Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 21
Текст из файла (страница 21)
пта разыернооть вавиовт от размерности псевдбкоордиыати ц в долина быть такой, чтобы произведение )), д 'л, выело рааиериость работы. 123 5. й о с и е д о в а в и е у р а в в е и и й . Представим уревиеввл вывезя в виде, раэревеапом отиосытевъво воевдоусзорепвй. Па освовавии формупм (24.17) двя эпергмы () будем иметь дУ вЂ”.. -Е м ц + эг дх я воэтоыу ураввевил Аппазя — П, представыиы в ваде с ьО еаг Е М Ё П„- Эб (э= О:., л) .
(24.27) Эта равеыстйа ыоапо раосыатриввть, кав алгебравчесяув овстему отвоситеаъао поевдоусворепмй. Имеет меото следувыая ВВПКА 7. Определитель алгебраической оистеиы (24.27) савичев от мулл, т.а. л е П-ОЫ(ря„)„, эо. (24.28) ПОКАЭАТЕЛьСТВО. Пусть л О, тогда одпородппл оиотеиа урав- невпй Е яг ч О имеет аевувевсе реаевае ф ,..., ч я . посзе 45 е умяыевая ураваеивй ва соответствуаяве числа в и суммирова- ния будем иметь Е эя 4, 4 О. с помоаьв фориуз (24.18), (24.9) и (9.9) этб уаяовае моапс эапиовть в спедувцем подробвом виде! Дт„(ДЕ„,),)(ЛЕ„,~,)=ЕО~(Е~е- ф,НЯгече) О.
Квадратичяая фо(ап о ясэффицйбятвим а явзяется опреде- пепво позозитевьвой, поэтому иэ равеиства зуав втой формы спе- дует равеаство пуза величии ДО ф,=а (К-Ц...,П.К, г-У,...,П), е ее~ Попучеввме условия вырвзаит лавейиув эаввоамооть стсзбцоэ матрицы (~~ , й , сзедоватепъяо, ее равг будет мевъве я это противоречат исзодвому попоиепим; лемме докаэвва. и сазу поэмы 7 ачгебракчесмея система (24.27) имеет реаевве (Р -Е М„(П;де,) (Р, В-4 „., /Р), (24.29) лч где через упер, 1обоэвачепа матраца, обратная матрице у МР,)) . Равенства (24.29) предотавллвт собов урввпевия Аппевя, равреаеиыые отвасительпо поевдоуспорепий. В правая частяз втих уревиевий, наряду о псевдосвороства, содериатсл гаазе обобиенпые коордаыатм. Присоедвввз в (24.29) вырааевва обобцемамд скороотей череэ поевдооаороата 124 ф=~~ '~7,~у,„Гс у„„, л А'), (24<90) пазучаеи знмкщутуш систему 8а ок у)швненяй для нахоиденвя фуикПвй С,,..., 4)„,»,' '~[А,.„,')(о.
3та Саотона ОПРЕДЕЛЯЕТ ДнажоНВЕ НЕГО- поповной снстемы. Предстзввм систему уравнений Аппеля в связей между обобщениями я всевдоакоростями (24.29) и (24.30) в но)шапьной форме — ~= Тр(4 с),Я), Тр" Е~ утре ~По ~а) СР=Г...~Л), (24 31) М =ЕЧ~,«Ч))(, бз ИЮ ('б-,, К) и присоеквнвм к ним начальные условия А*О, д„Со)~~~ (К 1,„,,ЛМ), Яр(о)=7((о (Р=У.„,Л).
