Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Теорема доказана. 1о найденному двикению реакции связей определяются э кзяднй момент времеви по фо(аулам .К„=л„а„-У„(М=-б ",Л'! . 5.Особенности уравнений дзиксзия в декартовых координатах.уревненведвикеиык несвободной системы в декартовых координатах (5.4) состоят из ураввеввй Лагракэа первого рода и уравнений связи. Онн позволяют определять как двикение мехазвческой системы, тэи и реакции связей, т.е.
полностью решать основную задачу несвсбспнсй свстеыы. В зтаи качестве в состоит ценность зтих уравнений. Однако фактическое интегрирование втой системн обычно весьма затрудвево из-за большого числа уравнений. Количество лагранкевнк уравнений зависит от числа материазьных точек в механической системе и быстро возрастает с ростом этоге чксла. В силу всех этих причин уравнениа Лзграниа первого рода лрытвчески мале применяются. Ими обычно пользуются для нахокдения дэииеивя небольшого числа точек или дзя нахондения реакцяй связей пе изюествсщу двииеиию, а само двииение определяют из других более уднбвнх уравнений.
Такиыи уравнениями будут уравнения Лаграниа второго реда для голономкнх систем и уравнения Аппеля дкя свстем негт)лономннх. Все они будут устанонлены в дальнейшем. $ 5. Лвккение несвободной системы двух точек по горизонтальной плосхости В качестве примера, иллюстрирующего применение урзвненнд Лагранка первого рода, рассмотрим двкзение системы двух тачек по горизонтальной плоскости при наличии геометрических и кннематических связей. 25 1.Поотавовка эедачв з исходные ураза е з к я. Пуоть мехююческея саотемэ состоат кэ двух весомых матерзвюяюх точек М1 в М2 с одккековой массой ю;мл=бсоедвзезяых отерваем аевэмекыой длавы С с прекебрезкмо малой массой.
Система макет дыгаться тевько в гориэоатаэьией гладкой пэеохоота з тольао так, что аарооть середкам стерэвя вапревлеза вдодь стеркня. Требуется определить двзаевке точек и реюоюв связей. Вевьмэм гервэоательнуо плоскость дэзкеявя эа плоскость«,«„а есь «э аепуавзм веРтккэльао вэеРх. Обеэзачэа чеРеэ х~,« ~зф.~;„х', «э касрдвваты течез М в М2, мохам ПРедставать урвзыеызя Лагранаа первого реда к ураввеквя связей э ваде ю,«г ф», ~' +» с44 э»л32а ~иб Гт-Бй;дъдйл», э, с О ~э «~Л О ~э л ~+ (««о ) Е 1 О ~ (Б 1 ) . мгА"- Г«ю -ЮРе'«л» («я-«лЖ'«~~=О давкой скстмаэ трв геометраческвх ( о 3) к одпа кквематвчеозаа (К 1) стюпювэрюю оэяэа. Такюэ образом, ояа является кегелеаюмюй свлероыомвой окотююй о дэумк степенямв свободы (я-ь«-у-р-л). В подребаей валков урезвевка (6,1) вмсвт ввд л г я эл е лл е ~~*«э О,Я «э=О, У вЂ” (4«~-«~)~Яя-«л) С 1 О, (Б 2) .л л т 4~А'М'где« 'Яля«л=йс «М'4) («яЖФ' '«»=О (6.
3) э -т е э л Хэ АэГ4-«~)-~~С«л «л»» «л -»эГхе «а)+»~(й~-Ю» с",у+»~ ~ «с»лХ «2) Я(ле «яА.~ЯГ4 «э»~/Фс%) с""~>»э ° (6 4) Уревзеввя (6.2) - (Б.4) об)юэумт полвуз скотему урвэвезкй длк аэлвэдеявя дввкезвя точек к мвоавтелей связей. 2.Ураввевка двзкеязя в кх звтегрзр е в в а а е.
Уревыевкя двкэевкя следуют зэ системы (6.2)-(6.4) после вжэвчезвя зэ все мвозктелей свяээй. Дэя этого определвм этз мвозктелв с учета~ условвй (Б 2) как кэ уревнеккй (6.3), тэк в кэ ураввеэвй (Б.4). В результате будка иметь 26 (6. 6) Л =ее, Л =- — '1х,<х~~-~ю)+хе<хе-хл)1.Р ву!хс(хе хг) ~л<~с'~)1. Я о Я вЂ” ~хЯфф+хл<хл хлЛ,/~=~хН<хл хл) хл Г ч хг)3.
