Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть рассаат)ювается интурьяьнзя голономння свстема. Ее двинские определяется лагрввкевыма у)щзненвяии в обобщенных коорквватнх — — — =0 (~-А.".н). с~ д~к дуе Возьмем дейотвве по Гвмвльтову з составам его вариацию в соответотиав с Фз)нулей (30.10) (30.3) 8)У ~-'Г%8~ ~~1 Р Ы',Ц~(Я~Р~М с дЬ )~~~Д ° Ч.' нйрн е~, ат, уй 0~, 153 Поскольму в денном случае печальная н нонечыеп конфнгурацмв системы, н текке соответствующие моменты временн фиксированы, то в этом зырекеник внеинтегрельные члены обращаются в нуль, и вариация будет равна ) 2,( — — — —.)Яу бс (50 4) е е д~к ~й д~с.
В последнем вырекения интегрел обращается в нуль в силу легран- кевых уравнений дникения, теи сними оно преврещеетсн з требуе- мое равенство (50.2). необходимость принципе уотеновлене. Пусть теперь дено, что для некоторого пути выполнено условке (50.2), покакем, что этот путь будет прямым. Тан как н рессыат- ривеемых условиях вериеция с И~ определяется выракением (50.4), то условые (50.2) предстевкко в виде б дц ~ дА, поскольку сГт,у, ~у)ял, будем ннетьй;= — — —,— 6 с; что касается вариаций д~,,..., Е~„ , то ойй являютсй неэевиси- Ммык ПрОИЗВаЛЬНЫНН ЗЕЛИЧКНЕЫИ НЕ Нятэрзапс (Г„ 8х) . НО тОГда из (50.5) в силу леммы о следуют уревнения Лагрениа (50.5), и определяемый нмн путь, согласно определенна, является прямым. Принцип обоснован полыостьв. Гении образом, для нетурельннх голономнмх систеи зериэцион- ный црннцкп Гемильтоке эквивалентен легреикевым уравнениям лви- кения, поэтому его мскно полонить в основу динамики голономных систем.
Заыетим, что Гамильтон изловил принцип для случая склероном- ных систем. Для общего случая нестеционерных связей этот принцип был сфориулировен н обоснован Остроградским в 184В г., в связи с чен денный принцнп иногда именуют принципон Гнмильтоне-Остро- градского. Принцип Ганкльтоне исмет быть обобщен такке нв случай ненату- ральных, е текле и негслолокыых систем.
Однако в атнх случаях он имеет другув форму и теряет свойство стацмонерыостк яекоторо- го функционале. 154 (50.7) 155 2.Принцип дзя ывтурвльыых голо- ы о и н ы х с и с т е и . Обобщим принцип Гвмязьтоыв нв ыеве- турельные гозоиомные системы. В этом случае принцип утверидеет следующее: "Аействнтевьыое двыиение системы с идевльыыми свявяын меи- ду двуия веденныни конфигурвцннив отлнчеется от всех других до- пустымых двинский меиду теми ие конфмгурвциями и эе тот ие про- незуток времеыи тем свойством, что для него резвы нулю интегрез ~ (ут.
дА) й = о, (50.6) ПОНЬВЬТЪЛЬСТВО. Явыиение проиввозьыой голоноиной системы в ойоощенннх координнтех опредезяется следующими уревпениямн Легрение: — ~ ~ =д ( с'= у,.... л) . ае а~„а~ Попевок, что в силу этих уревнений выполняется условие (50.б). поскольку Т= т(е, с. 7) , то вериеция с т с учетом перестено- вочннх соотиононий у~'.- †,. (с=у,..., и) судет резне Ы 6т=);( — д~ т —,Юр)=" —,~ —. др' +~ [ —.- — —.). , ат ат ..~ ат .
ат / ат ь7 ас' ' ~',.ае' е с а), ы ао, Подставив в внрюменве янтеграев (80.6) бт' по этой фо5музе, и БА=ГО а~с и имея в виду, что с. в силу равенства нулю вернеций аде йа кснцйх временного ин- тервеле, повем придать эгону интегрелу сведующую форму: ат ы ат ее 1(Бт'БА)ут-/е.( — — — —. а )ду уе. (30.8) ау,,н аеь.
