Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 9
Текст из файла (страница 9)
для сил, создзюпщх гироскопическая момент, мощность Х равна нулю. Отсюда н нсе снлм, обладаюзще свойством Х» О, иыеяуютсн гироскопическими. дзя скзерономной системы гироскопическвми силами будут ие)щелвсовы силн инерции. Действительна,кс)ислвссва сала инерции, прилокенная к ч-й точке, рзвнаР„=-Эункч„, где ну„, тт- соответственно масса и скорость точки, а гх - угловая скорость переносного вращения. По тогда ЛГ' 2~Рч У -ЯЛЮ (Ы.Г„),тт О.
т Ч'" ч покажем еще, что гироскопическими будут обобщенные силы, являющиеся линейными бнккцилыи обобщенных скоростей Я, Е~-.фе если матрица козййяцнентов знтясвьззетрнчна)' -г .. Де))ствктаньно, в этом случае выполняется условие гироскопичйости сил Ю г Д' БГ 7 Ь=ЕЯй 1 Ь'~~ И )-УД()' 'А )~ ~-О. с) Дрссипгтнвщ~е ~уйь Обобщенные силы называются диссвпатвввыми, если нх мощность равна нулю или отрицательна Х"-~а ~ ао.
[9. 19) В качестве примера рассмотрим прнлоиенные к точкам скзеронсмиой системы силы сопроткнленвя, пропорцноназьные первым степеням скоростей точек 7„--,вр„(У-'1„,У), Тогда л~'-Е Г„м„--,й~,у„~о. Таким образом, мощность сйл бопротйвления неполсмвтельна. Прв наличны снл сопротивления происхсдат рассеивание (двссипацвя) знергни, понтону силы, обладающие свойством 4~'мб, называют Диссипативными. Лиссипативнмзв будут танке обобщенныа силы, явлнкщвеся линейными фУнкцинми обобщенми скоРостей6 -ЕФ вм,если матРицв козфйа- 49 цнентоз свиетрвчвай„=й„к, кроме того, полонительна квадратичная формаИ,Д,во.йействктельно, в этом случае ~(2я$ Я4гг ~а~~, а() Памятям, что в давнем случае квелРатачная формаЫ=И4ф~),ыазывается двсскпаткзвей функцией Релея.
Легко видеть, что рассматрнв екн обобщенные оклн зарекаются через днсскпатявную функцию Релея по формулам (2 -- —. ('б = Д ..., и ) 2,9 39е (9.19) 4.Структура уравяенвй Лагранаа.Уста назым звд лаграваевнх уравненнй отыосвтельяо искомых фунщжй. Лля удобства дальыейивх преобраеованкй введем дпя левых частей уравкеявй Легравва (9.7) следующие обозначения: Жщ(Т)= — —. — — =Ос (со=У,..., П). (9.20) ат ЭТ б4 д~~ дом Поскольку нкнетнческую енергяю мозно вправить в анде сумин трех ввергяй Т-Тх Т, Тс, уравнения (9.20) предстэвнмы такке в ви- де Х (Тл) =-Х. ГТ)-Х (Т ) (2, (оо Д, и) .
(9.21) Лгда аа„. Эа г, чсег ( ~ ) (~ос,т Д«'о)~(9 22) а'(и ау, 0 „) б0 Эяергкя Тл явдяется квапратичной формой обобщеяннх скоростей ЛТл Еще ф ог, причем коаффипиенты этой формы являются фупкцнямк крещены в координат н обладают свойством симметрии а Гщо)=щ й, Проквзодвме ет Тл по переменным у н у,„кмеют значения поэтому Повн крякать зо знвманяе очевидное соотнощенке и ввеетк в рассмотрейке так называемые снмволы Кристоффеля первого рода которые являются сльееетричнныв по ккдексамщ 6 велвчвваищ, та лет ко видеть, чтоХ (Тл) мокно представить в более коапактвей Ферме Произведем аналогичные вычисления лля екергккТ,~Ее:,~ где с Й 5) .