(6.6) Приравнен мекду собою соответствующке выракенвя для А к м в формулак (6.5) к (6.6),получаем не содерквщне мнокктелей уравнения совместности <х~-х,')<х~.х',) Гхе'-х,')(хлл х')=о, <хе хе)<хг хм)"<хс ху)(хл хл)=0 (6,7) моторна совместно с уравненными связей (6.2) ы сгулат дзя определения >ювкеввя. )(ля упрощенна последующих выкиадок введем сокращенные обозначения с е е г ° з г ° л ° е <<=юг кт ~ ~ хл хе* Р=Хс+хг, ~=хе'Хлу (6.8) тогда уравнения (6.2) и (6.7) мокно сгруппировать следующим об- разом: иетегггйико (6. 9) Первые нз ннй слукат для некокденнн и, ч , а вторые - для определенна р и с. . Легка ввдеть, что в (6.9) первому уравыенвю мокко удовлетворить, полонны х~ хг=т<=сглупа хее хУ У Ео<л(Р (6.11) где Ч есть некоторая функция времени.
Чтобы бико выполнено и второе уравнение (6.9), функция Ф долкна определяться нз уравыейвя с) о , т.е. быть линейной функцией времени (6.12) ч=ю г 'с 27 где Ст к Ся — произвольные постоянные. Обращаясь, далее, к уразнеякзм (6.10), вкдзи, что согдаско первому вз вых уместно поломать р=-~-п,с~=.~-у, где у есть некоторая йуакцкя времени. Из второго уразкевкя (6.10) тогда находим, что Я=о, т.е. зта (щппщюя долкка быть постояниой:5чйС5 Такам образом, ) к о. являются взвестяымк Фузкциеа (6.13) )з=йсзсозю р о.=хсзбглч' Иктегрвроваякее зазкскмостей (6.8) теперь находам Ят 'Ят ~1'5т =й1Роы ЯС 5'"'Я'ЛСЕ ° я С ,Ююя ~Х =Я~дф= — ЯЗО =-Д вЂ” С О ~УС,, (6.14) где Гр к С- прокззольвые постоязыые.
Из равенств (6.11) и (6.14) екокчатезьво получаем формулы, определяющее дзкзеаае системы в горазоытвльыой плоскости: х~ 5мГс, г ~ся)- усазЯ~ й ~сз) ~се,.ю - — ссз(п+~гз)- -5~лЯМ~Ся) ~С5 5 Сг (6.16) х 15м(с~4<ся)> Л сез(ос~ к~)~ее хг - сезГсаг~~а)~~5 нФее~пз) ~г5 . Прамем, что дввкение системы провсходвт из следующего начальноге-состояввя. Прк 4=о, Гм т т е х„ а хм='~~ 'юге е~ 'гзс=ю) е(ь М л я Х О~Идем, ~ АС5ипы,,е =О, Ю ао зо ,7~с=-гсезм~ У'5~я ~~ юге т5~ем я ~ ~Я' м М, — — — ~ е. Но .;.з . Ы ью хе -уСсза- — Я'м. гз=-У5юа~ — с ая, юзс-: л~ я ° -тс с а Легко вздеть (рвс.6), что ю и о Ркс. 6 представзяют собою коордзнаты первой тачка, С - угол, образуемый стервяем о первой осью, а У в иР- озересть середкам стерзяя в угловую скорость стеркзя в вачальяый мемевт времеви.
Нетрудюе проверить, что такам обравом задаывые вачельзые коордиватм к скороотв согяасуются о уравнениями связей (6.2), а тапке с 28 тены огрвнвченнямв> нотсрые снн накхеяныают ва сксростн Вычнслня по (6.16) скоростн двввенвя ~> гбзз~г>т>гз)+ ~~Ддо>Ф>т>фз)>.юям сз5е>®г>4)-я Й~>з(с>4> з) ~Ф >>с> (6. 17) фсьСоз(йт>пх)--у5хл(Ы+Са)„па-Сз5>иИС>пв)> ~'йвЩФ>сх) ы подотавлян в (6.16) н (6.17) начальные усдоввя (6.16), получим свстему уревыеннй двя определенна постоянных внтегрнроеавыя с — уо>пх - -г>зяе >ее о — — Гохсе- — 5о>с'а >пх с> с, г с> я с> я > Сз с, ае У0>з > с 5с>Сз> я й>сх>п» 6>15о>м -Г> 0>зсх >-У-5>»гз с>х> - т сохм > -з- 5о>м сь озс>з > у 5>лбе > - '>5о>ас- =>ьи- 4 5 ь4 — гз>ге.
тГз>а-ф 5>> > п>со>сз х' 5>>се> чвы > з й> > с>>5>>>фз > з 5>>С> Зычвта>в~ем первого в третьего, а таяне второго в четвертого уравнений получаем завнсвз>осты, определязвие Сх: = гс, и, г5х «-г5*вс„; ех-~.
(6.19) Умвоввв, далее, пятое уравнение на 5 »,с, шестов уравнение — яа аз,с в начатая результаты, находам б,: ~~5м~с>й»~г)= — '(5>лТ»Созе)) б>,,-о>. (6.20) Аналогнчно, умвовенне пятого уравяення наОз.с, а шестого уравнеяня - на 5>' мы словеные результатов позволяет определить сз . -(>(д з~ 5о>".>) б' (С Л 5вхм); С~=-Г. (.6.21) Наконец, первые два уразнеыня дают выреяения для си н С~ в виде г о> 5>з»я йети> Ь=~- — Озз.~~- 5>л,с .