Теперь легко видеть, что в силу вегрениевых уревненмй (50.7) этот интегрел ревеы нулю, тем свмым неосходимооть уомовмя (50.б) устеновлене, Пусть теперь вдоль ыекоторого пути выповняетоя условие (50.б); покеием , что этот путь прямой. В силу предстевдеыия (50.8) условие (50.6) эннивелентно усвовыю дт мат 1 д(э~~ уе ау, М'Ъ'ут=о (50,9) ео' в которок вариации коордвыат нававискнн и проиавопьыы. Прн обычных требованиях отыоситеньыо сил и свяаей Г(е,у,7~ )еС, ур(е,))еб~ буден иметь брест~, ТяС, поэтоку м — — —.~Я ес (е = У,...,п), вт д ъТ г ' е.=ач, пе ьа и усновия Леммы 8 выпохнены.
На основаниы втой леыыы ив (50.9) следуют уравнения (50.7), что н докевывеет достаточность. Прин- цип (50.6) полностью обоснован. Гении обрааои, условие (50.6) вквквелентно уравнениям (50.7), и его конно полозить в основу ыехавики ненатуральных голонокных систем. 5.0 б о с н о в а н и е принципе д л я него- л о в о ы н ы х с и с т е ы . Принцип Гамильтона в форне (50.6) справедлив в дпя наголоноиных систем с линейнныи ккнеиатическики свяеякк. Понакен, что на правок пути неголонокной онстеыы выпол- нено условна (50.6). двниенне неголовоыной системы определяется, например, уравнениями Рауса ,5 Зт ат д , Л Пс а~ ~'~~РР "Р ' ~~= '" с) (50.10) совнеотно с выравенныни в обобщенных координатах уравнениями ки- неиатычяских свяаей х Л(~ос~.
ч $е=О (б А...,45 . (50.11) Интеграл, стоящяй в невой части принципе (50.6), иокко представить в форме (50.8) н с помощью реусовнх уравнениИ (50.10) преобревоветь к выду ЗТ с/ дТ ((~7 ЕА) )(=~Е( — — — —. $)д~ Ут=-/Е и й 8ое--й ЭС, бт ае, н,~"Р,д ~~~50 18) г Уравнения свявей (50.П) накладывают следующие ограниченая на вариацив координат: Е4е д'~Ь-р (Р-у,...,л) е (50.15) уивоввв кавдое ие втык ураваеный ке соответствующий ыыовитель и и слоник ревультаты, получки условие ))е /ее )б у (50.14) 156 в свау которого обрвцеетоп з ыузь правая чаоть резеыотза (30.32).
необходимость уоаозав (30.6) тем самым обосыозеив. пуоть теперь вдоль веыоторого путя змподпяетоа уоаозае (30.6); покекем, что вдоль аего спрезедзвзм тввие уразвевав Рвуоа, т.е. ежов путь прямой. Условие (30.6) вв освозазмя (30.6) мовво предотезвть з Форме (%.9), з моторов, э отзмчие от случая гоиоаомвой системы, эарыецаа обобаезимх коордвквт уае ве проавэоиьам, в сзяваны й услозаяма озяеей (30.13). Образуем теперь коабаввцвв урезкой связей (%.3е) в прабвзаа ее и подавтегрваьвому эырааевив з (30.9), тогда будем кметы уе( — — — —.~а ересь )3ч й-б.
Вт И От Все ,Н ас ' е Р' (%.15) ВмбеРем тепеРЬ К ааоаатехей Яе такам обРазоа, чтобы э (%.15) обратазась з вуиь ковйфвцвемта прв везаоаамх зераацакх. Прк исследоэввав реусозых уразыеикй бмио эыкавеяо, что вто воино сделать в пряток едпвстзеппым обрывом. Тогда з автегрехе оатеыетоя тозько сумма члевоэ с кеввзаояммма эериацвяям, ковййациеыты прв которых прв обивках предшиоаевмях отвооатеаьио ови и связей язлявтся йувхцапыя квасов 0 . Но-тогда по лемме 8.
