Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Такая образок, в повелениях равновесия системы ее потенциальная : нергия принимает стацяоызрноа значение. 5, Р а в н о з е с и е о т е р л н я в с ф е р и ч е ск о И ч з ш е . Пусть однородный стеркень длиной 22 и несом Р по- коится в гладкой чаше, имеющей форыу --полусферы радиуса ду , таяны образов, что он точкой Я опирается нз крошку л ' -- чавв и концом А - на ае дно (рнс,14). Установим угол, обрззоваыный стары" )л веы с плоскостью горнвонта, в пололеРыо. 14 нвы равновесия. Свершена покоятся под бб действием трех сиз1 сыды инвеста, непревзевиой вертниввьзо, а доух реекцый, сборы в точках опоры, кеадея ае истории рвоыозетсттся в соответствуыией меридиоввиьной пиосноота.
Очевидно, что эти силы будут леветь в одной пиосиости только в озучае, исида сторкеыь пвходится в пиоскооти меридиана сферы. ы отой плоскости у стериня одне отепевь свободы. Ввода в пзоокости декертовы координаты Х, у а имбирна вв сбобиениуы координату искомый угол ы.
, будем иметь сиедутмее уревиеиае рван. есин: б=й -Р— -Є—.Р --Р дт Эл~ дчс д дс "' д,с г д,с д,с пертиыевьноя координате центре мвоо, очевидно, рвана хо= ~АЗ-АС)увалы (22Соеа-6)5ье с схсдоветельно, урввиенае ревиовеоия принимает ввд сне -гс -5Ю о. и сто уравнение с учетом уоиовнв Ос сну~~ опредвзает угоа с в ниде С и = вй ~Ме бдй 1 ° условиеС~с.сн 1 при атом требует, чтобы данна с бизе мень нс дионетре у ы б7 Главе И УРАВНЕНИЯ НЛИЛЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ СИСТЕИ Наиболее простую а иэяцнув 4юрму уравнения дникеэия голономинх систем првнимаат в случае тек называемых натуральных систем.
Эти системы вполне ооределявтся веданием некоторой скалярной Функции — кинетического потенциала, имеваего рвэиерность энергии. Следовэтевьво, теории двинская натуральных систем мокко построить бев неповиновения понятия силы, оперируя только с энергетическими нетегоряяин. т 13. Натуральные системы Нвя опредеаенви натуральных систем рэсинрим клесс потенциальных сил. 1. О б о б ц е н н о — и о т е в ц и а л ь н ы е силы . Нусть обобцеавые силн определяются через скелнрнув аункпив 1ГН, 1, ц') по Иормунем д ди Эи Й<г= — — — г (б=г ...
/7) ЙА3~ дс~ тогда ганне овам называют обобценно-потенциальными, э функции ЬгА'е,~,ф)- их обобаенвым потенциааом. Иэ определения (13.1) следует, что обобценно-потенцаеаьвме сины опрадеаявтся саедувцнмн внреиэниваи: а.=а( — 9" —. 7.) эм — — (.-...,л).
~Зт, ~дк д у ду Ц-Чт ' ИЧ '9т '9 ~ б9 <1у.г) 68 Поскольку в механике обобщенные сизы считантоя аввисящиын только от времени, обобщенных координат и обобщениык скоростей П,. й, с, о ), то формулы (13,3) не долины содераать обобщенных ускорений. Для етого долзны обрвщатъся в нуль все проыаводиые второго порядка от т' по обобщвнныи скоростяы, т.е. обобщенный потенциал долины быть линейной функцией обобщенных скоростей ч (Ч 9> =к' и Ч>Ч 'п(т 1)=х 1Ч Ь>+ л(Ч>.
(13,3) подстановка этого аначеыкя потенцкеаа в формулу (13.2) приводит к следующим выреиеикяы дия обобщенных сизо а =- — Л( — — — )с, ° — (о-у,..., с>, да .ПП дЛ ч. ПП д е т д т д е Ут дт (13.4) Танин обрааоы, обобщенно-потенциальные силы складывептся иа потенциальных сил — — с потенцивлои П(6,~>, гироскопических оп ете сил Л у о. с антяснниетрычной ыатрицей )~ = П вЂ” П е и некое торах сил П , аваисящих от ароновн и от обобщенных координат. Сила Л е , очевидно, обращается в нудь, если линейная часть потенцйала у не аависит явно от времени. Класс обобщенно-потенциальных сил, наряду с потеыциельпнии силаии, включает в себя и ряд других сил, интересных для ыеханики.
Показан, что к числу посиедынх относится и силе Лоренце. Известно, что яв точечный азвктрпческий заряд а електроыегниткои поле декствует сиза Лоренце Р е(Е+ ~ *Н) е где ч — скорость точки, е - наряд, с-скорость света, в Л и Й - напрякеыаости електрического и ыегыиуного позей. Полторы Е и Й вырезаются через скалярный и векториый потвнциады ч' и А посрвдствои форнуи Š— — — —, Н то(А. дЧ у дА дй Тде Если воспользоваться изовстннып форкулвия векторного аивди- дА АА — аА — д(Р.А> дА — = — -й = тито(А — '-Р.— > де де ду ' дт ду 69 тс севу Уоррипе ноано предатавить сиедуааим обрезом: а~у е ~дА — аА1 е ~ЭРА) — ЭА~ Эе е М е'Ь~3К Г.-е — — — ~ — -'т'. =) — ), — — т.
