Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 17
Текст из файла (страница 17)
°, лфя ~ гг~- ° гю ) =О, (20.4) Ь. Лвикепие точек под действием с к л м у и р у г о с т к . Пусть точке массой ~п дзккется в прострвкстзе под дейотзием силы упругости,пропорциоиельиой расстояпию точки от центра равновесия. Беря з етом цевтре на- чало декартовой системм коордивет х„ л „к„ нейдем, что киие- тическая и потенциальная энергии точим определяются ьыракеявяыв Т вЂ” Е ~ П= — и' .к к Селе~.>о л ~ -, г Гочка является, таким обрезок, консервативной скстемпй с тремя степенями свободы. Кипетическмй потенциал системы имеет значение Г, ~'х, х ) = Т- ее = — Е! х пг ° к,е л д л ы атом случае обобаенпые импулъсы совпадают с обычными иипуаъса- ык р -эА,/д.г.
=еът лля Фуккцмм Гемклътока з соответствии с Формулой Й Г Н получаем зыракеиие НГл,р) =„- ~.; р„ л Ф л поетому кевоничесние уравнения дзикепия имеют зид — — — "=- — --/ Г -,й,у). 6 ЭН Р др ЭН и щ и М д~ Легко видеть, что это система имеет интегралы Я ~е~ее леем бх Я. ~з Р псе Рз гул ° ~ыреиеюмие постоянство кинетического момента точки отпосытель- но первой и второй коордипетмых осей. Скобке Пуассопв двух интегралов Э/с д$ ЭЛ д,ре Э.6 ЭЬ Мг Э)е Э~~ Э3е д)'и Эй 4 %)ее М Пк, аР* ЭР, Эм, акт бел доерлл Эку Эее ЭР, Эт, дает третий интеграл уе ~ 1е илРе ~л, который змраквет постояыотво кикетвческого момента точим отыосительпо тре~ьей оои.
Иегко проверить, что Г~е,Я ул, ~~к, Я ~, В данком случае будет квтегрвлом и фуыкцмя Гамильтоиа 1= д)~~р ~Ать ) яе. Сдиако посколъку †'~ о (и. И,Ь), будем иметь "1 ГУЦ )=О ( е Уй,д) ° то один ив параметров з полыом интеграле будет вкодить адднтизно 2. т~пс, н„ ,,и ~+мнусловые (20.2) при атом ваиеняется услозиен е т-с Эег ~(,„,„ )....
(20.5) а уравнения характеристик принимают знд дх,/л Но о'г,е Л 1 ЭР ОР ЭР Л' дгг дг,„дхн дл„, (20.6) 2.Уравнение Гамильтона — Якобы.Каноническую систему уравнений Гамильтона М. аН ~Ъ ЭН И ЭН предстезии з следующей форме: Не1(' — ) а о Эе~ Ф дчедн е т-г 98 (20.10) ~ф ы н~~ нр ~~-Н) Ан -дн" 1 ьо — Э "- дн ' (20 ° 8) ьр Сопоставление уравнений (20.6) н (20.8) показывает их однотипность. уравнения будут созпедать, если приыятьл=р~у , причем 1 =.к о 2 (с' А, и), ь=.х„,~, -Н=2, 7= г», РН(х, е„,/и). Таким образом, равенства (20.8) являются уравнениями характеристик для дифференцкального уравнения с частники проивзоднмми первого порядка Эо ьб ь81 ье )*' '''У гл д~~„ь) / 1 (20,9) где неизвестная функция обовыечена череа 5 .
Это уразнеыие мазыьеют уравнением Гамильтона-Якоби. Искомая функция ыепосредотзенио ые входит з вто уравнение, повтому его полнмм интегралом будам равенне, содериащее е г постоянную, нв которых одна входит аддитивно: 8= 5()„...,8„, е, ~,,..., и„) .с„,г , причеы для него выполнено условна (20.5) Ценность рассмотрения уравнения Геыкдьтона-Янобы дэя выдач механики определяется сладуювай теоремой. З.Т е о р е м е Я к о б и . Имеет место уотвиозлеиивя Якоби тяОРПЯА Уе. моли 5~7,е, с) предстазлнет собою некоторый полымй иытегрвл урвзнеыня Гамильтоне-Якобы (20.У), то ынтегрвлм гвмнльтонознх урезвеннй дзикення (20.7) двютов ооотыокениямы 05 25 Э~к ' д се ' е ' ' (20.11) ° (20 12) где д н д (я- (...,л)- проиэвольмне постоянные. АОЯАЯАтедъстнО.
