Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вин функцвй у Й), а следовательно, н ввд ыалых дввжевий определяется свойстнои корней векового уравнения. З.Исследование корней и характе— р а д в н к е н я й. Свойство корней векового уравнения позволяет судить о характере палых движений н теи сенцы о характере равногесия систеыы. Это свойство выражает следующая ТВОРИМА 73. Ксан в положении ревновесвя потенциальная знергвя достигает строгого ыинныуиа, то вещественные части всех корнай векового уравнения (46.5) отрицательны.
ЛОКАЗАТВАЬСТВО. Пусть и Д+(Я вЂ” некоторый вообще коиплекснын корень уравнения (46.5). Тогда систеиа (46.4) определит вектор и с вообще коипдексныыи коыпонентаыи У(,- Уе гФх, Легко видеть, что в силу линейности системы (46.4) сопряженноыу корню й= Я- 46 будет соответствовать вектор с сопряженныыв кокпонентаыв й = )( - А )А(,- .
Уиновик каждое из уравнении систеыы (46.4) на Й.и возьыеи сунну по о', з результате получки квадратное относительно р уравнение ~;а.„)хя.8„„и.с ) и и =О, Свныетрия матрицА,л) н С позволяет прекставить его з слекукщей 26О еквкзакевгяой ~р~)ие: Е(4~,~Р+4 У~х+СохЯ(й и, й,и,.~ О. (46.8) Но 20' ~~'" гя ) '~аРс И4.М)г, поэтому урезмевае (46.8) продатевзво тезке в заде (46ей) Ха„Сч.~.й, М»~Х. ~~ч.Ч,. Ым~) Х,П (чч. ч~МД'-0, Переходя з вем к комплексию-сопрякеваым велвчавеи и учвтоввя зецостоеввость коефзвцаеатоз, будем зиеев )-'Е а„Гч.т, ММ) РЕЮ..(ч, ~.ЩН) Ге„ат.т,.м.
~)-0. тятям обрезом, )» з р язляатся корояыа адвого в тоге ва урыевеявя. ыо свойству корова коек)ытаого урвзаеввя аваев кирикова» йу Е8 аут,+Ей МФс (48,10) Поскольку вводрвткчвые йе)ай сеетзетотвуицве квветачеовей еае)иаа в Фуякцав Реуса по услоззв овредолевво пахоавтельяы, в звктеры У в ьт по условии едвевроиейае ае резвы аулы, то ао (46.10) уетвяезлвзеем, что Нор< О, ° теорема тев самым докаозав. В селу отой теоремы откловевая лзвейаой сзстемм (46.2) буумт затухать со вроыевем, в акосте о ввв по теореме 70 бузут еатуиать отклавекзя з обвей велввейоай оастеаы. Вто ооиачает, что )ассввтрввееаое покоаевае рвввозесая будет воааптотвчеока уотейчаве.
Текам образов, ввзичае двосапатззвых оал, опродезяеаых черев фувзцзв Реуса, ве тяхько ве вв)имеет устойчивости позеавввя раааезесия, во превриоает ебычиув устойчивость з устойчивость есявптетвчесвув. Установки теперь характер евтухвацего даваемая. Полозам 4. Х'4 ср,ъ и) УУ), ~ ЙЬ сч ч,+Раку) ~-Еб РР)б йк~) ос тогда ко)ыв урвзвеиав (46.8) в~е прдствзвть по Фе)ауле / р. Ф й Отсюда аско, что тап дзазевзя закипит от величавы сопротзалоавя. Рассмотрим различимо случаи. в) Пусть сопротввлеиае велике ввстолько, что для всех (),, ра> р,ц 261 Тогда корни 1), будут действвтельны и отрицательны. В этоы случае в равенстве (46.6) все и)»» со вреыенеы убывают до нуля; дввжение имеет затухэющий апериодическвй характер.
