Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 28
Текст из файла (страница 28)
к задаче геодеевчеовкх лазай. Отсюд ееключеем, что ннерцкельное двкыевве веозободвой голонсмвой аастемы со стецвонернынв овяеяын проаоходвт твена образом, что авобрекающев точке дзикетоя по геодееачеокой лакам воордаввтвого пространства Е„ ие зырекеная для квкеткчеокой ввергая з раооавтрмввеноы случае легко зпдеть, что паветачеоква ввергая овстемы пра катрана (51.15) совпадает о кныетачеокой выергыей,квобрваающай точка з ю - мерном коордкывтном проотрвватзе, тола втой точке прапаоатв еднннчную нвосу. 165 Поскольку в даннон случае в силу интеграле энергии кинетическая эыергия постоянна Т" Ь , то предмлущэя Яорнулв дает для скорости дникенмя постоянное внвчение 5 = ~йА , т.е.
двинские иэобрвклвщей топни по геодеэической линни будет равыомерынм. К эадвче геодеэичесних линиЯ мозно ввести определеыие двккенмя и консервативыой системы, т.е. склерономной системм с ыеэависящей явно от времени потенцквльной энергией П ц ) . действительно, в атом случае действие ЬК, определяется выракением (31.14). Метриэуя пространство Е с помощьв кввдратнчыоЯ Формы г Ыс. =Ей(А-П)агтй~ 4~,, (11.16) своев сводки принцип етацнонерного действии П Ю„ О к виду 8)'ае'=о, Текин обрпаоы, двикение консерввтивыой системы всегда полно рвсснвтриввть квк иыерцивльыое двнкенве иаооракавцей точки по геодеанческой линии рннэнового прострвнствв, метрика которого определяется Формой (11.16). Зтв идея составляет основу общей теории откосительности.
4 . О и т и к о — н е х е н н ч е с к е я е н а л о г и я. Законы природы обнаруживают некоторое сходство в протекании качественно рааличных явлений. Зто сходство проявляется в подо- бии уравнений, описывающих этн процессы, и нваыввется анеяогией. Ранее были рвсснотреыы вналогыи между мехеническимн н электри- ческими процессвыи. Аналогия существует такие ыелду нехпыичес- кяим к оптичеокинк явлениями. Этв аналогия была обнврукена Гвмильтонои и явлпется одним иа вэинейквх открытиИ анелнтнчес- кой нехеннки.
Сравним мекду собою оптнческый принцип Ферма с принципом нэименьвего действия в Форме Якоби. Соглвсно принципу Ферме луч свете в однородной среде распространяется ло такому пути, чтобы время его двикения имело нвименьвее, точнее,стационврное анэчение, т.е. для пряного пути луче долкио выполнятьсн условно ')5 й=Ю) те=Ц вЂ” =о, +е эе У !66 Рассцотрви раопроотраиеаае света з веодвородпой атыоорерв. Вводя ковййицкект прввокпввпа света в среде л и/», гдс е, и - соотввтотзакыо окоробта раопростраиеыав оввта з пустоте в в среде, иовом предотазвть прикипая Фариа з заде 8) ату о, С другов оторопи, двв матеряадькой точки праыцип отацвоваряого дэйотвая з йорке Якоба даве о') их[а-и) Ы5 -О.
Сопоотавпеыив этих приацкпоз покявывавт их одкотипкооть. В атом подобии привципоз, опрвделязцпх протвкавис оптичасккх и мехакическвх явлений, и оостоат оптико-ывхаввчеокая авалогкя. Тапки образом, травкторкв луча будет оовпадать о трвскторивй точки з силовом поле с потввциалом 6 , если потребовать вмпозыевая условия яп-г <Ь-п). аксперимеятальяо устаяовпано, что вблизи позврхяости Намик поквватсль препомзсния явпявтся виысииой йуякцявй высоты г с= п,1'у- А 7), где н - зодиака атмос4срм, а я ы к - вкспврк- У ° ментсзьяые поатояыымс.
Вбпвва Земли ЦНс» У, поэтому о точыостьв до папик величии второго порядка буден иметь я'-л.'й-И ц ). Но тогда првдыдуаая йормуха дава зпкейкоа выраввыав дзя опвового лотвнцвала: Л=аг. с, о -Ь- — ~ а и. Фл. Х Н Следовательыо, сзатовсй зуч двивется вак матсрмальвая точка в силовом поле с потыыциепом, яззяваиися пиыейвой Щуыкцивй высоты. Но именью такой вкд имеет силовая йуыкцая двя аквы тяваота вблизи ввмной повсркноста. Иввеотыо, что прк проиввовьвых начальных условиях тяжелая точке движется вбливи Зеыли по параболе с вертикальной осью. Такой же вид судет иметь и цуть светового луча (рис.
2Ц . На зтам свойстве движения луча основано явление рефракции 1 Н "'О"''''' '' ' ' ' 'д ''' Рис. 21. атмосФерм: видимое положение неоесного светила несколько выше над горизонтом его истиыного положения, т.е. из-ва неоднородности втмосреры светила приподнимаются над горивонтом, благодвря чему в каждой точке земной поверхности удается наблюдать болев половины небеснон среры.
