Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 13
Текст из файла (страница 13)
- ~юкАгслгЕ, л 2.Степеаь опрэдевеввости йуаки в н д э г р э н а э . уравнения дэгрэвае ветуреаьной оастеим ~. Й.)- — —. О (с'=б..., с) Э~ д~. м пс ау (14 10) лопиостьм определямгоя йуккцне» Лэгреамв. Однено одна а те ае урэвнення могут соответствовать ревзвчвнм аэгреваевнм Щункцвим. действительно, пусть две Функция д, и )- отпвчевтся друг от друге постоянннм нвовктезем с: Ь,а сб . Тогда п саву одксродности лэгрэнкеннх уравнений Х Ы,) бХеИМнд.ю)в уравнение лая неадой ив ннх одна и те ле.
Пусть теперь дне йуынции ) г н Ь отзичевтся не проиэвозьвум Функции нременн~яИ: ).,=). ~Ю . Тогда поскоаьзу ХЦ)-— б ае бн асн — о ~ 10 )=~~ й.)+~ ®,Т Сц т.е. уревневик дзя ) а ) будут сонпедэть. Более обцнм будет свучей, когда две функции дэгревзв отаичввтся нэ полную проиэводнув по времеви от некоторой Функции времеви к координэт; Б д + †)'~6,с) . Тогда, позэген Ф вЂ” — +й — фк Ю дУ дХ. бс 9 сн се е дчт будем иметь аФ аУ б дФ б9 в9 БФ б'У а'У а~ эс и уч, вч в~г~~т пс,ат' ас,„ма~ т эу,~~;кт спедоветезьно, д (сф)- — — — с . Тенин обрееом„Тс Гь„) ы з пчь бн д~)~ дую. =Х„~).)+~~Ф) =Х~ Я) а звгрэикенн уревненкя дзя ). и Ь совпвдепт к н этом свучее. Отмеченные особенности кинетического потевциэзе могут бить вспсзьэовенн двя упроцения составления вегревзевнх урэвненнй.
Именно, постоянннй ипонктевь изв еддатнвнмй чзеи, явдявцвйся попкой промоиной проиэводной от фрикции времена и координат, в нирванами потенциэзе могут отбресмнетьоя бее уцербв дпя ниде урэввеаий двграяае. 3. И н и э р и е н т в о с т ь у р э в н е в и й Л е го е н а е о т н о с и т е л ь в о т о ч е ч в ы х п р е о бр э э о в е н а й . Прм внеденаи обобценнмк коордииет для опре- веления поаоаевия гоповомвой оастемн отмечэзось, что эта координаты могут вводиться реваичвнмв способами.
Сзедует поэтому оаядвть, что пегрэнзевм уревневая 2-го роде будут вввераевткм отвоситевьио амбара обобщенных координат. Этз нввзриевтность действи:ельно ымеет место. Установим этот еенный факт аналитическим путем. Рессмотрны преобрззоьвняе обобщенных нсординзт, солеркзщее в общем случае время О = Вч (С, )~„, 4ч . С --С,..., и). (14.11) Отясовтсаъяс ЩУННЦИВ Вт ( !, ф ) ПРЕДПОЛаГЗЕМ, Чтс ОНИ ОбпаДЕЮт вторыми непрерывными пронвводнымм и удовлетворяют условию до в,..., в„) (14.12) ссф~ . '~а ) Дийференцировзняем по времени сооткоаений (14.11) устанввливз- еы, что новые обобщенные скорости вырзлзются через старые обобщен- ные скорости и координаты по фсрмулвы В,=~ — 'с ч — ' Сг=с,...,с) дВ, .
дВ., (14. 15) о а$а ск ас эгко видеть, что в соотношениях (14.11) и (14.15) переменные в с конно ыенять ролямн. Подобно леммам 3 и 4 Имеют место ускакав свчзеынс онзлогачным образом кинемзтические соотношении двйг дВ, д дВ» дВч ч ч Сб'к=У,..., д) . (14 14) д;,, дс) - «Й дчс дусСчитая тепеоь кинетический потенциал функцией новых переменных н учитывая свойства (14.14), найдем дв дь аВ, дь дв , дь дь ддс дь аВ, Зус ~ дБ ду, двт д) . / д~ С дв~ дус с аВт д~~- дС / Ы дС, двт дБ СС дВч ) СВ дб двч дь даю 1 дс дс» с (дт дв, до~ св,дт дч, с Се до, с$г дпс дсфг Теперь легко видеть, что лзгрениевы уравнения - старых перемен- ных сС дс дЬ вЂ” — — — =0 (с щ.,., сс) де ау а~ будут зквивевевтвы соотвоиеввям гд дс дс 1 две '~( — — — ) — 0 Сс у,...,в).