(24.32) условия существоза..ия решенвя системы уравнеыий Аппеля, удовлетворявшего начальным условиям, выражает следухщан ТКОРЕМА 58. Пусть активные силы У "(А,х, М)ес', коэффициенты зеввсимоотей между обобщенными я псездоскоростнми дотИ,9), у (),и) пС~, а такае сняая между хекартовмми в обобщенными координатами т (А ц)еп , тогда задача Кази (24.31), (24.32) имеет единственное решение. ПОКАЗАТКЛЬСТ))О. Легко видеть, что прз уславвях теоремы прение части уравнений (24.31) будут непрерывно дифференцируемымв фувкцинмв переменных 4, с, ')( . Следовательно, в силу теоремы 4 и первой части курса задача Коша (24.31), (24.32) имеет едввствевное решение. Таким образом, решение задачи о двнкенвз неголоноыной системы п)а использовании уравнений Аппеля своквтся к интегрировании нормальной систеиы порядка Уя ой . Пра естественных условиях гладкости активных сил, а такке соотношений, ютралншцих выбор обобщенных координат и псевдоскоростей, существует единственное дзвжение неголономной системы яэ заданного начального состояния.
6. О с о б е н н о с т и у р а в н е н в й. У)ввненвя движения неголономнов системы в фо(ше Аппеля во многом сяалогвчны лагранжевзм уравнениям. второго рода для голономных систем. Они также не содержат реакцвн связей, не зависят от числа точек системы. Про составлении этвх уравыений внянуш роль играет энергия ускорений аналог кинетической энергии. 125 $25.
Вывод не уревпенвй Аппепя динамических урезнеяан даиере Покеаек, нанни обрвеси ие уравнений Аппеия могут бить получена двввничеозне урезаеявя Вилера ддя сбернческого давленая. Пуоть твердое тело созераеет среркчесиое дзивение вокруг неиодзаааой точки О . Примем ету точку ее нечеио светски отсчете 0х„лт.те.
В нечеотзе сопутстзувиен снотенн координат А„ Ае,А, зоеькек глазике осв внеРцип теле дла точка 0 . Обобленкйкп коордвветвив тола когут слулпть вйлерозн угнн Ч,,~уз,~у . В нечеотзе псездсокоростез зоеьнек ионпонентн угловой скорости теле з сопутстзувлвх осях л сс, Ч,дю~ун5тп4ее г $нбсяо~~, л Пт= ып 45йгф СоаК вЂ” ЧаЯапЧз, л Л - е- 6 СсеЮД 5~, (25 Х) 126 Число те* а другах уравнений оовпвдвет с числов степенен свобода светова, в зтв уравнении вспоиъеувтсл длп е49ектвзкого определения дзниеяпл. Однако есть и ревначил. В то зрела квк легреааевн уравнения обрезовнзала закинутую пистону, уравнения Аппеиа егин сзодстзоа ве обладает а дла озоего интегрирования требуют привлечения допонввтевьанх вавенатнчеоаих ооотаоаевпй.
По втой причине порлдок систина уравнений Аппеля резон уеен , что не к единия презнаеет порлдок иагреыаезок скотски. В уразаеввнх Аппенл з квчеотзе псездоскоростеп нонне взять, з честности, аееавнаанне обобиеяпне скорости. Тогда неоколъко зкдоаененяетса ввергал ускорений а псездосклп, е гение упростится канекатвчеснае уравнении: облай ве порлдов састеин урезяеаай оотенетоя арслана. урезвеаап Аппеиа в псездокоордвввтех воино, и частности, прпкеиять и к гсиоконвнв систекаа, прн итон овк дввт анне Форин уравнений, отличные от легрвпнезюц эта урвзневип будут оозпедать о легревлезнна, если ее поездоокороств зиять нееезяоинне обоонеиине окорости. Легю задеть, чйо этп соотпоаеаик аеаатеграруеин, поэтому саад поеэдокоордают ые оупестзует.
2м$$ереыцкрсзеиаем ао иремеаа соотаоаеиид (25.1) с учетом кыпепетычеоиак Формул е Й Г,а ЕЩ уотеиезйизеем ееаисамоота я -2 (ас»ея,ъ), (25 2) т.е. псездоуопореиапю арам ысмиоыеитм угюзмо уокореыип теае з оопутсийзаиил оспы. Предотеюм звертив уоиореаид тзердого тела и- ' ~бЪ (25ер) з ваэисимоотм от поеадоуекореиид, Оогааомо теореме Ринйлйла уокореике точка тела разно звюорпод оукие зраЮтедьиого а оое- отрвмытелького уекорепыа ааейг+Йыт, УаФйп~ поэтому взадрет уокореиик,а зайед аа иаи а эаергиз уопоревд, мокко предотазвть з йиде орина трек саагаеинк л Еи ~(с У) Е а~(о)йунсй й)й) %й*Р)Ь ЛВ Ю сй Поолвдывв айегеемое ссоеыеав череп И4; оао ае осдеримт псездоусыорекмаэ юетому его зид Ве омзетси ые урезземыпк Аппелп.