Оптико-механическая аналогия имела важное вначенне в истории механики. Зта аналогии играет важную роль и при равработке современных проблем знелитической механики. 4 52. Оптимальное управление двикением 1. О и т и и е л ь н ы е д в и ж е н и я . Теория управления движенмеы посвящена исследованию задач о наилучшем процессе движения с точки зрения минимума или максимума каких-либо его покавателей. Зта теории является интенсивно развивающимся раеделоы совреиемной механики. Хотя зедачи но управлению движением имеют довольно длительную историю, особенно существенных успехов вта теория достигла еа последние десятилетии.
Зги успехи обусловлены потребностями совремеыыой техники, а такие в бсльшой мере возможностями вычислительной техники. Постаыеякамк аадач по оптимальному движению слукат проблемы реактивного движения, вкстремальвые задачи автоматического регулирования машин, проблеим предельного оыстродеистзия и др. Резнообрааные задачи оптимального управления были объединеыы в стройную теорию Поктрягиныы, опубликовавыеи в 1961 году монографию ецатематическзя теория оптимальымх процессов". Основ таарив составвл так називнемый принцип максвмуыа, представляющий собою необходимое условие оптимальности для основного круга проблем управлеыия движением.
В дальнейшем было выяснено, что и классические методы вариацвоыного иочислеыия повволяют для достаточно широкого класса за- 1БО дач сформулировать обиде необходимые ыритерав оптвмальвооти в форме заркациокыых задач на уозовный знотремуи, з которых урзэнеыия дзккения системы рааоквтркэавтоя как дкфйаренцавзьвые сынаи, налокенпые вз коордннеты скотемы.
яике рассмотриы осыозыуы зацачу об сптяывпьвои упреэпеыии, которая з кпзоовчеокой постановке отввится з форме эе~зеацяокной задачи Байера-Боаьца. 2 В е р в а ц к о ы н а я з а д е ч а и а и е р а- Б о л ь ц а . Рассмотрим неноторув механкчеануы оиотему, состояние которой опредепяетоя зелкчинаии .х„ ...,х е ° йто могут быть переменные Лаграниа, Гамнзьтснв и пр. Имеется векоторое управзяпщее воздействие ыа систему, зыракаеиое зенкчинамм О~. .. Ие . РеальныМ характер этого зоздейотэкя покет быть зоська разнообразным, нзпрпмер сина, энергия и др. Задача оптимизации дзикеыкя оистемм ставитоя з форма слвдуыщей вариецконной задачи Майера-Бозьца.
Пусть требуется иинимизнроззть фуккцмонал 1-с(Е„х,' Г,, х')~ ~ УК хай, иИ))Н, Р2.9) Фр зырзпепщий собою некоторую характеристику дзикенкя системы о учетом связей Я~ = .хл -уз ~ т~ х, и) О ГБ 1,. „° Уп ) р (32.2) предстазляванх собою дыфреренцмвльные уравнения дзвзения системы, записанные з нормальной форме, и дополнительных усаоявй на пснцазые эеничмны Че Г~.,х',~,.~')-с Гг-с,,Р:У д). < Образуем фуыкцкю (52.е) з которой легренвевы миоактезы д , вообще говоря, яззяатся функциями времени. Тогда з ооотзетотэыи с результзтамм ф 29 неопходызые успозин знстременьности заркзцконной задачи (52.1)-(32 3) при гладком упрезлеыак ига предотвзлявт ссбоы систему тлт зйлероэмх урзэыенмй и л уравнений овязей: 1БЭ вЂ” о (о' у...,, о~) ° м ~а~ Вх, Уе а» дб '~ ~~ О (2 У,...,в), дие ЖЕ дт)е х;т (6,~, и)=0, (5= У,,„~ о~).
Уравнения (52.5) следует ренате совместно с условием трансвер- сеиьностн и концевыми Услоеияии (52 ° 5) ((6-Š—. л, )ое Š—. /х, ~ ОБ=О, Зб Ьб «ай„х е дхе е м (52.6) о,(У,,ос, Е„х')=о (У=У,..., р 6 Хю~Х). При допустимых кусочно-гладких управлениях иЯ) к получен- ным условияи следует присоединить так нееываемые условия Вей- ернтресса-Эрдмане, выполняющиеся в угловых точках аункций йе системы (52.5) при условиях (52.6) определяется оптимальымй векон управления и(е) , а такие само оптимельное двикение х(У) ° 5.управление мотормой лодкой. Рассмотрим моторную лодку, которая пересекает рену, двигаясь с постоянной скоростью )у (рис.
22). лодке виюле ие пункта А и долина доствчь протввополоавого берега у(х~,х~)-о в мвнвмельное время. Предполегеем, что течение реки установиваееся и иавестны составляющие скорости потока в кендой его точке У,Гх„хл), тт(х„х ) . Вводя угол курса и(4) , получим по теореме слонения скоростей уравнения двкнения лодки в виде .Гх = у, р Сели, .и, = уу . Чухе и. Теперь вариационную аадечу конно сформулировать как еедачу об отмскании минимума функционала 1= Ь ~т„х', й,, х')= Мх с ди$$еренцмальннии свяеямы '~=л. - и чсоууу=о, ~л=.х -у -чуяли=о и концевыми условияыи ог й =о, Ч) =.ю =о, у м -о, (и = ~у~~х' .к')-о 170 дла ФУнкции 6 Л,Ч<+ 4Чт = Л,(х,-т,-йсеи)еЯлф -тл-Мдетд).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