, (де аа, аа,) ас Эта равенства мокко расоматриввть квк вдгебрввчеокую састеиу вяией- НЫХ ОДВСРОДИНХ УРаВНЗВай Отясситаввяс ВЕЛВЧВВ аанвюЧЕВВЫХ В скобки поскольку определитель втой система в свау (14.12) отаачеа От нуля, системе будет иметь только вуаввов реаеиае — — О Гх г.,", п), б аь а~ д6~ которое и предстзваяет собою аагрвваевя уравнения в вовик паременных. Утверкдевке, текин обрввом, докаввво.
5 15,Преобрззоазияв Леаеидре Многие методы исследовзвин уревнеынй разлиты применительно к системам уравнений первого порядке. Легранаевм уравнении 2-го ропе дяя нвтурзльных систем являются уравнениями второго порядке. Привести кх к системе уравнений Первого порядка монне изогнав опособзми. Наиболее удобный нв иих связан о примененная иреобрвэоиадрз. 1. П р е о б р з з о в в н и е Л е а в и д р е . Пусть наестся некоторэя функция Х , эевиоящзя от аевввиовикк переиеивнх х , .-, х„ и пврзиетров ~,...,ы, . Вудем считать, что оиа облздзет непрерывными производными по пзреиетрза н вторыма аепрернвзыыи производными по неззниснмым переменным.
Тогда монне рвосмвтра зть преобрззсвзние к другим переменным у„ ...,у„ , даваемое фор.улзмя дХ Гс'=4, ~ и) Зто преобразование нззывзют преобразованием Леаввдрв, е фмгурируспуп в нем функции К - пороадвпяей функцией преобрввоаеаая. Одно кз свойств преобразования Леивядрв вырвквется следувцей теоремой. 2.
Т е с р е и а П о н к а н а. ТПОРЕМА 51, Пусть дева некоторая фбнкция Х 1х, с), гессивв которой по переменным х ,..., х„ отличен от нуля и пуз~э имеется преобрввовение Леавндрв, пороадвемое атой функцией 75 тогда оущестзует обратное по отиоиевив к (15.2) преобрвзо° ие, которое такие пороидеется векоторой функцией Э(~. ~)Г (Т=1, „,, и), (15.5) дУ с =йсч причем функция ,У овяэаве с функцией Х формулой (15.е) у=),";„~,-х, и производные от этих функций по ызкому-лкбо пэрэметру отлячэвтся друг от другв ~олько авеном — — (с - 6 „,,л~), (15.5) 25 аХ а.с ам. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Легко видеть, что гессиоя функции Х совве- дэет с якобвэном прелых честей урэзнекый (15.2). Поэтому ва сс- воввнии (15.1) уравнения (15.2) ноино рааревнть относительно пе- ременных х„..., х„, вырезав их з ввде х = х (у,.с) Л -г,.„,л) Возьмем теперь функцию У , определенную ревенотзом (15.а), и кодствэвм з иее знечения хт „ ., х по полученным змие форму лзм. Тогда будем иметь У~'у, ~) )' куб~,ас)~ф,.-Х~~~~, Яо~7. (15.6) Продифферезцировэв это зырэвевие по ук , будок иметь Но соглвсво рэвеыстзэы (15.2) две суммы, стоящие в правой честв равенстве, ваэвмно увичтоиэытсн и, слэдоветсльно, имеют, место формулы (15.3). Если теперь продиффереицкроввть (15.6) по псрэметру з. ~ , то учетом формул (15.2) получим (15.5); действительно дУ д.т~ „ОХ Э.то.
ЗХ дХ вЂ” =Š— ° -Г. — — — — =- — ° й,с-а,,,г ка а О. Зс, Последыяе рэвезотвв зевэризэт донээвтсльство теоремы. ?6 5 16. Еевовическве урввневия Гамильтоне Приведем легреяаевы уравнения 2-го роде к сяотаме урвзвевий первого порядка, имеющих удобный вид. 1. П е р е м е ы в м е Л в г р в в а в и Г е м и л ьт о в в . Согвесно методу Лвгрввав уравнения двииения ввтуревьвой снстеыы вполне определяются ведением киыетического потенциала ь А( й, у, ф).
