Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Равенства (29.13) зыпозыявтся тоиьио пв иоыцвх временного интервала, вх иевизаит уаиозыиа трввсзеровзьности звриационыоп ввдечи. Они отсвивмт зоемоиине изменении граничных условия. для одноеыечвого ывхоидеыыя зистремвзи, наряду с бумициоывлом (29.6), седеют юыцезю услозяя 7» й„~', е У~) о (й У,..., РаБ), (29.14) которые, змеоте о уоиозвем трвиозероазьюотв, поэюзявт определить зсе песюнниме нвтегрырозвавя Танин обрреом, иокомма пряиоп путь доинеи удозиетзорнть ие тозьио дибфереыцмазьиым ураз- пениям (29.12), ю и условиям траисзедсазьносты (29.13) в допоинительымм граничным головням (29.14) . заметим, что з сиучве евнрепзеыынх ыояцоз, т.е.
когдв прнюд путь и зсе окоиьыю пути з пространстве Е„„проходят через одни н те ие нечвльнув в иоыечвчв точны, юрпвцва граничных Фуиыцнд И Ертумсытси будут реявм Иуав, Н уоЗОЗВЕ травсввроиязыооти будет тоидестзеино звпозиезо. В атом оыучае эиотреиазь ведечи опредезяетсл вв еаиврозых урез|ения н граничных уозознп, з которых теперь оиедует половить ра Яе . у.
ц е и н в я я и в н в . Пользуясь устаыозпеизыю уолозинни ствционврноств Фуницвоиаав, непдем Фдрму равновесия тяиезоп одвородноа цепи, заирепзеиноп з дзух точивх М,(х„у,) и сй,(л;, у,) . Рассмотрим зертныаиьыуа пяоовость, прсходииуФ через этн точны, н введем з ыед онотену коордимат Ох~ , змбрвз нечвио О з ыеиоюрой точме плосиоою я направив ооь Ои по горваонтели, в ось ОУ- по зертаюза звери ()во.18). 147 (х, у,) л-а 0 1-.>~с -Ы-с>lе е 0 СЗ вЂ” = — (Е Е С ~, Он асев1. д (29,16 ) Рассыатриваеи цепь как систему ч,(.
В.) твердых тел - эвеньев, покоящуюся под действием сав невесты. Для выражения условии равновесия цепи воспольеуеысн принципои вяртуалькых переыеаений в фариа Торичеввк с Ху, -0. (29.15) о Вертикальыая координата центра тякести однородной цепи определяется выравениен I с -)М5, где А. — длине цели. учитывая ~се „~с ° постоннство дниыы цепй и йольеуясь длн елекевта ду.и выреаениек й5 ~б х" с/у , где х'= Ых/ф , конек представать принцкп (29.15) в виде 8) бей х' Оу=о, Чо Таяны обраеои> к1ивая, форму которой привыкает покояцанся цепь, сообаеет стационарное вааченке функциовану ) Фф х,.с)сф, в котором подынтегральнен Функция равна Ф=~й .е "' .
Вскопая функцыя г=.т(р долине удовлетворять уравыенва Эйлера (29,12) м граничному условию (29.13), которые в данков случае инсат выд ЭФ 0 дФ 0 ~Ьф5„,~ф ЬФ х)5~1=0 Поскольку точяи М, н да~ еакреплеиы, то вариации Бх,=Юг,=о, еу, Б~ = о, а граничное уоловие выполннется тоцдественно. Что касается уравнения Эйнаре, то, ввиду условия ЭФ(дх= 0 , оно приникает вкд 1 ыаф ы Иу а»' бу После интегрвровавая и упроаеввн оыо представимо в виде б,и У бес,~-уУ.-евгде 0 — проиевсньвая постоянная. Интегрируя еае рав, получасы уравнение цапвой вавка 148 зыечеыыя состояниях с' в еь ыаходятоя иа уоаозий вакрепвеиия нонцсз. Текиы обрезам, йорка разиокеовй одзорсдиой таковой цепи представляет собою цециув заяви.
