Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 29
Текст из файла (страница 29)
уравнения Эйлера имеют вад б аа аб бл, ат, ат. — — - — = -"Л,— ' Л,— ' -о; се аы, ал еч 'аы, лая, т ьб вб гд ат, эд — —. - —" — -Л вЂ” ' ˄— ст щтл длл М ед.тл "длл б уа а~ аы ди Й- Л чьуеи Л тлели о. легко видеть, что эта систена допускает иытеграл Лсхс'"лхл=ЛсМ'убтви)~ля(тл~1гутси) В= селят.
Условие тренсверсвльноотк имеет внд — ) (б-х — -х —.) Ут+ — У. + —.ылл~ УУ-[быт.л ы л б~~.ба -о, аО аб аа аа бы, аыеУ М, т Схе 4 Ьсли противополомный берег являетса прямыи и ыехсднтся на рэсстоянив / от точки А , то у'йс,',хек .т,'- У. о , и иэ условвя трансвероальности и концевых Условай ывходим, что доли- ны равняться ыули коэФФициенты при произвольных двФФерепциалах Уее и слл е Рис. 22 171 -В У=с, Л =а. 1 Лл Уравмеыке, содеравщее угол а, цвет фи — ° Отсидя видно, что лоотяаение протывополоаного берега прокэойдет пры значении и - б . е ясак поле скоростей течения аваловы тольао от кл , то— а% . О , — О, и кэ второго вйлеровогс уравнения находа д— ат, эл ' елл л= осеет .
Ф . ДЛЯ таКОГО ПОтОНВ УГОЛ и ВСЕ ВРЕМЯ ДОЛасщ бмть нулем и с . Оптимвльноа двиаение лодки найдется кнтегРиповаыиеи УРавнений 4- т. ГгтУ.Х, тл - тл (хс). 4 . У п р в в л е н и е д в к к е н и е м р в ы е т ы. Одной ие основных вадвч динамики ракет являетоя эвдвча опредвления оптимального изменения угла М вектора силы тяти о горивцнтвльныи направлением. Будем раоснатривать аадечу в следуыщих предполовеыкях. Сопротивление втмооФеры отсутствует,что ооответствует, напрымер, полету стратегической ракеты, которнй больаей чвстьы происходит в рвэряаенных олоях атмосФеры. целое время ддькения ракеты кв вктквяом участке позволяет воопольвоввтьоя моделью плоокой Земли, что существенно упрощае~ расоиотрение. Ирене того, предполегвется, что врещвтельыо~ двивение раыетм относительно центра месс ые онвенэеет влияние на двниенне этого центре. Считеем, что эвион иэмененмя силы тяги Т аадвн и что относительная скорость "С" отбраснэеемми частиц постоянне.
Тогда урввнення двявееия центре месс реиетн в вартикельной плоскости хг, хл (рис.23) имеет внд етх, Тсоти, 07хл =Тухли-лес, Т= -о~л, Рассмотрим эедечу о доотивении рвиетой ивисииельной нннетичеоиой энергии нв единицу мвссм прн эедепном ввпвсе топливе. Зто сводится и отнсивним максимуме Функционале ,е 1=Ь Гг,х',а'с, х )=-[Сх~') ~Гхл')3=2 Гхе эхе) при диййаренцивльннх условиях ~~ =Хе — — Г050=0 Т Т Т =.и„— — уьти у, и /77 'Г,=хг-х, =0, где ТГе), лтГГ) - аеденнне Функции, в ео.- постояннея, и нонцевмх услоэмй, соответстэувцнх вертиквльному стерву рекетн с поверхности асили со сиоростьм 'У' '6=х~ =0 о р', =Хе =0 р,'=4,=0, Ф,=.г,'=0, Рл=х,",-Р -0, интегрируя эти уравнения, находим Рис. 23. 172 где величине 1р определяется на основании иаэестного эеиона немененин несси. Обреауем Функции 6: 6=ЕЛ,Ч,=Л~Гхз т ооеи)~ЛлГх» е, ими ~)'ЛеГхс-хе)+ЛеГхт хе) Тогда эйлеровн уравнения будут иметь эид Т Ы дб аа ~ аа дб х — — — — Л=о, — — — — =Л е от дт„ех, е ' сМ дха дХЕ г Ы дд д аа аа — —.