атв коей(акаевым долввы быть резки муви. Нтвк, цряходви к выводу, что з (%.15) доамим рвзввтьоа пухи комМацвемтм пры всех вариациях коордввет кек ввэзояммх, так и яеавзаояммх, е етв уоаоэав а деви реуоозм урезыеввя (%.10), что доыевызвет достаточность пракцяпв. Такам обрывом, для веголоиоыымх скотом преыпдп ваыиепьаего действия Геыизьтояа савиестыо о уреэыеыияым связей екзаэвхеатеы системе уреэкеыай Рвубв, сзедоэательпо, его мокко поиоэыть з осыоэу мехепмкы втык систем. итак, зыяснево, чио гвыильтояоз препцап з йорке (30.6) пригодев дия опвовкая кек гоиояоывых, тев и ыегохоыомвых систем с вдевиьыиив оэяеаыа, т.е.
ов обладает той ае степеыьв обвдоота, что и абиев ураэвеыке ыехвквив. «, О х а р е к т е р е с т в ц а о ы е р в о о т а д е и о т э и в п о Г е и и х ь т о в у . Прккцип Гвмазьтоые 8Ю= О змряавет собою тохьво веобходввое уолозве отвцвоаврвоота дейотзаа И( ив прямом путы. Характер етой отацкоавраоота зыяовяетоя по вавку второй зарввцвм О~И : з чаотаоота, действие ааааа ыв прямом аута мккпмуа, воза иа 167 Пядей Р. Сеи Гаювльтон считал — и вто павло отракение в его форыулировке принципа — что дейотвие не пряном пути иининально по сравнению со возик окольныки сутями.
Однако вскоре было выяснено, что свойство иивниуыа икеет кесто только длн достаточно малого пРоиекУтна вРенени 1 й,, сх 1; в общен ке слУчае выполняется линь условие стационервостк. Поставочные условия вкстреиуна функционала труднопровернеыы. Повтоиу характер стацвоаарностк действия по Гаиильтону к другие связанные с ыии вопросы выясняя на следующем простои примере. Рассмотрим двиаение точны еданичной кассы по гладкой сфере радиуоа Я при отсутствии активных сил. Такое двиивние завывают ннерциопыны двивенкеы весвббодыой точны. Очевидно, что точка кисет две степенк свободы.
В качестве обобщенных координат возькеи ее вкроту 9' и долготу ~~ на сфере. При отсутствии ективных скл функция Лагренка совпадает с кинетической знергией и определяетсн выракениеи ~-- Т= — = — (М е 9' 5'с 8е). ч .е у 'у,г д й Пряной путь изиду нзчельнык н конечныи полонениями М, и Л1,, доставляющий стационарность денствию Ьн=у л.с1е , определяетсн зялеровыии уравнениями дЬ Н 81.
ЗХ Ы дl' — =О, — — — —. =О, те Эу М дФ ' дг' от др1 приыинающини в деннои случае вид ° г с1 ~- р 5!л~Сое~у=б — Яуи РЦ~) =О, 'ИМ М, В~орое из них сразу интегрируется н дает первый интеграл у~51с ~~-9~5иу. ~е сфере все , г ° .е Рис, 20. точки равноправны, постону бсэ ограниченин общности можно принять, что начальная точна йо совпадает с полюсом сферы (рис. 20 ). Тогда с~, ~ О и интеграл приыниает вид р1 = о . С учетом его первое уравнение переходит в ранено~во с1 = О , ив 1зс8 которого следует постояяотво проивводяой У- солей . Талям оправам, уревыеввя аверцвоиного двявеиая точяы ииеыт вид ф'= селят, ф сОли.
Первое уравнение утверядеет, что права путем будет иермдиав л л л сФеры. Второе уравневие с учетом вырввеыая скорости г - Ялче = уе покаемввет,что двияеные вдоль меридиаыа будет раввоыернмы. В обцем случае черев точки Мо и'М| проходят два прямых пути: пУть М ММТ, ДлЯ котоРого М Мт ~7!.П, и пгть М Мс М|, длЯ котоо. РОГО М МГ>И~, ОДвеяо в случае, когда точка МТ совпаДает с точкой Мо , диаметрально противополовной точке Мо, черев вих проходит ыновество бескояечво блывкях прямых путей. Точяи М м М ", обледвааяе отмечеяямм свойством, мееывавт аопрявенвымы яынетичсскюи фонусемы. Сравним теперь выечемия действия М не пРяном путя М ММ| и окольных путях, проходяаих черев точки М и НТ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