в) Пусть сопротивление ыэло настолько, что для всех »»е ,Вл Ф »1. я Тогда корни будт каиплекснныи сопряженныии ~4» = »)е»»йя, )»»» о»- »1„$<б.В этоы случае уравнения для координат (46.6) представимо в виде у ~ ~Б»~Г уе ебе дея»Е») ~ у,у»~~, е=» »=х т.е. затухающее движение будет затухающня колебанвеи. с) Наконец, проыекуточные случив сопротввленвя, очевидно, соответствуют затухзющиы движенины, представляющая собою коыбивеции апериоквческвх затухэющвх движеивй и затухэющвХ колебаний. 5 47.
движение при наличии гироскопических сил Гироскопическве силы позволяют в некоторых случаях стабилизировать неустоочивое равновесие или движение. Гироскопические силы возникают при наличии нестационарных связей, а также при переходе к пенне(циэльной скстеые отсчета. Нестационарность связей, приводящея к гироскопическнм силан, ыожет быть осуществлена введением в систеку быстровращающихся тел-гироскопов.
1. У р э в н е н в я движения с у ч е т о ы г яр о с к о и и ч е с к в х с и л. Пусть механическэя систеыа с я степенныв свободы совероает дникение в окрестности некоторого полокенвя ранновесяя под действием потенцвельных н гироскопическнх сил. Потенциальные силы йя определяются через потенциальную энергвю П (вообще не достигающей в положении равновесия ывниыуыа) по фор»улан Оя=- . — (я С,..., л),Гироскопические же снап лы Г являются однорохныйи линейныыи Функцияки обобщенных скоростей с энтисиьыетричной натрицей козфрициентов ~~-ЕЗ..Чх> 1».=-~.я Гб;т=я„,п.). Используя линеарнзированные выреженяя кинетической и потенцвЭЛЬНОй ЭНЕРГИИ Т=Еа~ П»)х, ЯП=ЕС») б.
И ВЫРНжЕНИЕ ДЛЯ йироскопических сил, найден, что лаграйжейы уравнении м а~,. эр, — — =0»»)»н ('б=1,..., д) приводят к следующяя линеаркзираванныы уравнениям возыущенного днижения в окрестности положения раэновесчя: 262 Е (а„о, 0„р, ) = Е )„с, . (47.1) Переходя от обобщоывых коордвнат к нормальным коорнанатэм по Фо)мулом ~) ~ь(т 8 (и 4 р), пРооброэуов этв уравнения к виду а..~а-г ' 8 р, )")(,„В„, (47.2) где Ат - комф)ыцвонты пув квщцатэх координат н выроионав потевциольной инертна в норювльных каор(икотах, а хт - энтисаммет)вчнэя матрица козФФациевтов гвроскопочосквх сал в этих коорднввтвх: 2()-ЕЬ797, Г -Е$оыВ ~ =-~м (9х=(,„, Ц) (47 Э) Такам обрвоом, в отлично от уравнений Хвваонвя консервативной системы переход к но)валиным коардваатвм в састомо (47.1) уио во проводит к распаду системы аа отдольныо уравнения, хотя в упрощает вид системы.
Это обусловлено том обстовтольством, что три нввдратичвые фора одаом ц)иобравовонвоы увэ но п)вводится в обнов случае к сумме квадратов. 2. И о с л е д о в а в в о д в в а о н в я. Пудов ваквть чясткыо раненая у)ыквовай (47.2) в вада экспонент В В Е (71,..., Я), (47,4) где Вт в ~) - провэвольвыо параотры.
Подстановка этих вы)ивовый но(вольных коорцават в уревновая (47.2) проводит после покрывания ва экспоненту е"~ к слодувщой алгэбрвнческов саотоио урвваовай для величав В~,..., Во: ~~~Ад )Ь „-П'„~В =О И=1." ° Ц), щ (47.6) в которой паревотр Э опродоляотси иэ ха)зктеристического уровноовя =О У Ь(э) = (47.6) т)э'„ ... д.Я„ обоспочввовщего сущоствоваощо ненулевого раненая системы (476).