— Т)--е — — — — ап Эъ С ~де Эг) е~ ЭТ ауl ЭТ с сИ Теперь вегас видеть, что комповеатм спим в декартовых коорди- натах мозно представать такие в ваде обобаенво-потекцнеиьпмх спи о обобаеппнн потевциаиои т ею- ~ Е.т А е ач е ел~ с ада е ат аг 7 -е — — — — ° — Ех— ох с ее еесве иаФ аж, Не обобаепво-потекциеиьвме спим распространяются векоторме авойотве потенцвельвнх сии. Именно, есин обобщенным потеыциеиом обведват обнчвне спим, то таким ае потевциеиом обладают и обоб- аеавме снам.
действительно, пуоть — — — (т=~,..., ЛГ), К УЛ,т, Н). . Ет аГ„ЭТ„ Тогдеч опираясь не определение обобаенннх она и кпвсметнчсскне иенам — дач ар„аг„б Эу, др а =).р — —."- —. — — = — й.-~,,л, ~*~,Ю, 'а), аае эц бс ас„ас брдеи Виста Е йь ~У аГ ~ ай ЭЧ- ЭН,) =е .
ор„'сс,, ор.'с1 асс а=,'а)с~= аг ар, айаг ар, ат дй, 1 1 ат- ат. ч ЭГ4 дсе м ~ аб аее ду» а~с( дт й~~ до~ где т~~~~ ф, й указанное ойойство тем сенна установлено. г 2. Н е т у р е и ь в н е с и с т е и н . Головомкне сис- теам, в воторнх овин имени обычный потенциал П (т, с) нли обоб- аевпмй потевциеи.'Н"Гт, ), ф), ыеаывевт иетурельыммп. Легрвпаевн уревпевая в обобаевннх координатах для ветуреиь- пмх оиотем принимают компектвнй однородный вад.
й 14. Уравнения Легретае 2-го рода дия ветурельвых систем с 1.Однородная форме уравнений. Ф у п к ц н я Л е г р е п а е . Рассмотрим двиаенпе нвтуреиьаой овстеим. Тогда действуваие спим обаедеют вообае обобаеккш потевциевом Я - — —. — — ~б=),„,,п), Ф=~П у П=п;~П. б ау ЭР' сй~ дфг а~с '"'' ' е (14~1) бастона о обычвммв потевциеиькннв свинин саедует из стих Формул 70 при условиях Пе О (О' д, ..
я~) . урвввевая Легренав второго роде в реоометравеевом овучве б сТ бТ б ЛУ (Ф г," Р) л лс ац бг лв эб мокво представить в одворолиой Форме д/- дЬ вЂ” — — — -р (н= д..., «), ит аф, бе, (14,2) где повоаено ~(г,б,б>=Т(Ч.б.)-У(,~,б',) . 11»,У) уравнения 114.2) нвляютоя ввгрениевнан уравнениями в обобценнмх координвтех для автурнзькык систем.
Фувхцвя Ь , предстсвлнюцвя собою ревность меилу киветическоа ваергаей а обобцонным сизовым сотепциелом, нввмзвется $уннцаей Лвгрввмв ази кинетяческам потовциелои. Ллн ннтурельаых систем аувкцвя Легрваив, кек а нвветачеоквя энергия, является кввдретичной рувкпвей обобцеввых окоростей 114.4) Ь~- нвелрнтнчнен, С вЂ” лвнейвня формы обсбиеннык олорсстей, в (.,- функция, ве содериоцвя этих скоросте|. Сопоставление бормузы 114.4) с выроненаем для л: с-7„' т, т, - У,-п дает ~г'Т ЛЕс' '~;бг, Ут -Т-К=У(а "П 1$ Ь, Тр П Отсюдв ясно, что гессиев Функции б отвосительнс обобцеааык скоростей для натуральных састек будет отличеа от нувя с~н2( Э С ),Уг2 (~с ) е,Р ау об„ы,., т цс-г (14,6) ;то сбеспечннеет реэреанмооть уревнемий (14.2) относительно -бобцснннх ускорений ~~0)~ ~> (с' У Ф ' ~1» 7) 71 Зтв уравнения в совокупности с начальными условиями +=О, б (О)=~', с ГС)=у~ (С= У,..., л), (14.8) как было выяснено в ф 9, однозначно спрзделяют двиианиа.
Таким обрааом уравнвния движения натуралвной системм вполне определяются ааданиам для взв кинетического потемциала Ь , который имеет рвамерность ввергни. Таи самым при использовании двиканмя натуральных систем можно обходиться без использования силовых характарнстик Эаыатим, что, крома натуральных, можно рассматривать системы общага типа, движаниз которых определяется уравнениями Лагранжа (14.2) с произвольной функцией (ч'д ф, х ), предполагая, однако, отличив от кукк ее гесснзна ы ( двь )с д~,.дф,г щт=г (14.9) Это условие обеспечивает прздставлание уравнений движения в форма (14.7), Поэтому вывод об однозначном опрсделенни движения путем задания начальных условий (14.8) справедлив на только для натуральных систем, но и для рассмотренных ныне систем общего типа Приваром ненатуральной системы ыокат служить движение матзризльной точки в релятивистской теории при отсутствии вненних воздействий.
М атом случае движение точки определяется уравнениямм Лагранжа, в которых функция Лагранжа укз не явняется квадратичной функцизй скоростей ('у-,—,) (' - ',"х х,), „а~~у с е-л где с-снорость света. Лля медланвых срзвнитедьяо со скорсстьп свата давлений отвояение т/е мало. Раскладывая тагда бином ( у- к )'а в ряд по стапзфям у /а и удервнввя в разложении только чданы до второго порядка вклвчительно, т.в. принимая ( 1- — ) ° — У-л и, , получваи классичесиое вмраканыз фувнции Лагранжа ддя иаолировзняой точим у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