яВЛЮВШЕйоя ЛИНЕЙНОЙ Фсрысй СКОрОСтЕй. ИМЕЕМ аТ =а~, а ' ~~~ ащеа д 1е следовательно -Х (т)=4 — — — )~ — —. ~да, аа, ь ° ~а '" т (а)„ а~,,)~ ае В полученном выракеннк коефрп(кенты суаа являются аеемевтамк антнсвыметркчной матрвпы. Вводя для етых коаЩю(кентов обееввчеввя Эй да„, 1à — Х р ай ая будем иметь окончательно (9 24) дйю Х~Т)й~~лс (9.25) Наконец, для энергнвТ а ((с)устанавливаем, чте -~ (т)= дан . (9.26) со о Результаты (9.23), (9.25) к (9.26) позвоашт представавть уравнения (9.21) следующим образом: Еа„,У, .)" о У,.-А й~ 4..., Я), (9.27) где полокено а Вот')т л-' ат ут д( ' (9 26) Эа, аа„,. аа 51 Величины 5,е мокно рассматрнвать в качестве новых обобщенных свл. Онн представляют собою старые обобщеыные силы (Э~, в которым добавлены потенциальные ю', гироскопические ЯТ ~~, днссвпатквнве -Я вЂ” "5 силы и склы- ес, заввсащке от е к~), ьа„г т '"тт еь тт Таким образом, уравнения Лягравка второго рода обравуют скстец~ и обыкновенных днфферевцввльных урввваянй второго порядка с я нензвествнык функцелмн~г,.„~лот нееевкснмого переменного Е; по- редок этой свстемв,очеввдяо, ревев йл,.
ураввеява (9.27) мокко реермивть отяосзтельвс,обобщевыых ускс розай. Имеет место еле)ующая ЛЖИ(е Я. Форма Ч~ ккветвческсй еяергвв невыровдекв, т.е. опредвазтель, составлеявый зз ее коефйп(веытов, отлычея от нуля: с~е6 ('а г) ео. (9.29) ЮКА3еТЕЙЬСТЮ. Пусть пег(е ) о.Тогда одвородявя система уревявввй ЕЮ,Д,= о будет юють ыевулезое реаевве Ф,,..., 4„. Умзозвв зещзее зв ураваеавй почавкав ва $ к просуююровав результаты,получая рааевство Х ыык равекств еквкввкевтзы следуьюем Пд( скелярю)м ревеястввм: у У М' ве, Эм е ела à — (-4 -о, Е-"д-~е-о, ~' -~~-$ о ~я щ....л~), Получеывые условвв показывают, что в Фуиициоыельыой матраце Ьх ей, ' ' ар, ече 1= аК ь,к! в9, ' ' ' эа„ столбцы лвыейво еевксюв.
Зто оввачает, что ракг р этой матрицы мевьае и . По тогда среди ЗЛ~ ~урющйз" (т б..,И;лщст и аргумевтов ( т сватается параметром) ююется только р независимых. Получеяо противоречие: мзмеюльвое чвсло кевввксемык координат сис- темМ Равно чысвУ степеней Свободы Я, в р л и . Лювю доказана. Нв осаоваазы уозсмзя (9 29) квв)цютывя матрвцвйа Пвмеет обратвью. Обовяачая ету сбратяуы матрацу черве))а )), будем иметь ~цмсецсат С(мт (хЛ У "~ ю). (9.30) умзоазм теперь почдеыяо рввеыстзо (9.27) каа, а просуьюкрувм по ывдексу си от 1 до и, тогда с учетом свойства (9.30) получим соотящвекые Еддтфт'Д аефо(„т~ффт-~щ~5~> .
(9.31) ВевдЕМ СЮЮОЛЫ Прзотсййаея ВТОРОМ РОЛЛГа ася ~щуГЫЕ ОбабщЕН- вые силы,й посредством соотношений =Ба Г, т,й =х.;ц 5 с2 СО (9.32) и учтем, что индекс а мокет принщзать любые значения от 1 до ю тогда уревяение (9.31) мояно представить в следумпем окончатель- ном виде: ~м ~Е Гл а.г ~с~- йм (~ К,л) . (9.33) Этв равенства и представляют собою лагрениевые уравнения второго рода, разрешенные относительно обобщенных ускорений.
5.Условия существования н единст~ в е н н о с т и р е ш е н и я. Лаграниевы уравнения (9.33) представкам в виде следующей нормальной системы уравнений: с( ,м =Та ~ ~ = 9е ~ Й.аг~)а<~ ~и=к "° л) ° (9.34) Прясоединзи к ним начальные условия, определяюпше состояние механической системы з начальный момент е'О' 4~а (О) ~л, ~» (О)~~м (4Н К „., и) .
