеиое условие (44.15).
Пусть теперь амплитудные вектора, соответствуищве различию корням Я„ „., Я „, зависимы; Е Ев дог=о . Р Тогда прк любом Фиксированное )Ь судов иметь АтхЧ О,влв о учетом свойства (44.15) о Ай/'(ЕВ ду)-ЕВ А(4)'йг В),Аймй". 247 Но А// "и «о/повтоыу З~ =о (~/= 4/" ° / л)/что цоказывает не- Р с и заввсвмость векторов чл, „,, (4 , а следовательно,н незаввсвмость соответотвующвх вм решений (44.14). В силу лвнейноств уравненвя (44.7) его общее решение будет лввейной комбввапвей л незаввсвмых решенвй, т.е. с) ЕВтт( 5/Я(//)у/ су) ('йу Д У=У,,, УУ), (44.16) в котором Ь постоянных 3 в с~ ( р«у,..., //) однозначно определяются яз такого ке числа начальных условен б (оу =у,.- в б (о) /у' '/ ас (б=/,.„, (/).
Величины /у в е'. прецполагаем мацымн. В случае, когда характе(шствческое у(ювыеняе (44.10) вмеет кратные ко(шв, оказывается возмовным найти такке и незанвсвмых решеввй вада (44.14) в предотавкть общее решение свстемы (44.7) в фо)ше (44.16). Этот факт будет строго обоснован в следующем пункте. Обращаясь к общему решению (44.16), вадим, что цвивенве системы в окрестности устойчивого полокенвя равновесвя прецставляет собеш МаЛЫЕ КОЛЕбакма.
КОЛЕбаНИЯ ВИДа (~ = Вуа т8/Л(а) ( СУ),ВЗ КО- торых складывается провзвольяое колебание, называют главнымв колебанвямв смстемы. 3. Н о р м а л ь в ы е к о о р д в н а т ы. Саставяенве общего решенвя двфферевпвальвых уравнений палых колобаывй, незаввсвиое от налнчвя кратных корыей ха(актерястяческого уравнения, основывается на п(шведенвн квадратичных фор/ к сумме квацратов. Из алгебры взвество, что две квадратичные фор/ы ~++ с- =Ее А)/) У-'ОатЧаЧ"с / ~7= ~ох Ят.
/ (44,17) вз которнх хотя бы одна, непрвмерА~~, является половвтельно определенной, всегда мокко однвм в тон ве преобразованием переменных с~ =~ а~~о (В-С,„,,л, о(ай(тф+ о) нлв гг~=йиМВ 5 з у /'''' / 5 У (44.18) прввеств к сумме квадратов А /з/) // Ю, Суу ~ Иу ~(/ . (44.19) Поскольку прн лкнейвоы преоб(щваввввв вековое уравненве не взмевя'""' " о-1 с .- да', 1= 9 — Ц Ю, 1 = л О; д) Понтону в эырнневив (44.19) вовиковы М~ яняякщоя корвямв векового урвннения в, следовательно, полонитеяьяы: Л > о ~р =з..... )т), Возмонность одновременного прэнеденвя форм 144.17) к виду (44.19) нонво провллвстрзровэть следуищнни геомотунческвме продставпевяяиэ. Опредеяеняо полоннтеяьыым кввдрвтвчяым форнем (44.17) з ксордянатяом пространстве Я„моннэ еопеставить ааняпсоиды.йвсвтабнын преобрэзавнвием координат елнипсовд первой формы монне перевеств в сферу, п)а этом второй здчипсонд останков злэипсовден.