ч.Стециоыервооть Фувкциоиеяа ири н э л и ч и и с в я э е й . Пуоть треауетоя иайти усвозие стацыонеряости йункциокеза Ф~ .У= ~ Фй,б, ~Р М (29.17) прк ыелкчии л ч и свяеей ~й,~, ~) б (,ачу,..., а), (29,18) которые когут быть кек гсоыетрычесяики, так я кэыеывтичеаквии, к р урэзяевяй греыачяых уохоывй (реэдекеявих ала яераедеиевиых) Г- ~ Г(4,~4М(. (29.21) услозыя стецкояаряосты этогс иытегреца ьыреаевтоа ураэыэывяив Эйлере аР (ау — О ЬС, и ае, г -,...,л) (29.22) которые теперь следует ровать оозкеотяо о уразиеяияыи связей 149 74~ (то, ~~ "у~ ~ ) б (~ д ".Рк рэ+Й2» (29.19) которые ояяэызаат ыеаду собою гравичвае эзачеяия ергуиеыте и йуцкцый. 8то тек навызееиая эааачв Затравив.
Приявыея во эявыэкве предыдуцее расскотреяяе, яоаво эяцеичать, что в явыяеы случае высек евдячу ва условаый екотрекуы йаякцвоиалэ. Пээестпо, что дУтеы ввеДавва ыеоппеяелеээых иыеэатвкей Яр(4) и составкевая Фуякцкв Р(дд, Ц)-ФИЛ.Ч)+Й 2Р(4) Ч~ (М Ч) (29.28) ,е у эедэчэ сяодатся к беэусловвсяу экстрекуыу гля црикцвоаиэа (29.18).
системе (29.18), (29.22) аеиииуте: оив оостоыт ые и+м уревыеимй и сиуивт дхя вехоидевия такого ие числе Функций с„...,с„. ,(„ „,, Л . Ив семействе раиеиий етой системы выбиреетоя то, которое удовлетворяет уоповвям травсверсельпости [ ~ —, Б~ ° ()'- 2 —. бь ) от ~ = о аг аг (29.23) к а~, и и вб в концевым успоьиии (29.19). Пеховдевме пряыого путв дия Фувкциовала прв величии свяеей промвлистрируем ве оведуииеи првиере. 5.3 е д е ч е о б р в х к с т о х р о в е . Эедечв о брелмстохрове отыоситоя в вислу первых верыециоыпык еедеч.
Ревем еа в простейвей поставовке. Требуется олредеьить Форму ливмя ь вертикельвой плоскости, двигаясь по которой яе оостояявп покоя бее гравии пой дейетввеи одвой лвмь оихв тяъеотв точие приходит ие ведеввого вечепьвого похоиевии М, в денвое коиечяое поховенве дц~ в ияпвеельвое время.
Введем в ьертивельвой пхосвссти декартову систему коордиввт Охя , ьеяв вачехо отсчете в вечельвой точке Ж, и вепревмв ось ч по горваоптели, а ось л - по ьертвывви виве(1мс 19) ° Поскольку мивимиаяруетоя ьреыя, то в рассиетрывеемом случае Фуиициояеы х ымеет простой вид ф е~ т T ~ сне, +р оу (29.2е) х р спедоветельво,подмытегрелъная Функ- а м М (м,,ь,) ция ФИ,Т,у)а 1 . При дввхеяии по гхедиой привод оправедлив веков ч ссхравеяыя ввергая г д ест- лот Ь аоапт, Рвс, 19 Тек хвв Р-хе в", К.-Е. = а, то 6= о , и атот аеиов вырезает собою схедувиум добввочвум свявь: Ч Й+д -фв ° г г (29,25) Таща обреаом, реосывтрвввеивв ввдвчв отвооитоя к еедвчвв гипв йегрввив. В соответствии о проведеввмм реоомотреииеи, обрисуем Фуяицвв К~~.~, ~, ', й-ФЬ,х,~,х;д) 2Ю~й,~,Мт)-~'2ЮМ~ФПр).
160 Иокомме гузками.чй),ЕЕЕ)Щопредеззмгсл ивз реаевие дзуп эйаерозык урезпевкй а урвваеимц озава Π— — — — — — (ИЛА) эд ( аг ах бЕ а~ бе (29.2б) О- — — —. — — 2~1- — й)е), аг б ЕГ Е Ве бо' бу ее и О- ч'- ~' Ее-яра Легмо прозарвпь, чво оаедбяевеи карат двук урезкеави эиаерв будок урвзиевае ,е у . а.р ар', ар — еР-х — - л — '— бе бд аг/ ае В деппом окучае д)/де О, повгоыу оао змеев звд е-Г~ д(х р-~уз)-Идх -,Иду ~=О.
° в г .г е (29,27) Фуд~е (29,28) перейдем к пкгеграрозвцяи уравнений. Ив первого эиперового урезыеныя поопе иыгегрирозазмя по Е цозучвеи Л =А, гце А - провезольввя поогояпквя. Урезвеыае (29.27) о учегоы урезаеикя ааааа 'Е= о к успозия грваоверовкьвосги пооае магог)мрозвыия деея I- самуе В~О, г.е.
