Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 7
Текст из файла (страница 7)
38 Глава Н 11Б1ИЕНИВ ГОЛОНОМНЫХ СНСХКМ Бщще было выяснено, что одновременное определение и двивевия несвободной механической системы и реакций связей приводит к весьма слокнсв математической задаче. Существуют, однако, методы, поэзоляюпще расчленить зту общую задачу на две бодее простые: задачу определении одного толька движения и задачу нахождения реакций эзязсй сс уке найденному движению. 3 настоящей главе будет изложена резлкзация этой идеи для простеавего класса несвободных систем — голономных скстем. Эдесь ае будут указаны различные формы уравнений движения и рассмотрены методы нх рещенин. ф О. Обобщенные координаты, скорости и ускорения Уравнения движения гол.номной систеюю, не содержащие раакцай связей, удается построить на основе введения обобщенных кпординат.
1, О б о б щ е н н ы е координаты и у р а в н е н и т д з ч э е н н я. Будем рассматривать движение голономяой системы Ю материальных точек относительно системы отсчета ХГ, Хй, УО при. наличии ~ ( ~ к ЮЛГ ) геометрических связей ~„(т,.х,',...,.ю )=от 1'.с=д..., у>. 19 д Функции~„р,.х1предполагаются достаточяо гладкимя и веэависиьааа, так что функциональная матрица О, составленная ив частник производных от этих функций по координатам, имеет ранг, равный у 99 ду' ду дхл дх, аУ, аУ, ду', дх,' дхл дх~ ° голу У-у. (8.2) д$~ ду( д~~ д х дхел дхз Щ дуу д~~ дх', дх', дх', ызлнчзя геометры В сазу чесннх связей коордкнаты точек снстемы связаны соотношениями (8.1), поэтому среди ннх будут незвввсвмнмн только л-у,с- у штук.
Это число независимых координат голонсмной сыстемы совпадает с числом ее степеней свободы. Уравнения связей в силу (8.2) позволяют выразить зазисныые коор дянаты через и независимых коордннат и время,так что незавыснмые координаты определяют псловение механической системы в каждый момент времени.
Очевидно, что подстановка атнх выракеннй в уравненгя связей обращает последние з тсндества по времени В по неезвясвмым гссрднзатзм. Одаако полояенве системы не обязательно определять незазвснмнмв декартовнмя коордвватамв. Зля этой цели мокно яспользозать ю другах незаввсзмых параметров ~„ , ц„ , в каялый момент связанных взанмно однозначно с незевиснмымн декартовымя координатзмя. Тогда функцнямн этих параметров и времени будут и зависимые декартовы коордннаты, т.е. все,5м координат Х =Х ('4,~„" ° ~ ) (Ы=О...М'бчбДЗ). (8.3) равенства (8.3) эквивалентны равенствам Хт Хт((Р,..., ~~„) ( У=О „., Л/) . (8.4) Скалярные функции (8.3), а, следовательно, н векторные функция (8.4) предполагаются достаточно гладквмн.
Итак, в наздый момент времени с независимых величин ст -. ° ~е определяют декартовы координаты всех точек и тем самым определяют полокеняе системы. Постону зтн величины называют обобшеннымн коордняатамн системы. Обобщенные коордняатн могут быть величинами различной природы: длинами, углшен, площадвмн н т.д. Выбирать этн коордвнаты мокно разлвчнымн способамн.
Ванно при етом выборе соблюдать основное требование: обобщенные координаты доланы находиться во взавмно одноЗначном соответствии с везависнмымн декартовыыя коордняатамн. Поскольку уравнения связей обращались в токдества по незавиаи- 40 мым декартовым коордаватам и времеви, а посяедиве связкам зваимыо-одыоэиачво с обобщеавмяэ коордзыатаа, те урвзиеиая связей будут такзе тсэдестзаыз по обобщаавым коордкавтам и зрэиеви. )(ругамв словака, яодставовка эвикций (8.3) в уравиеэзя (8.1) привокза к следующим тскдествам: К (4,~„-,ц.)-о (~=~,...,д,) ° Следствием втик токдеств будут завива двя дальвеввеге разеистза — -б (~-г,,у г г," ° я) .
(8.6) ~с~ дуа В частаом слу вэ скаеровомвой гелсвоывой системы време яе вводит явно з урэзкеиия связей (8.1). В етом случае мокко так ззеота обсбщеииые координаты, чтобы вк севки с иеэаввсиыаыз декартоивв кэордияатами такие ые содервали времеви. Но тогда время яе войдет явно ни в ээввскмостя (8.3), ыа в (8.4), т.е. посаедвве будут иметь вид х<г-хс ф,,"~ ~„), Ел=тт(ф~,...,$э)14 ° 4...,~;~4УЪ). (86) Более простые йормулы (8.6) поввсщщм з дкаьвейщем даа сиааерсзомэык систем сущеотвеияэ упростить ыазгве выравеава. При дэвкевва мекааачеекой систэым иамеияатса се зремэаем деэартэви коордиваты еэ точек' как веэазисвмые, так и эазисвве. В саду связи мекку аеэазвееами дэкартовымз в обобщэввыми коордвкатавв последаые такие будут ((увкцкяыа времеви ~ М Г -1,....,л). (8.7) Эти эависямости называют урввиенаями дввкеввя мекаэвческой системы в обсбщеняык коордиватад.