Затем преобрвэовевяем поворота координатных осей нереведвт эллипсоид второй форин к его оаа снимет)аа, при этом о)ори остаетоя, очевидно, нензмеыней. В итоге обе фо)аы будут прзведевы к суммвм квнпРатов, п)вчем волэчвны .нт, обРвтыые по отновенив к полУесЯм эллипсаида, будут палокнтольий. Наэвчие кратных корней вековоге уразнення оэяачнет окивзковость векотс)щх полуосей эллэпсовда,что, очевидно, никак яе скззызнетсн на реелязецвн описанного зыао процесса. Обратимся снова к преобрвзовввны (44.19). Поскольку оно линейное, то обобщенные скорости у и 6 букут сзязены ензлогнчнымв соотношениями '5=у ~~~у (э=к "*") 9" поэтому н.перзэй из фор) (44.19) конно зннояять С и б соответственно на ~ в В: А~~ф= Х:(тря, н результате кля квнетической з потенцяеяьвой энергвй получаем сяедухщие вырояения: и я ~'-я~" 9 9 В~ар > " «~%т Мт=Ы4~г.
ог У ст ~ г Переменные 6„„,, 0„, з которых Т и )) приявнзвт кнноввческня знд (44.20), называют норюачьныын коорхиннтеия. Воспользоэззшвсь простыня эыреденвямв (44.20) кинетической в потенциальной энергвй, найден, что для знх легреякезы урезневии (44.4) ярннимзвт звд Ор 1рВр-О (Лр=гюуй т.е. каядое вз уравнений ссдернвт тсяько окну аз ыевззестных 4(увкпвй. таким образом, норальные косрдвннты обладают тем ценным свойством, что з ннх система хифуеренцнзльных урзвненвй мелых иолебаний (44.5) распадается не откельвые неззэисвмые уреннения, чем существенно облегчается интегрнровзние этой свстемы. Заметам, чта уравненвя в нормальных координатах (44.вь) можно получать непосредственно вз уравнений (44.5) путем составления вх линейных комбинаций.
действе»ельне, умножав каждое яз отвх уравненвй Еа.' 1,=-7.е.,1» (К=;" я) на некоторый множвтель тьб н просуммвруеи результаты б (44.22) Множители т)б поЦберем так, чтобы выполнялось саотношенве 6=~ "ъ-бьс»~» =-1' (хб~'а»7» б» Ла» (44.23) тогда Д а сб ц. = Я Я тх а ув в уравненве (44.22) пршнвмает ввд о»ХО = О, (44.24) цреобрезованве (44.23) цолкно выполнятьсв для всех значенвй координат », , >>а, чта влечет за собою равенство каэЩшцвентов )»'''' про нвх: Л,Ги а' =Я(х Р (ь'- А„,, л) влв б 144.25) ненулевые заачеввя величая и, опрецеляются отсюда пра равенстве ыулю апрецелвтеля системы б)ае(Ест Л>дк»)= О (44.26) уравнения (44,2а) в (44.26), венцу свмметров матриц А н С, совпадают с пслученннмв ранее вз цругвх сааб)юженвй уравненвямв (44.9) в (44,10).
Для кажного корня ЯГ ураваеывя (44.26) опрецелают вектор Уст, тем самым определяется преобразование (44.23) к но)шальной коордвнате 6 в уравненое (44,24) для этой координаты. Переса)вя все корни Л , папучвем все уравнения (44.21). Обшве решенвя уравнений (44.21) определнют, как известно, гарионические колебанвя с сабственн>в>и частотамв Оу=В(>а>пГСбуа >бу) (У=У „,, >>)> (44.27) где Ву в ср - провзвольные постоянные велвчвны. Подстановка этих велвчвн в выражение преобразоваввя координат Д П + П =2тру-туев (ссэЧ, егсьЧя )+ .—,~~~'И И- ж-ЧЭ М (у' Ч.-.ух ((~ '-~1~ .
Легко надеть, что нулевые эвачеквя отклоненай Ч,-о, Ча=О (44,29) юб я я КЕ Ы г П(Ч„Чо)=+(Ч "Чя )+ 2 (Чк "с) +' ' ' (44.30) энключеев, что ввергая достзгает эдесь манвнуна, следовательно, донное полокенве ровковесая устойчиво. Расснотрвв валке колебвввя квятквкоэ около этого устойчввого полонская равнонесая. Сохровяя в реэлокеввв (44.30) потенцаель- вей ввергни только квадратичные члени и состовкня нырвкевве кане- таческей эвергзз, буден аноть юу .л я т я я л я я (Ч, + Чя )~ П=-~- (Ч+ Чя )+ 2 (ф Ю) .