грвккчвое условие повзозвпо опредезыгь посгоякаум В. Исклмчиз ыыозкгель овяеа М ив дауд пооледюьк рвзевогз, усеекввлизаем ооогпоиенме кеаду Фувкцпями х и П1 Ускозие грвкозерсальпосга (29.29) ( —. да+ — бу+(Г- —,и — . й)А / р дУ рг' ре . ар е ах ау д.й да а ззццу гого, чго М дх,=Ь,=д.с = ое о, упроавеяоп а црвпвмаег мед г 'я, е~)гЕУ=О. Поскольку А' вроиввозьво, дозяио равна*зов кузи змзеаерае з кзвдрегпык скобкек1 его двег греыичпое уопозае,~е(ме.г' .ерем„> г.
С учегсм уревкеыип озяэи Ч-О его ыоаво предогвзввь з боксе проогоа Верее х = ууАчг. Последыее равенство позволяет предстввкть уревнемия связи в виде уравнения первого порядка для одной функции я д елл я е18А~ г -Я~е =о Подстановкой !у= ГеА) у- ФАуг оно сводится к простому виду Й=-угу- !ПА ы и после интегрировения с учетоы нечельпого условйя 1 =о, у=о,ПАВ дает — !'у- ФюфАМ) убА~" Ф л уравнение для т теперь имеет выд у6А ус=ФА~~у-сеуууА~Ц. Оно срезу ынтегрируется и с учетом начального условия т=о, х = о приводит к выреиению .х= — !ФА~4 -5,п ФА~4) уаА'у Последние две уревнения, дЪющие реыение задачи, являются параметрическими уравнениями циклонды. Таким образом, чтобы прийти иа полокения М, в положение М у ае кратчайшее время, точка долина двигаться по дуге циклоиды.
Постоянная интегрирования А , фигурирующея в усавнениях, определяется из условия прохокдення циклоиды через точку Му Что касается мноиителя свнзи, то он определяется вмрекением А А ФА х еА~г у- сея ДАуе т.е. является известной функцией времеыи. т 50. Принцип Гамильтона Ввризционное исчисление позволяет деть неявную формулировку основного зеколе мехеники в форме некоторого ин.егрельного вериеционного принцяпе. Зте форма свободна от особенностей применяемой системы координат. С ее помощью удается устевовить глубокую явзлегию изиду разливными фмзячеснимв янленивни в получить плодотворные обобщения.
Рассмотрим наиболее общий иытегрельвый приыцвп-принцип Гамильтоне, офорнулировенный им в рвботе, опубликовенной в 1854 г. 152 1,Формулировка в обоснование прввцвпа для ватуральных голономных с в с т е м. Раосмотрвм провзвольную натуральную толоконную систему с л степенями свободы. В незыэнсвмых координатах д„ ..., с„ оастема полыостью хв(зкте)юэуется функцией Дагревиа А (с, у~ Ч ), ноторую считаем пуавндлеаащей классу С .
Рассмотрим некого)ый ковечыый промеауток времени Его .1Д. Интег)щл Е~ я ~ 1, я,~,4~)сут (30. 1) Со НаЗЫВаЕтСЯ ДзйотВВЕМ (Па ГНМВЛЬтОНУ) Эа ПРОНЕаУтОН (тс, тх ). Поскольку лагранаеза функция заввсвт от кооркияат и скоростей, являющихся функциями времена (Д,Ю, с7.Г~), то действве Ж, оченидыо, является $ункционэлом. Йспольэуя эту величину, Гамильтон сфо(мулировэл основной закон мехенааа в форне слекующего ва)нецноняого п)щкцвпн, носящего его вмя.
П р в в ц в и Г а м в л ь т а ы в. Дейстнательное двикевве системы с ндеэльными свяэямн мекку двумя заливными кон4игурзцвями отлзчеется от всех других дацуствмкх двваенкй меаду теми ае ковфвгурзциями в за тот ке промекуток вреневв тем свойством, что для ыего действие Ф выест минимальное, точнее, стэцианарвое значение, т.е. йт=о. (30.2) текам образом, соглнсыа Гамильтону Природа ведет себя подобно экономной хозяйке: осуществляемое ею двааевие мехеавческвх систем происходит с мвнвмальчым по с)авненвю с дпугвми возноивымв двваеввянв действием. Перейдеа к обоснованию принципа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