( Таким образом, дзнаенне системы двух точек в горизонтальной плосностн происходят согласно уравнениям Х вЂ” — 5>выЫ»м)- у-и»'»>е> с)+ — 5'ы я 6з >.»(, > ч т г х = — Йз(им >м)- я 5>»(ыт>м)- с0>зм т -й-5(» с > 6, ч '>' > 4 — 5с>Г е>м)+-се>(о>е>м)+ — 5>лм>усжс а У Г ч С> х С» Я' > (6.23) ч > я оз ю --Сз>вше -й> — 5сч(о»ы)- — ссз~.~ — 5*'»м>6 .
Я о> я 29 3.Определение реакцый свнзей.Поизвестному двнаеввю (6.23) Формулы (6Л) и (6.6) определяют мноантелы связей в виде л =4 ° Ля=у, М»- — ~ Р= и Озз (6.24) Е Таким образом, в рассматриваемом двикенни мнозители связей оказываются постоянными величинзмн.
Компоненты сзмих реакций А», и 2л, кзк зто следует из уравнений движения (Б.З) и (6.4), определяются выражениями )2,=-Лз(л -.'ю )-/Фхл - гл), (»4=-.44(хл-хл)тари»-.т»), 2з=Л», (6.25) я » » л г з я » г, » ,), =,(,(л, -х,)-,и(4- х, ), )),=Л,(*, †. ) ~) (л, †.Х,), Я, = Лл и в дивном случае имеют значения с~м „р = — Сс»(езе ~м)»»»вЯет(а»(» с), (з = — 5етйй» ~,с)- уи»Гю»(итм),Рд~~, е -гол е (ее (6.26) Ю А= у ~~(о~("~)~»м~5»(й~(;и), 2л= — — 5г»(тю(~ф)-уо»(»з(у~1»л)„2 =~.
4. И с с л е д о в а н и е д в и к е н и я. Установим вид траекторий точех.. С этой целью исключим время из уравнений движения (6.15). Разрешив вначзле эти урзвнения относительно тригонометрических функций угла о=с»<(»с~, получаем соотношения 16.27) ~») г (хл с») ( л/(сзт г (х г») х (сл гл) ( «)5»» Ч (6.28) л (х»») й (хя-су) (» + м)~5т с (х»-с»)1 л й с») (»» з))и»(» Возводя затем почленно в квадрат кэждое нз равенств (6.27) и складывая результаты и производя аналогичные операции с равенствами (6.28), нзходим уравнения траекторий точек в виде (ю» С»)»(лл-и») = — е —, (ю -с»»)»(гт-и»)=- + р (6.29) лР кк л л л » ~~е» г» =» ул где с» и а»определяются формулзми (6.22).
Таким образом, обе точки дввкутся по одной и той ке окружности Г„~ радиуса(~г; Х,)лс центром в точке РЯ»,бл)(рвс.7). Располокейие й размеры этой окружности эввисят кзк от величины расстояния мекду точкзми, твк и от парзметров, определяхаих их 30 начальное состояние. М« Рис.7 х, о Р с.8 заметим, что середина С стержня движется согласно уравнениям С« с «и «Сз .с =-(х «х )= — 5«««К«С Х -[х «Х )=- — Сок«Р-б«ю . «х ««с ««л д 3 л Исключив отсюда параметр «г, устанаилнваем, что траекторией точки С будет окружать «.с : (х,~-б ) «(~~-с )и=— концентрическая окружность Ьм и ймещщзя радиус ч/ш. уголч«-«в( ес, как это следует из (6.11), является углом, образуемым стержнем с осью абсцисс; он совпадает танке с углом между ращ«усом Рс н осью ординат (рис.?).
Движение системы происходнт слелупщвм образом; радиус рс разномерно врмзается вокруг центра Р, при этом точки М1 к М2 равномерно двизутся по окружности/.и так, что стерзень М1М2 касается своей серединой окрукяости 1,„. В этом дввкенни расстоянве между точками сохраняется неизменныы, а скорость точки с всякий раз на.- правлена вдоль стержня М1М2 (рзс.7). Рассмотрим реакции.
Обращаясь к формулам (6.25) и (6.26), видам, что реакции, обусловленные плосностьщ движения, вертикальны и с«впадают с весом точек. Что насается реакций стервня и кннематической связи, то оси лежат з плоскости движения, првчем реакции стервня равны по взяичинебш~/й в направлены по стервям, а реакции кинематической связи, равные по мснулв ыЮ, ортогонэльны стервям (рнс.8). Отмеченные особенности реакций удобнее усмотреть из их выражений в сопутствующвх осях. Действительно, введем подвнкную систему коордкнатС4, Р йз , оск 4 эякотоРой лежат в плоскости Двмзениа и идут одна вдоль стернин, а вторая перпендвкулнрно к нему, а третья ось 4 параллельна третьей веподвиввой оси (рис.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
