Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 15
Текст из файла (страница 15)
консервативной системы йункция Р предстаэякв з зада Р НБИ-l)) . (17,17) Диф4еренциальные урезкевмя (17.12), в которых Функция определяетсв змраиением (17.17), неаывевтоя уравнениями Якоби. Интегрированием уравнений Якобы находим функции щ,„-е) (щ,> Ь,С„.-., 0 „л), (сс-д,„,, и), (17.18) которые определяют 2п -1 параметрмческое оемеиство трвекторий в и- мерном координатном простренстве. ыекоы дэякения иеобранающен точки вдоль траектории устеназлнвветоя о помощью квелсатуры из соотношения (17.16) й=/'~Я ~б, С,„,. (17,19) .'аким обрезом, интегрироэание лвгреыкеэой системы уревыаний для обобщенью нонсерветивыой системы свелось к цнтегрировщнкв уравнений Якоби, число которых ве единицу неньые, чеы число уравнений Легрениа.
ч. у р е в н е н и я у и т т е к е р в и якоби д л л т о ч к н в и о л е т я г о т е к и я . Ресснотриы двннения точки в плоское~и под действием силы ньютоновского притяжения и установим для нее вяд уравнений укттекере к нвобн. кек было ныяснено в и. е $ 16,эта точка является коыоерэатнвной системой (честный случай обобщеыно консервативной системы), и щуплая раыильтоне для нее имеет знечение т Р® е, Рр, Р ) — (Р е -м) — —, Р г' е уе у рл (17.20) где Р,О - полЯРные кооРдинаты точкм плоскости, аРу лР,Ре тоВ- -обобщенные импульсы.
85 Ревревиз кнтегран энергии Я= — ('р е — е)- ~ — /р, /ю Сдлег ,~~ г ее Р 1 У / ев (Г1.21) р- ю ь я-е--' Р уа и приняв во внимание опредекеыые Функции к' : Р=-Л', устанавливаем, что геыильтоноза Функция з уравнениях умттекере определяется выраиениен е„Ре А'(р, в lю Р ) ь«3+,и г" ве (17.22) семи ае уразненкя Унттекера На ВХ сФ М У ор дРв ~( дВ в деняои случае нмеит зад сЖ Ре ~Рв )~'(~е 3„~~ .РР. ' ер Р Ре Второе мэ этих уразыевав срезу интегрируется и приводит к интегралу (17.23) Р -е«е, в - с««ее, который, выду определения импульса Р-«~р в, очезндыо, является О аатегрелом лаокадей. Дкя интегрирования перэого уравневая учтем (17.22) и половим ,Х= —,,.~= —, Р- —, 7 РЯ М (17.24) Р' «се' Вя тогда о(х« -с~р/р н уравнение приводится к квадратуре я ~Кч е './г-твк=ь — Е """ Вычкскяя ивтегрек, устеиазэмзвем зырааение х-й аексоь — 0- В. ееу ' Воввраавясь к поккрной координате Р = — , окончательно полу- чаем е =агс С -2 —.,В, (17.26) (4е.й этот интеграл определяет семейство конических оечеаид, в одном нв Фокусов котормх рвсполоиен притягазвкапа центр.
двастьнтвльно, обратив ввзкоимооть (17.26), аолучвеа рвзвнстзс 5/р = 1 5 ова 5о со55о ~в)50тяудп урвзненкв исяичеснах Овне ннй следует з зкдв Р бя ~ — . л5)ге р1---. е-и'у.~ 'ру — . 5аего5(а-б) й 5Н импульс Р , определенный рвзеыотзом (17,21) ° с учетон (17.25) будет развя Р-о5о 5о+ — —— У Р' (17.2б) интегралы (17.23), (17.26) и (1?.28) оцрвдвлввт оеавйотзо траекторий н бввозом проотрепотзе у,б5Р,, РО .