совокупность перемекиых г,уе, ус, фигура руюаих в вырекению Ь , извивается переменными Лвгревав. Зги переменные определяют ыомевт зреыени и состояние системы з этот момант, т.е. полоиение системы в скорооти ее точек. Легренаевм уревневия определяют з зависимости от зремввк координаты и ( с ), скорости ае неходяяся путем дифференцирования по времеви коордянвт. Гамильтон средловиз оостояние системы характеризовать другпи величинами, введя вместо обобщенных скоростей тзк иевмввеинв обобщенные импульсы согласно Формулам Р = ~~' (с.=у...., л), (16,1) ы бф Совокупность переменных 6 , ~ , р,„ аевызветоя перемвнааа Гемильтонв. Поскольку якобивп правых частей (16.1) по переменным совпедвет.
с отличным от нуля гессивном функции Ь , то уравнения (16.1) могут быть ревреаевы относительно скоробтей: ~у в ~ Ф ( с, ~), р ). Тем самым переменные Легрввае и Гамильтона йыреавются друг через друга. Метод Гамильтона описания двивекия нетурелънсй системы оостоат в получении уравнений для коордиает у и импульсов р , рассматриваемых кек фуыкпии времени.
2. Ы ы в о д у р о в и е и и й Г е м и п ъ т о ~ в . Лдя получения уреввеный Гамильтоне будем исходить ив легрвваезых уравнений второго рода ~~ ~~ л1 .р(к.~„,г). В переменных Гамааьбч Ц, О)г тоне зги уравнения записываются в виде дЬ (16.2) б'уб Не формулы (16. 1), определяющие обобщенные июпульсы, юоаыо смотреть квк ие преобразование Леиввдрв лвгреваевых переменных е, с , ),, пороадеемое фуыкцвей Лвгрвиав А , прв йотороы переменные 6 и у играют роль параметров. 77 Поскольку гассиев функции Нагревав по обобаенныы скоростны отличен от пуля согнесно усаовив (1$.6) дая ыатурвльных систем нки условию (1$.9) дхн систем общего типе (16. 3) то дая преобрвзозения (1~.1) будет спреведааве теореыв Новинке.
Н соответствии с етой теоремой обратное по отноиевив к (16.1) преобрееовенве имеет вил а - — (с-д...,п); врс ово яороадеется функцней н(т,~,р)=ар д щ.Р)-ьГку.с~( р р)1 ° (16 9) называемой функцией Геианьтоне. При атом проиеводные по переыетреи г и ц от функциЯ 6 и Н свяевны вввисикостяии — — Го-=д...,с.), — = —— ЭЬ дИ дЬ НН (16.6) дсе дус " ' ' дт дт Воеврецчясь к урввненняы Лвгрввае 2-го рода в форма (16.2), видны, что с поыоаьп первой группы соотноаевий (16.6) ых конно представить в виде Р =- — (с-=6 „,с), Полученные уравнения совыестыо я дуе с урвннениныи (16.Е) образуют веыкнутув систему 2я урввнений первого порядке ~~г ЗН ФРс дН вЂ” — (т,, и,', (16.9) бе бр ст уф~ вееывееыых каноническими уревненияын Гвыиаьтонв.
Оии сауиет дая вехокдения вввысиыостейс ~ (ч), рс=р р)ге-я...,п), опредеаяняих двиаевяе свстеиы. Уравнения Геыааьтоне иыеит сиыыетркчный вид; правые честн уреввеввй явняитоя производвыив по исковым величинви от одной и той ае функции. Зтя особенности структуры уревневий поввоаявт развать ддя ккх эффективные методы квтегрировввяя.
Неряху с геывньтононыыи уревневивыи поаучево текае тоадество (., в-Н, + , которое будет иопоаьвовево в девьнейаеи. 3. М е х е н и ч е с к а й с ы ы с а функции Г вы в и ь т о в в . Лая выясвевня ыехенического сыыоле функции Гвиааьтове будем рвооиетрвветь ветурваьнуа систему. Тогда 1, является кведретичыой функцией окоростей Ь Ьа +Ьг ~Ь с , и со- гласно определении (16.5) функция Н будет резке и-й —.ф -ь-Е 61 ~Š— 9н-й ~2,тес). 86 дх „ Все е а~ и е П~ Я По теореме Назере об одяородкнх фувициях г". - й с Муз,Д -ФуЧ< Тю з р~~ <' Поеному окончетезько дая ввтурваьной системы будем иметь зт е Аз - Ас .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