— — =Л, Л,=о, — —.— — =Л Л -а дт дхе дхе Г ~ ' дь дхе дх„ б д0 до Т дч ай аи — — — - — 1Л,утои-Л Осли) О. Лз"А, Лч В, Л -С-АЕ, ЛЛ Р Вб. ~Ы"-Д Э-Вб л, е-Ае Условие трнсверсалъноств имеет вид гл — соли лл ~ — ум и-у) лз.хл л» ие)сч+ е Л з с/~с~ е Лее~д~ е Лг ~хе е Лл с1Фе) + хе а' кл е .ке с~~ е Ие концевых условий вытекает, что нееввисимыми я проивволъяыии будут только ди4аеревциалы «Фм,', Ы3с~, а~~', с~к'.Поэтому в уоловии трансвероалькоотк долины равкятъоя кули коэ$$кциеяты при вих е 1 Яе 0~де О Ле+ кл 0) Ля+хе О.
Это приводкт к следующим уоловвяи, определяющим поотояыкые иятегркровавмя: р Л,-А О, Л'е=В о, Л',=-лил=с, Лев=-. е Э. Теперь ясно, что оптимальный вакоы ивмеыекмя угла и~е) имеет вкд и — ч солят а Кз Р т.е. угол ыаклона дааев оствватьоя постоянным. Обрещаяаь к уравнениям двикеккя, етеперь получаем закон ивмеаенвя окорооти: Совы) дб, .ХЛ .~„~~~б+Хшт))— ТГм е е т'й) г 3 1е) е Ей) Повторкым ивтегрироваыием отсюда уотанавливаются уравкевмя оптммального двииеыия. ф 33. Основной и универсальный иктегральяые ввва1ыакты Натуральные голояоккые системы обладают многими вамечатедь- ными свойствами. В частности, механику ятях систем моиво строить кв основе либо авионов Ньптояа, лкбо варкациавяых пуывципов, либо, вакокец, интегральных яввариавтов.
При атом вааыо отметить, что уравнения, полученвме яа основе интегральных иавариаатов, в ке- вестном омысле более общие, чем уравнения, виведеакме ив других предпооылок. 1. И н т е г р а л П у е к к а р е - К а р т а в а , Рао- смотрим двикение натуральной голоыомкой системы о я, отепенямк свободы. Реиемие уравнений двяиекия 49к ЗН бРм д Н вЂ” ° — ю — - Со г, °,Ю~ бч д РЕ бе д Ум удовлетворяющее начальным условиям Ь =Ч Ь=Ь Ф-4„.,Ф), имеет вид гУ,-се)ТУ ); Р ), Р, -)о,Я~~,'~') 1с - У,..., и), (зз.1) 173 Будем рессметрнввть расниренное фееовое прос~ранство Ее„ > и , э котором координатвмм точки слукет еелнчннв г, у, р . В этом пространстве урэвненын (33.1) определяют Ял параметрическое семейство ливий.
Воэьмем контур ~, , определнемнй уравнениями (ФА,~, =~ а, ), Р =р'('4) ГОИ и Г, б'-~, „и.) (33.2) здесь при ~ - о, я= г получаем одну м ту не точку кривой О, . Выберем теперь ыэ семействе прямых путей (33.1) те, которые проходят черен точки коытуре С, . Ллн етого подставим в (33.1) выракенмя (33.2), в реэупьтете получим уравнение некоторой поверхноств (33,Ф) 2.Теореме об осмовном мнтеграхь— ном инваривнте. тебрййй 32. чтобы канонвчеовая система уравкенмй -й н,~,р),,г, -Р~[т,у,р) (б- г....,а,) (33.5) с непрерывно дыфференцкруеммни цравмми частями былй гаынльтоновой с функцией Гамильтона Н, необходимо и доотаточно, ус=)н(г"4) Ре.=~о Р 4) Ю= У,..., л ), (33.3) которая имеет эмд, иэобракенвнй на рнс.
24, и наемваетоя трубкой-прямых с, путей. Ркс. 24, Воеьмен некоторый эанкнутый контур С, охватмввввкй трубит и пересекающий кевДув ее абравунаум в одыой точке. Иытегцех по этому комтуру 1=ф РрсБ16-НБ4 нвэыввит интегралом Пуаннерв-Картава. Этот интеград обладает следуюыим замечательным свойством: он сохраняет ыеиэменимое эначение прм проиевоаьном смеаенын с дефориацией этого контуре вдоль трубка прямых путей, т.е. является иытегрельеым инварнентом.
Отмеченное свойство интеграла (33.С) является херантернстическим. Оыо составляет содервение следувыей теоремы. 174 чтобы интеграл Пуанкаре-Картава 1 фЕ)е Е~н-Н64 (33.6) являлся кнтегральймм инввркавтом по отыоыенив к лвбой трубке прямых путей, определеныых втой ояотеной. ДОКандТНПЬСТВО. Пусть окстема (33.5) гамнльтонова, т.е.