Что каоеетоп дпуы перины слегеепмы, то ак удобао преоб- реэоэеть. Имеем дли перзого И" й) И~й) Е (У~(Е~т)] Е (й 6-2(Е.й)~~Е.(й д-йЦ.Е глв Ю ФЮ У - едииичымв тевэор, а ур Фф 2лЯ - дмаде. длп пре3ореэозаыми зторого ппегеемого зооибльеуемоа аеэеот- ымм мэ зеыторыого аыелиэа тоыдеотпсн, юторсму удозлетиориат Лпбме три зекторе й й (м йр)+йа) й е рй и) т уй ( й и аз) О, Опо мопсе быть получено рвеисмеппем каадого пивка ао рормуле дэемыого ввктораого ароаээедепки и слоаеыаек результатов. ыос- лсдыыи члеы тоадеотза защ рор~улв р йо» й разов ыула, поэтому дза пврэмх члвме отлпчеатсп друг от друга юльмо эиемои йй(ььйч) -м(рйй) обе(2йч) . 127 Имеем данса Я(е«И) Якт)»ИЕ ГЕ»<од»И)~=ЫЕ ~се»(у»И)3 ° ~)„=)Е' (25»7) Теперь легко видетв, что уравнения Аппеля — = П (,~- Е у,у) Э() дс непосредственно дают дкваюические уравнения Эйлера для сферического двмаения 1,Е +~ Е сорТ Ы»М„(»С=ЕЦ %), (25,8) Этм урапйеяия бмли установлекн во второй чести курса ив теоремм об неменении кинетического момента.
е;с =ЕЕ, б) моввращаясь к ивтегрвльноа формуле (25.е) и вынося еа енак интеграла угловме характервотики двииенвя тела, будем иметь где ЯЕЕ»Е.1о Е+Яе (ед»Е»)»д~» (25.5) у =~ЕеХ-ее)»6ю, Х, )ей»Го«»=1» ео соответствсйво тенеор ннерции и кинетический момент тела относительно центра. О. Иредставим полученное выраиение в компонентном вкде. Расхваливая векторы и тензор инерции в базисе сопутствующих осей и имея в виду, что эти оси-гленике рси мнерцки для точкк О , получим для днергив ускоренкй следующее окончательное выракенве: л»г л .се( установим теперь эыракення длн псевдоскл.
Твердое тело валяется склерономной системой, поетому длн него виртуальное перекещенве совпадает с военонннк перемещенкем. Следовательно, будет справедлива формуле б'е » еуе»ед»уе» е.с учетом этой последней виртуальная работа актиннмх сил будет равна ««~»~~» ~'ч=~ р; (~,)Е".)-~~~~я'~(е-~' Ис .е". где «Г(' - компоневтм в сопутствующих осях главного ионеята аятмвных скл, а с ~ Ме ИЯ б И -вариации псевдокоордиват. Отсюда следует, что псевдосвлм совпадают с компонентами главного моменте активных сил 128 26 Двинские сеней по наклонной ° е ° е хе-х„~~у =о.
(26.1) рнс. 17 Это уравнение слационврыой кинеыатической свнаи. Текин обрезом, сеыи являются негрлоноиной склерононной системой с двумя степенями свободы. нозьиен ав псевдоскорости незввисиыые обобаенные 'скорости Ф, Хт "че У' . для определения двикенин саней зоспользуенся уравнениями Аппаля. С атой целью поставки зырваения для энергии ускорений и псевдосид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