(9.35) Справедлива следующая ТИСРНФА 48. Если активные силы имеют непрерывные производные первого поразив, а зависимости меиду декартовыми и сбобщенныыи координатами — непрерывные производные вплоть до третьего порядка, то задача Коши (9.34), (9.35) имеет единственное решение. КСКа34ТИКЪСТКО. В системе (9.34) правые части первой группы уразяенийа суть аналитические Функции; что касается правых частей втсройгруппы этих уравнений5;х(,,ф~,,тс нз выракений (9.32), (9.28) к (9.22) нетрудыо установить, что в силу условвй теоремы ови будут непрерывно диф(юревцируезвми функциями пот,е. и ф . Но тогда в силу теорие 4 первой часта курса задачи Кошк (9.34), (9.35) вмеет единственное реаевке; теорема доказана. Итек, ссгласяо теореме, естественные требованвя гладкоств активных сил и декартовых координат обеспечивают существованве единственного двивевия механической систее из заданного начального состояния. 6.Случай скдеровомвой скстемм.Связь С Г-ЕОДЕЭВЧЕОВКМВ.Особевяскэвщвуюйормулагреыкевы уравкеаяя второго рода првввввээ дпв аьтероваамх систем.
В етом сдучве юаетическав эвергия яввяется квапратичвой йормой скоростей йу~ д Ор~~~ф ввергая ке 7ф и Тэ обревеютсв к ИУль Вы)мкеиив дэв оав в урвваеыквк двввеввя прк этом суаествевво упраиюив. Пействитаэьие, усаоввя с,ре, с, а,ра„(9) (а, .1..., )вцэкут эа собою выпоцвеииэ усвсвий За „зп,э аа аа аа Эу,е ' маг лет В~ ' вэ вэ о т ~ - о — *о — 0 6а, у" л> Р 1 т 7 иссдедяве кэ з соответстввв с фтрмудемв (9.28) в (9.32) дают для Овв Олавукэие простые варваеввя: За> "(У,э, Зм Е',а (й,э й ~ СМ~к А„.., л) . (9,38) Такам образом, двя скцеровсмиях свстем лвгравкеэы урэвпеывя, езмеааквме отвес»тельво ускорений (9.33), васют простой вкд ум м этуэуэ ~ ( " ' ") (9 37) раоавтрвм частвый случай тэк ваввввэмсго "вверцковного" дэике~ав рассмвтривемэой скиеровсмвсй евсеевы - двмьевия скстемы прк отсутотквв вктиивых овл.
Тогда, очэвидво, й, -с (к 4...,л;ь я урывке~ив (9.37) првквмвит од р двый вд ° уцк О»э е Ог иа ае О (» б Л) (9 38) ЗОВИ ПРВПКСатЬ кеобрааааей точке Р единвчыую мессу, то ее киветичееяув ввергаю а~во прецствэвть в слэдуюакх йорках: Т' удаи,у»м -'(-) гдв 4о' ваэвется элемеатом дуга треевторэк точка () . Отсюда ясно, что ищэвэвиэ ~ эт"Р»"Рт (9.39) врв)втавдвэт собою ~идвеевтэльиую метрвчесвую йормУ, определаээую ветряку кеердвивтвего пространства д'„. посколы~ прв этом а и ет тэ (и;»в4.,Ф), то Рассматриваемое коордвватвое прсстрапство будет римавпивэ простревстъом.
уревяеввя (9.38), кек кэээстыо вэ геометрю~, сцредедввт геодеэичесзке лавка в рмээвовом пространстве. Т)злим образом, "инерционное" движение склеронсмной голономной системы описывается движением изображающей точки вдоль геодезкческой линии нссрдкнатнсга прострааства. 7.Особенности лагранжевых уравнений второг-о рода.УравненияЛаграниавобобщенных коордкнатах для голонсмных систем замечательны тем, что:.
онн не соде)мат реакций связей. При естественных предположениях относительно активных сил и связей онк определяют дзикение системы. Число этих уравнений совпадает с числсы степеней снободы механической системы н, следовательно, система лагранкевых уравнений имеет наименьший возможный порядок. действительно, в силу произвольности начальных значений величин Т,~ ~ -~, .л)решение системы уравнений долано содержать, по крайней мере, Лл произвольных постоянных, т.е. сама система должна быть порядка не меньшего, чем 2в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