пооиольпуР 5зови, этн трввкториа лепят з трехмерном йодПРоотремотзедЕ,Р, н зависят от трех пврвметроз Ь,с', б . пусть точка Опмснвеет Вквнпе о полусонна О а и . Оеоквапвуспрвзвдлиз иитегрвл пловедейр в б , то период обрааеаиа в ыокно иванн, поделив пловвдь вллкаову5об ав овктерауа оиорооть с/2 з зпде г- — . Учитывая еае, что ив двух змреаеаай яда ь Веа '„5 для пврвмвтрв р- — = — полуооз 8 определветеа в заде б с/Й а 55 '5а судвм иметь т ь|ОГа/~ . составив етаоаеаае тл5 а убввдвеаоа, Чта ОНО ОУДвт ПОСтОЯНПО5 л Л г ец — Свата. ав 55 следовательно, оудет иметь ивово третий вазов йеплврв. Текин Обрввон, ив урвзпввий уиттеяерв оледувт зов .тра кепдврозщ авиона.
Что нвОевтся евпОВв дзиввпкя точЗп5 вдоль траектории» те Оа определяется з осотзетоткиа о змрваеиаем (17.11) з заде извдрвтурн Г-(= — / 5 ) СОЯ5$ (17,29) 4юГ~7ЙР:5 где параметры опрвдвлямтса фораулвкк (17.2$) ° интегрвл правой часты мозно представать черве елввемтвраае Функции разливания зырваенияии, з евзиоиаооти от тапа иовичеевого сечения ( еллипткчвоного, пвроболачеоисго ала гавербовачевк~ го). Таням обрезок вктвгуирозание Чвтыувх гвмпльтокопах уРвзиеиий дкя коысерэвтизыоы системм сэедеыо я интегрировании двух урен- некиа Уиттекерв.
Составим теперь урвзыеыия Якоба втоа аадачи. В соответствии с рееультвтамк п. Н 5 16 киыетыческвя и потанцкальная энергии точка опредеаяытся змракениянк ю ти Т- — (ух.р в ), /7-- л ' Р Ие двух предстаэхеняа ддн ккыетическоИ виергав Т=я(р е г е )"-У 6. т е ее„е уатвыаююввем, что 6= ю~ ('1~ 1'а'е), где а'= 4рй~ . следовательно, ввахог ыагравиеэои Функции э ураэяеыяях Якоба имеет э силу (17ь17) мед (17 ° 50) У точки ив пыоскоста дэв отепенн свободы, поэтому Якобиезв окована урвзкемка (17.12) будет содерыать тольио одно уравнение и дР дР— —, — — -а..
дО' д8 В развернутом энде уреэненне Якоби имеет нкд — [~у (Л,,") ~ ~ ~ =о. (17.51) ~с. р'В' Это уравнение язляется уравнением зтарого порядка относытельно Щувиции еч р) . Оио допуоквет однокрвткое интегрирование, з результате получаем нервны кытеграл р/ Ю~ У мт(Ле~~) ° =ле, с сооэт, (17.32) й' 9%' гаареивз его отнаоительыо пронеэодкоа еч к переходя а етом змрваеывя к обозначениям (17.2Е), получаем разеиотзо ~Ю Дх у 2р -ха У которое, очеэидыо, эквивалентно равенству (17.25).
Последнее, ыак бмко змяоыемо зыке, интегрируется э вада (17.28) Й-~ Ю аес4'.се ~/3 . Ук~ ю Это аоотноаеиие ялв обратное ему, даваемое Щормупон (17.27) Р 1 ~ ГСсе(д-,я) 88 н определяет 5-перемет)меченое оемейотво траекторий з воордваатном пространстве р , В уравнение двинская вдоль траектории уствнвзлазаетоп с вопи (~Р.19~, р Ф .~,( абая гн ' ( ° "* ~ (О.ЗЗ) у не основании интеграле (17.ь2) справедливо рвзенотзо Л,е Л ос ° ЛР/Р и)р~~леу- у поэтому соотноиение меиду времеыем Е а коордиавтой р з методе якоби (17.53) совпадает о анвлогачнмм соствовеваем.(17.29) з методе Уаттекере.