Это алгебраическое уравнение стопова Ло относительно пвраотраэ. Легко видеть, что ово содэрввт только чэткмо стопова М . В сена 263 деле, занена в определителе (47.6) Ч ва -Ч равносильна зелено строк столбценн, что ве воняет его эвачеаия. Таяны образов, ваковое уравневве (47.6) завет ввд эе Э~о-<) э(о-х) и а(ч)-ч ° Ч.,Ч е,.~вЧ --. ° .,ч ° (47.7) прачек очевввво, что (,=дх ...
л (47.8) В зависимости от вада корней етого уравневвя будут внать весте различные квакания систены и, следовательно, раэлщчвые ввды устойчивости равновесия. Пусть все корив Ч вещественны в от)юцатакьны; тогда сани Ч буи дуг чисто иваны. Решения (47.4) за счет подходящих начальных условий некио сделать сколь угодно наива. Разновеске по первоиу прщблвкевию устойчвво.
пусть по крейвей иере один корень Ч вещественен в полсввтелев, тогда вещественно к половительно будет одно из значений Ч , в соответствующая но)вольная каррдината (47.'I] будет со врененеи неограниченно возрастать. Равновесие линейной систены, а внесте с нею в нелинейной систеиы неустойчвво. х Чы Пусть, наконец, хотя бы один корень конплекснык Ч-я» . Тогда, извлекая корень, получив для 1 дза значения Ч 4(сбой" +гуулу), у Й(005(-~ух) т йуол ( — ~й~ Отсюда ясна, что если ))» Ч, > О, то )у» Чл ». О и наоборот. Следовательно, один из корней будет иметь половительную веществевную часть, что влечет за собою неограниченный рост норнольнсй координаты.
Равновесие будет неустойчиво. 3. с т а б и л и з а ц и я р а в н о в е с в я г и р о— с к о и и ч е с к и н и с и л а н и. Необходимого я достаточного условия того, что корни алгебраического уравненвя вещественны и отрицательны, не установлено. Поэтону для систеыы (47.2) нет достаточного критервя устойчивости доле в лынейнон прибливевии.Несбходиное ке условие устойчввостн установить воино.
Пусть все корйя (47.7) вещественны и отрицательны ЧР =- вб,тогда уравнение е и (47.?) представяно в виде произведенвя бинонон ц(ч) =(ч' ас',)(ч' эс,') Су',г„'), причем какдый из них берется квоквтелен столько раз, какова крато э ность корня. отсюда ясно, что Ао- Зе,.", аГ„~О. Учитывая еще пред- 264 ставление [47Л>, получим неравенство ~а>0, [ 47. 9) которое я вырвкяет сабом необходимое условие устайчввостя. Наряду с системой [47.2) рессмотр[м уревненвн двяаенвя той ае механической сястемы, но без гнроскапнческмх свл 69+2 Е,-О [9=1„,я), [47.10> которым соответетнуат вековое урввненаа [47.6) вяля(Ч Р )" ° Я Ф (Ч П„) О, нмацяее свовяв нараямы чвсла чу =а[(-йу.
Еслв зсе коафрн[ианты Л ьо,то Ор дзя системы [47.10) будут гармоннческвмв колебвнннмн в разновеске этой енатемы устава[во. Предстянляет нате>во другой случвй, когда часть влн все Лт<0. Татка полаяенве ренвовесвв системы [47.10> беэ гвроскопачеокнх сил букет неустойчвзо прн любом числе атрвцятельных велвчвн Лт. Обрещэяеь к енотова [47.2), задав, чта адеоь полааанве ыеокалько иыое.
Еелв чясло от[апательных л нечетна, та условна [47.9) яе аыполяено в равновесие будет таяне неустойчиво. Еслв ае число отркпэтельвых Л четно, то условие [47.9) выполняетсн, следовательно, равновееве навет бмть устойчвзым. Текам образам, еелв степень неустойчвваатн четннв, то полевение равновесия макет быть стнбылвэзрознно путем ззеденвя гироскопических еял. Это предлааевве носат нвэвявве теоремы Кельзвва.Эта теорема, следовательно, говорят толька а зазванности стабнлвэвцав рэвнавеевя, благодаря яыполяевню необходимого условна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