поскольку 5 - полный мытегрвл, длв мего змполнеыо уоловне (20,10), з салу которого уравнения (20.12) мокко резревить отыосительыо обобщенных коордвивт, вырезны ыд черна время и постояннме. имеете с рвзенстввмы (20.П) онм определят соотновенэя це- це (е,.с,,э), Р - Р (Я .с,,бР (к* г,..., и). (20.15) деюкие дзнкеыин точка з разовом проотренстве. Доквыем теперь, что ети еункцяи удовлетворяют уравнениям Гамильтоне (20.7) ыры произвольных анечениях с. и 6 еункцим (20.15), буд, чи подставлены в рввенотвв (20.11) и (20.12), оооокают ых з тоидсстзв по т ,с и В . Дкфбаренци- руя тОХдеотВО (20.12) ПО т , ОудЕМ ИМЕТЬ 2~5 дл5 М~г — — — '-О (б- Д...,ю).
ы~,эе е а.с,бег М о «гуго, сторонм, подстеноэка полноте интегралы з уравнение Гамильтоне-Якоби (20.У) пРсэРащсет его в токдеотзо по юг, т,,д ; днбееренцнроэннне его по .х дает а"5 аЯ а'5 — — — о (и д ..ю), зеа,г, ар, эе эме Ооствэнз ревность полученнмх внракений, приходим н линейной однородной алгебраической системе уразыений Ввиду (20.10) определитель системы не равен нули, понтону системе имеет тодько нулеэое решение, следовательно, аб ЗН вЂ” — (т= т,, л), Не дРг (20.13) ВкаЛОГМЧНО, днйасрсяцмруя тОкдЕСтВО (20.11) Пс с , В тОК- дестэо (20.9) - по ц , придем к равенствам д'5 Вл5 Нх дРсв — '- —,=о, д~~ д( с Вг) д~)г бв НЕ е5 ВН 3~5 ВН вЂ” — — е — =О, дМ)~ др Э~)~д~е д~ф Составив ревность втих соотнокенлй и учтя условян (20.13), будем иметь Нр, ОН вЂ” — — — (б= А,..., с).
(20*14) сй д~~- Уравнения (20.13) и (20.14) показывавт, что Функции у ир~, определеннме соотношениями (20.11)и(20.12), действительно удовлетворяют гамильтоновми уравнениям при произвольных .х н 8 Теореиа докааане. итак, согласно теореме Якоби интегрирование гамидьтоновой системы уравнений сводится к равмскании полного интеграла ураэнаыия Гамильтона-Якоби. В общем случае обе задачи одинаковой трудности. Однако во многих случаях окевнвается проще найти полный интеграл, а ватам по теореме Якоби и сами иытегралм канонической системм, чем непосредственно интегрировать вту систему уравнений.
В этом обс~оятельстве и состоит ценность метода Якобк. ф 21. Метод Имкенецкого разделения переменных Общего метода отмскания полного интеграла уравнения Гамндьтона-Якоби не существует. Однако в ряде случаев, ииеющих интересное йивическое содерквние, окаамваетоя вовмокнмм патти полный интеграл, причем его нехоидение свсдтся к квадратурам. Такого рода вадачи возникают при специальной структуре Функции 100 Гаиипьтоыа н называются ввдачаии о равдеиямцыыкся перемекнмым.
1. Т е о р е и а И и и е и е ц к о г о . Метод раздевания переменных,предиоиевнмй Иыыеиецнвы, осиозызаетоя иа сиедуяцей теореме. ТЕОРЕМА 55. ПУСТЬ ФУВНЦИЯ Гаикквтска Выаат ЗИД НИю(ул. Ра). ,~ т р ), причем е 0 . Тогда псиный ивтеграи уразыеныя Гаыипьтона-Якоби д, нО,(9„— а ),9......9..6.— " — ]- 'дв де воино предстазыть з йорма 5 Д(9л,'лз)флУф~ю" л ~елани'сл~",лсл)л (20.16) где — Г,(9, с,) - Функция, обратван ы рупиями д (9; — ) д5 ад г.„ е ~' У+ е, с) - полный интеграл уравнения з чаотиых про- иэвсдных поэтому гесснан йункцин 5 будет равен аР, 0 0 аюдаг агчг э9еэм, а9,а. "'э9,а«„ аеу л аг~,( ) а"1г аэ у а'1 д9лде~ а9л аии а9едмл 101 — В( „9, .,У„,А — ". — )=0. (20.1Т) дУ аУ д1г ал ' ~''" ' 7" ' 'д9в д9„ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 5 опредепяется зыреиением (20.16) ° Тогда ее проивводнме будут резни — = — , †, " †, Йд и " 0) 1 а5 ЭЧ' Эн ЭЪГ ь5 ее эе 'ао э вместе с условыеи 1 ф, — ) ~, это означает, что урезневие (20.17) приыимеет зкд (20.15).