Таким обрезом, изиду консерзвтвзкоста системы автегрирозаапе сыстемм двух легренневых уравнений сведено к Пятеграрозеивп одного уревиения якоба н н нвпцрптуре. т 18. Система с цакючесваиа ноерпаввпвыа Наряду с обобценыо консерзетазнымм снстемемн, покивать порядоя системы уравнений двинская моаио длн другого клаоов натуральных снстем - оыстем с циклическими коордвкетвма. 1. ц ы н л к ч е с к и е п и о е а ц а о и н ы е х о о р д к я е т ы . Обобаенные юордвааты мокко подразделить не дзе тыне в авзисамости от того, зкодят яли не входят опи явно з зыреиение кинетического потевцяалв системы.
Обобаемнея координата бе ЫаеЫваетоя циКлиЧеоаОЯ, соли Оаа не входят язяо з йуккциа Легранае, и повкцнопной, если оае участвует з змраиеыаа етой Функции. Текин образом, длп цккличесНОа КООрдиявтн су НМЕЕИ вЂ” - 0 , Е дкя цОЕнцаОНПОя ЫООрдаавИ а заа тыа -'— ГО ° уе ее~ Сено незваные "циническая коордвиете" связано с теы, что зо многих механических задачах угол Ч , херектераеунакй дзаиенве по замкнутым траекториям-цаклеы, не входит явно з зырвиение для фуикциа ~ а потому является циклической координатой.
Яоеицаоиннмк ие стели ыевмзеть зсе обобаенные координаты, отличные от циклических. 2. Ы е т о д и г н о р и р о в а и и я циклических н о п р д н к е т . Пра заводе урезиеиай Гамильтона бмли усте- 89 ковленм соотномения- — = †(',~е 1„,3ь). Иа нмх ясно, что ж ая если коордикета с -цйклкчеокея, то она не входкт явно ые только в Фуыкцяю е. , ыо твкке и в фуннцкю Н .
8 этом случае соответствуювее уравнение Гемкльтонв (э =- — а О даат миан эс теграл р = е' =С И, неаывееммй циклическим, Он эыракеет постоянство циклического импульсе. Пусть у системы с,,...,с„ - повиционные ип циклические коордиыетм. Тогда гамильтоновм уревнения )С;---Е-"- определят я-~п циклических импульсов =О =С~с~ее Г (=еУ~'1,, ю), (18 ° 1) Циклические координаты ке входят явно в Функцию Гамильтона, е соответствуюкме им импульсы постоянны, поэтому Функция Гвмильтоые имеет в этоы олучве эид Н" НСЕ,р„..., Ч,,о,„,р, С „,...,П„). (18.г) Ив структуры Функции Н следует, что первая группа уревнений Гамильтоне аН грр ИН Де С,С ~Е Сс — — — 6е "1,., /7Р) (18.3) предстевляет собою вемкнутую систему,Ьэ диФФеренцнельных уревыений первого порпдке с у с неиавестными Функциями у р .
Прони тегрироввв эту сиотему, неядеи Фя-бе(т,с„,В„В'), Р =р р П , В„, В' ) Г В, у=у„ , ) (18.Е) где Ву, Ве - проиавольные постоянные. После подстеновни этих вввксииостей в (1ь.2) Фуыкция Н будет аеэиоеть только от времени НН,Ву, Ве, С ), поатоыу оставшиеся гамнльтоновы уравнения аН ф„ — ( ~-л.у,. „ л ) определят циклические коордмнвты в вявисйиости от времени при поповн квадратур и -/' — й~с„(а-т у,..., «), (1к.о) дН эс, Тем самым уравнения двикения полностью проинтегрировяны. Текин оорваом, иктегрироввнке урввнеыкй двикения по суцеству свелось к интегрированию системы (18.5), порядок которой моньке порпцкв исходной системы не Яе единиц, где г=л-т - число циклических координат.
При интегрировании системы (18.5) циклические 90 ноординетм зо зыпнеыве не првнимавтся, »нгнорнрувтоя", отовде проистекает н наазевие методе, реъреботаыного Рцуоом. В честности, аоив зое иоординвтн циыличеоыие п система обоб- иеыно ноноерзатмзыв, куницын Гамильтоне будет евзвоеть тоньно от нмпульсоз Н Н(Р). Пе оскозевпв уравнений Р - д~~/д~» О заключаем, что зсе нипуньом будут пикническими))г С„(6' ° 1',..., и ), а Функция Н вЂ” поотояыиой зеинчмпой Н(с) с»лес .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