(44 31) Этан лвненраэиронввннв энергзян отвечают следукаве лнгревкеж уравнеаая, определяюаае волне колобанов веятнзков: (44.32) ~Ч~~Ч = б, й о где полонезе л от= — — —, я ~п /я Икон честные резаная этзх урнввеннй в езде (44.33) удовлетворено урнвневаян рввновесая о=,— = ~еу(.Ч,-~е(!--,фы(Чя-Ч) —, ат,1, ЭП, л с' с( С~ — =(я~ба(лЧя-уг (У-гк)~5Ъь~~Чя- Ч) т — гооЧя~. аЧо Следоввтольяо, вертакельаоо полонские обоих инятнвков отвечает цолоаенаю равновесня. Иэ того (юков, что потонцаальвея энергая в полоаевав равновесна (44.29) обрезается в нуль /7(с,с) о, в в окрествостз этого нолоаеавя акв полокнтелькн, кок водно вэ следуюаего рнвлоаензя .
у- и, утл ГаИ+.(), ~уе- тле Ятл(с)4+л) . (44.34) Подстэновкв этнх выркневай в урввкеввя (44,3ы) п)аводвт к следую- щее елгебревческой свстеме ддя онплатУд: (ее Л)( „„ет - лен э (.ще- Л) и = о, (44.35) в которой Л сд определяетоя вв хе(акте)встнчоского урввневвя ! еЛ й~ е е ~ ~ще4 л (44.3б) -и л-Л Вто уравнение анеет цва различных корм в, слэдонвтельао, две реэлвчвые собственные частоты: е е е а е е е р ы=Л=Л-и =', м-Л-а. = — +Л е е е е ы (44.37) Лля кзвдого корм вэ системы (44.35) находам емплнтуды и, а ЕУе .
В салу (44.36) в этой састеые тельно одно яезаваснмое уравнение, Лля первого коры Л, это урнзненве имеет ввд е о е е Мч з ('л 2 ) вля е Лр '1 'М йе отцудэ ц,= Ре = А~ =1; первое глввыое колебване свстемы имеет зяц 4=В,у,,~ю~ ..(,), Ч;В, у* (,т.,ц,), („,, е Лло втоРого коРм ЛЕ аналогичным пУтем полУчнеа Ы~= -Цл=ба--д, в второе главное колебвнае свстемы получает выровенве 'фЕ=ВЕутлГоЭЕ4~а(Е), ЧЕ= Вау™(и)Е4~ (Е) (44.39) В первом глэвном колебание маятника все время нзходятся в од- ной фазе, прувана пра этан не дебормруется в мвятнакв не вявящт цруг нв друга. Во втором глввном колебзнвв,мвятнвза все время ав- хоцятся в протинополовннх бвзвх в взовнодейетвуют друг с другом, ввиду деФа)мировзнвя прувнны. Общее цвнвение системы представля- ет собою конбннэаав двух глзнных колебаний у В уел ~и~~е с.ь„)+Вейул(сдюЛ ~<ее), (44.40) 4 = Вз 5цл (й~е +~)-ВЕувп (а)Е4 ь СЕ), Установвм теперь урмнення цннкенвя маятников в нороельных ко- орцвнзтах.
Лля этого буден исхопять вз лвгранаевых уренненай (44ЛЪ Умноквм первое иэ нях на ц„второе - не Пл я смоквы результаты; в итоге палучвм равенство и, (Р, + ияО = — (.в и,- а шя)'4'СЯ и,- ш ~е) тв. (44,41) е е е,я Мновктела ик в Ик подберем так, чтобы состяс~пенне в-и,ч, ° иксу = ~~~(м и„-л ияЯ-(л и~-шшя)тл~ (44.42) выполнялось для любых углов О я Ой; зто влечет за собою выполненно условвй я я Я Я - М Ог-Л ОЯ, я иг =-~~и, 'цяия, которые совпадают с ранее полученными уравнениями (44.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