Следовательно, 5 будет ременном уравнения Гаикльтома-Якобы, содериащкм и параметроз. Заметим далее, что ад и д5 ар. дд аУ (г у,...,к) а9, ' 9г' ' д9,д4~ аы, лс э9 М, эу д„ Легко задать, что атот гессива озлится от пуля. действительно, если продпФфедпцк~озать по и, товдсстзоЯу„~,ф„ ы,Д-.,~ то аУдвм мията ь ь„, =~, схвдопвтвльпо, †,,' =( — г' ) '~0 .
д с ап' а,'-~' й Крома того, М(й'.х )" и о , поскольку ч есть полный иятвгрвл (20.17). Твппй образом, Пувиция 5 , опредвлсянвя зырвасиием (20,16), дайстзвтельво язляетоя яолвмм иытегрвлом (20.15). Теорема допввава. Итви, если з зырааеяаа Пуаицпп Гвмильтоиа вргумепты с, и р, удветоя выделить з виде отдальвои Пувпцип у,(ф„ р,), то отыскание полвого автсгрвлв всходиого урвзпвяия сводятся в аяалогичвой задаче для урязвевая, з поторои число независимых пврсмввмых ыв едввацу исвьае, чси у исходвого, т.е.
к более простой задаче. Пвогдв этот процесс удастся продолвить яа ввскольпо авгоз. В случае, когда ыоаво сдслать и явгоз, опредвлеввс полиого аитсгрвла сводятся п квадратурам. 7.0 а с т е и ы о р в з д е л я ю щ и м и с я перв— ы ° я в ы и в . в) Пусть система вмест цапличеспуа воордивату ЬН а.
, т.в. — б . тогда полвгвви у = Ь и определвем проивзод- ЬЯ 'Ч* "' фа5 иум — вз урязпеиая ~,= ~~ з ваде — Р ~~ . Полиый Ьчю автоград (20,И) при атом будет разов т)~м (упю' "юупФПю~~"1 '' ~ пл)' (20 19) Ковечвые уразисвия дзвасявя, опрсделяемыв з соответствии с теореаой Якоба Пормулаим (20.11), (20.12), будут иыеть зид Р, С~, ~~~ —,Вз Я вЂ” )В„, — ЙО=П, „,и). (20,20) д~ дУ д'ч б) Пуоть свствиа обобцсппо поясерзатазвв, т.е.
-~ = О, Тогда оопряиепыые величавы ц„~ т,р„„ и входят з урвзиеввс з заде одной Пуппцва и моаво привять х ~„„=-Ь Г„„ ° Полямй ватсгрвл при зтои будет ревев В--Б4+Ч'(~„...,~„,м,....~п, Ь), (20.20) где и язлястоя полипы витегрвлом урвзпсыия з чястыых прояззодиых у(Г~„..., ~„, — ", — ) -),, аЧ В '"' "' Вц Вся (20.22) 1(0 полная онотамв интегралов (20.11) и (20.12) з атом случая бу- дет †.з (со-д...,л-у), — -р (к=у,...,а), (20.25) дт' а~ дои ф» а~ ал Р. (20.24) перзма л-у квтвгралоз (20.23л назыааютов гаомстричвскнмв.
Они ые содв,аат зрвмомм и з и - мерном коордвыатпом пространстве опрвделяют оамвйстзо траонторвй каобракаюавй точки. последнай интвграл (20.24), содеряаинй время, называют кияемвтическим; ов даст закон двыыения изобраваюасй точки пс травкторнн, Вторая грузна интегралоз з (20.23) назызватся промвиуточныим. Онк слупят для наховдвния иыпуиьсоз* з) пусть система обобавяво ковсерзатязна и ее гаммлътоноза функция ииеет спвцнальиуа структуру Н=В[~(р„р,),...,~„ц,р„)~, — Фо т у...,,п). В этом случае зов переменяме раадолаяы: сопрякеынма величины 5» и р~ зходят з Н только чсреа Функцию у .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