имеет внд Щ. ЭН а, ауУ вЂ” ( е г," ° «) ° (33.7) бе ар, бе йе, поканеы; что для нее интеграл (33.6) будет инварнентом. построим для системы (33.7) *рубку прямых путей, проходяцых черна началь- ный контур Се . Пе втой трубе пронввольно выберем вторую еамкну- тУв кРмвУю Сх (Рис. 24 ), имевЩУв с кеклой обРав~пощей только одну общую точку. уравненме кривой С, имеет выд б~ б,' ; ), р~-р~6. ), т- 1, Г с) (н'- у,....уЛ (33.е) Рассмотрцм действие по Гамильтону вдоль одной ив обрарурщих трубки Ре Р, от н(ивой С, до кривой СГ , отвечающей некото- рому енеченив параметра Ф.
в рессметриваенои интервале о е с ж Е . Тогда начальный и конечный моменты времени будут зависеть от выбранного путв, т.е. действке М будет следующей функцией параметра: АМ Р Гм)-') ).Н,д(е, ), Ч'<4, ~~ е 6~) Прн любом вначеыии парбметрв варнацкя действкя в ссответотввы с аормулой (30.3) будет равна (33.9) БИГ- Нрк) Б =ГŠ—. Еу,+Са-Х,— р)Ь~]+~й( — — — — ) Юу уб.
а~ а(, г" а6 (а). ' нге, ',ас. е. Пб, 3(З1)(. Перейден в етом вырененки к переменныи Гамйльтсяв. Вводя обоб- ыенные импульсы в ауннцив Гамильтона иввеотныни аормулами р = —. (б'= Ь,..., и,), Н=Яр у -1, дС П4е. б а находим, что внеинтегральный член представим в виде ~рд 61 '( Ф1)и]=~лр Гу -нбвд] Ьалы теперь воспольвоватьая иввестныым соотноиенияии мте- —— дН (б 1,.
„, и,) в второй группей ганильтоновых уравнений (33.77, то буден иметь Э1. т ЭК .ПН Аъ 1 Э)ю бе дум дуе бе 175 и иытегральвый члеп в (33.9) обрацается в нуль. Следоввтелъко, в гамильтоковмх переменных вериепкя действыя вдоль прямого пути будет реала / 3ру->е>< >8 -~С>» ~~ -КВ], . (33*10) проиытегрируем ето равемство почлемно по »~ от,с - о дом =л, в рееультате нейдем о->>е(1>-)»((о> =~ГХр'3~"->> Й)- Яр'Зу'-Н,~У, ).
Но ети интегралы могут быть представлены в виде следуюцих контурных интегралов> Р оы повтому предыдуцее соотвоаеыие представимо в форме 4~)»~Р-Ч~'=~~й~рб-»~' (33 11) с. е выраааюцей собою равеыство интеграла Пуепкере-Нартава вдсль любых двух контуров, охкатмвающих трубку прямых путей системы (33.7), т.е. ипеариевтвость этого интеграла.
Необходимость теоремы теи самым установлена. Пусть теперь даво, что интеграл (33»5) являетоя имверкантом для системы уравнений (33.5), т.е. что для любой трубки прямых путей етой системы интеграл Пуавкаре-Картаыа, вычисленный вдоль охватывающего трубку еамкнутого ковгурв, ке мемекяет своего екачевия при проиевольном саещевии точек контура вдоль обраеующих трубки. Покемем, что скстема ураввеыий (33.5) будет обяеателъно гавмльтоновой, причем с той фуыкпией Гемилътова, которая представ- лева в иптеграле (33.б). Для докаеателъства введеи новую переменную ,» , пополняв систему (33.5) еце одыим уревнепием б~, »й» бР, дР, с>е (33,12) е>» Р, Р» где 7((т,~,/>) - проиевольная Фувкпвя класса С гемылътоповмх переменных.
Ие ревекки етой системы 7» 7»~~»~ > ~~») Р» =>е ~У ~ ~> т >з 1 Щ ~.т») (33 ° 13) соответствующих вачалъвмм условиям ,»*с>, »> (с> ~', р <о>=р', нс>-б. (б=>,„,, ») 176 существование и единственность которых. обеспечивается нвлоиенныки яе )еЯ , /У условынмы, выбереи те прямые пути, которые проходят черен начальный контур Се , для чего в уравнениях (33 ° 13) следует полонить у' с'(,е>, р'=р'С~), й, йены) Г -у,...,л.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