йувкцвв ч .и)считаем дзвиды вепреркзяе дэфрерээцируеыыкв. Это уоловие обеспечивается соогветствувщей гладкостьз йуквцвй, омамзэющих обобщенвые в декартовы кссрдаваты. Мекаквческий смысл требоваквя выяскится в дадькейэем. Рассютрзм пример. Пусть голояомиой системой явяяется одва ма.- териальная точка, обяэавкая двигаться по поверккости кеподввизой с$ерм радиуса Р . Помещая качало отсчета декартовой системы,г,„ц. х в цевтр сйеры, получим урэзиеаие связи в заде г» гг ~'кя + пэ-Я О. я я г е Точка, такам образом, ведается сэлероясывой системой с двуми оте- 41 пенями свободы.
Положение точки мокыо определять двумя независимыми декартовызе координатами, например Х, и хэ . Тогда третьях "зависимая" координата определится связью в виде х, = Й'-х,"--хз (для нижней полусферы перед корыем следует взять знак минус). Подстановка хэ по этой формуле в уравнении связи обращает его в .тожпество по м., и ХЛ: л л хс+.х э 0 -.хс - хе ",р = — О. Положение точки на сфере можно также опрелелить с помощью обобщенных координат. В качестве последних можно взять, например, ши« роту ~Л и долготу р'. Тогда легко видеть, что незавнсищке кобр)К наты, а вслед эа ними и зависимая координата выразятся через у и Ч по формулам хз = .рсоз ~Сезам~, лгл=йпсзч5аюр', кэ Работ' . Поскольку система склерономна, зтн формулы явно не содержат времени.
Внеся этн зависимости в уравнение сферы, приходим к токнес: ву относытельно широты и долготы л л л л л,л е л л .Р съз т"соз 9~ ел.'ссз Рбсю Ч'~Я аз ь" — Р мО. Лля рассматриваемой точки уравнения движения в обобщенных коорди. натах имеет вид ~'= ы'й) М= 9'й) . 2.Координатное пространство н.
из м е р е н и й. И з о б р а к а ю ш а я точка. Наряду с трех мерным фазическим пространством Г , в котором происходит двюкение системы материальных точек ще...,н„, будем рассматривать некоторое вспоысгательное щ -мерное "координатное" пространство , в котором положйние точки определяется обобщенннми коорди натами П„", 2„.
С помощью функций (8.3) устанавливается соответствие между Во~ мокнмэи положениями механической системы в физическом пространстэ ве и точками некоторой области и -мерного координатного простра ства. Каждому положению механической системы в момент е соответств ет точка Р(фс " 4) в пространстве Г„, изображающая это положен( системы и называемая изображающей точкой. Движение системы в обо шенных координатах (0.7) ьюкно рассматривать такке как уравнения 42 дзикенвя точки Р з простренстве Х~ . Тюси образом, двккенкэ мехвынчеокой систезщ с л степанюк свободы в трехмерысм Фаэвческом пространстве моано описывать двв кеннем ыэобрзкзвщей точке в е -мерыом коордннатксм пространстве.
З.Обобщенные скороств в ускоренна. Первые и вторые производные по времена от обобщенных координат, обозначаемые через с~ = — ~ ~ ф = — ~ — (б .У,....я) (8. 8) с(т ~'г Ие называются соответственно сообщенными скоростюа а обобщеыюаа уокорениюю. Требования гладкости, ыалскевные ранее на функцкн с~ Щ, обеспечивают, следовательно, суаествовавке н непрервваесть эта:х производных. пеклу обычными н обобаеюпаю оксроотянв а обычяыма а обебщекными ускорениями существущт определенные связы. )(ейстактельна, диФФеРезпиРУЯ по вРемеви ззвиснмоств з„х„(маг), полУчвм сааза мекку сксростюю ч„(т, ~,~>=", 8з" 8 ~ "( -,-.,)у).(8 8) а Следовательно, скорости являются лквейныык Фуыкцюив обобщенных скоростей.
Точно тзк ке лиФФеренцировавне по времена соотвюзеная (8.9) прнводкт к связи мевду ускоренаюю о (с о,о',ф)=Š— ~„'~~ — — уо' — — (т'"х- д')(8.10) ау„" м ау,. ~ Ъг, '7' ' с. дс,р- м „-М дно М дз т.е. ускорення точек такта являются лквейвюю Вчпсцнмзк обобщенных ускоревнй. Прн стационарных связях — "-О (У Д...,Х) ) зависимости (8.9) в (8.10) пра этом упрощэатся й прнкнмзвт внд Таким обрезом, в этом сзучае скорости суть линейные однородные Функции обобщенных скоростей, а ускоренна - линейные Фувкцав обобщенных ускорений в иведратнчююе Функции обобщенных скоростей. 4.Кннематкческве леммы.Эввисвмоствмеаду обычююн и обобщенвюю скоростями поэволяат установить ряд соотноненнй мекду нзин, которые называют ккнематнческнын леюзюю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
