Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Но тогда ие уразнений ) . дН~фй( с » 1,...,п ) следует поотояыотзо цивни- чвсных скоростей а значит сены циннычасиие коордпветм будут нв- нейнмнн Щуынцняны зрамеви — е (' (б' ~„,л), ан ' дС, (18 6) Таким обрееса, з атом онучва урвзиеивя димиными пятно интегри- руются. В еаылвченме авистам, что ввиду обоаиеыио ыовоерзатызыой ово- темой и смстамой с цвнлзчесиой координатой вмеетоя сходотзо, ое- стсяыее з том, что з Сосни сиучвпх порядом системы урвзиезпй удается понненть ые дзе единицы. Отсвдв воино выключить, что ьреня обладает сзспстзом, енаногвчпмм сзойотзу яоордвыат. йту анвзогзв метду зремеыам к коордвиетвив мозно прооиедвть ы двине, ее порыв будут устенознеым при рассмотрении взтегрвиьпого впза- риаытя.

$ 19. метод Пуассона меиаденпя зытегрвлоя урезанный Пуыосон уыееаи способ опреденеиия иитегреиоз пвыоввчасивх уевз ненни, оснозенынй не вопоньеозвыыв ы»которой онотемм иеух п авиве веьестнмх вптеграноз втпн уравнений. 1. й и т е г р е и в у р е з и е н ы й д з з и ° в в я . пункции ) ( г, с , р ) аеензеыт интегралом яеиоинчеоявн урезанный дН т)рг дН М арь- ' мч пцк есин оив сохраняет постоянное еывчевие ыв выбев ревепви зтзи урезпеивйе 91 .) (т, шр р) =сееэт. (19.2) Нередко интегралом наэыэашт само соотношение (19.2) . Примерами иытегралов могут слукины функция Гамильтона Н(у,р) для обобаенно-яонсервативвов смстемы и циклическни импульс Р для системы с цикл ческой коордиватов ) Легко видеть, что для всякой совонупности интегралов ~,,..., )' интагралоы будет танке некоторая функция втих величин; Поэтому представляют интерес только неэависнмме интегралы.

систему интегралов у <т, с, р)-с~ (и г, , ~яйЛю) (19.3) невывашт неаавискмой, если прямоуголькея функциональная матрица а)' ау а), ' ар„ ау а~' а~, ар. имеат ранг, равкый ~л.. В этом случае иэ системы интегралов (19.2) мошно выравить л штук величин ц, ..., у„, р,,..., рь черен остальыые координаты, импульсы и время. Систему меэависимых интегрелон (19.2) неэывашт полноц, осли число интегралов совпадает с числом координат и импульсов, т.е. если л Ле .

Услоэия полноты системы интегралов 1 ,..., очевидно, мокно представить в форме неравенства а 0„...,.рл„) а(), - р,) (19.4) Для полной системы интегралов мокко вырааить все координаты и все импульсы чарва время и постоннные Ц,„ Г) (т,б„с..., Е ), Р = Р„,(С,Е„ ..., еле) ~ (19 9) т.е. получить обнес реванше уравнений двинения. Таким обравои, по иэнестнон системе лп независимых интегралов определяются все двикения системы. ьслн нанесено меньшее число неэависиммх интегралов, то онн дашт только частичное представление о дникениях системы. што представление судет теы полыее, чем оольие интегрелоэ. Отсюда ясно, что отыскание возможно большего числа независимых интегралов представляет вавнуш меха- 92 ническув вадвчу.

В ряде снучаан заико оыввет аыать является ипы не явпяется заданная функцвя иытегралом уравнений двниения.критерий еинтегральности" функции мозно зыравить и терминах там называемых скобок Пуаосона. 2.С к о б к и П у а с с о н а . Пня двух функций гаиииьтоновых переменных С'й, у,р), 9~Яр)следувпая комбинация частных пронезодных: г ды дс' оч ду (о о)-Е~ — — — — — ) (19.6) е д~е дрп дяг д~с нааызается скобкой Пуассона. Ие определения скобок Пуаосова зытекаыт спедуваие вх свойства, которые мокно установить, напрнмер, непосредственным вычкслеыием: (ЧЧ ) =" (К Ч), у (с~', ч)= (ч,ее~) аяч~), с боске, б ( У Ф Ч', Х ) = ( Ч, Х) + (Сох ), (19,7) (('у, ж, Х) ((т(Х),ю)е((Х, р),М)-о; у —,(ч, о) ( Я 9) ~ч. ~, ). Первое иэ внх вырааает антасыиыетрин скобки отыоситеиьыо порядке функций.

второе-тот факт, что постоянный ммоинтепь у одной нв функций макно отяосить ко второй функции, кабо югое выносить эа анан скобки. Третье свойстю вырааает двотрибутизннй аакон дкя скобки. четзерюе свойство носит нвввавие тоадеотиа Пуассона, справедкиюго ддл всякой тройкк функций. Пакоивц, соглаоно пятому сзойотзу при частном дифферекцврованиа по времени скобка ведет себя аналогично пронезедеяив двух функций. 5. к р и т е р и и " и н т е г р а х ь в о с т н " ф у и к ц н и . критерий еиытегреаьнооти" функции зыраквет тЕОРкма 52.

дпя того, чтобы фуккцкя гвиипьтонозмк переменных~(е, ), р ) была интеграиом кавоначеокнх уравнений, необходаыо а достаточно емпоиыеаие уопозвя В.( (у,)() =~. (19.8) ЕОКАВАТЕХЬСТВО. ПУать РГЕ, б., Р) — интегРал УРавнений Ф' =дН/дре,ф — дН(ду Тогда пв любом ранении этой снстенм на обращается з постояыаую )~'г, с,)э )=С. Вычислив полную промэзоднув по зремвнм от этого равенстве с уче~ом уравнений днпкеная, будэм иметь ,Ц а) аС, аУ' ., а.) АЙВУ ВН аУ ВН~ д4 д1 е ~н~еук бркг~~ де е д~е-дрэ- ВРа 8~я Получеыыое разеыстзо с учетом представления скобки Пуассона (16.9) совпадает со свойством (19.8). Обратно, если для функции задано сзойстно (19.8), то а учетом уравнений движения его мокко предстазить в ниде д б, следовательно,)1е, ц, р ) =б' на любом реяеяьи.

Теи санни у(е,п, р) явлнется интегралом. Теорема докаэаыа. е. Т е о р е м а П у а с с о н а . Имеет место следующая основнея теорема, принадлежащая Пуассону. теОРемй 53. если функции )(г, б,,с) и ф(А с, р) являются интегралами канонических ураннвний двиивния, то нх скобка Пуассона ()', еч) такие будет интегралом этих уравыений, т.в. теорема утверкдеет справедливость' условия — 'Сс~,)),)))=о, э(т'4) (19.9) эола аывлогачные услозия имеют место для каждой иэ функций и ~ з отдельности ау рй ' бе ~ (,Кн)=0, ° ('а, ы)-о. (19.10) дОЕАВАТЕЕЬСТВО. На ооыозанин пятого свойстве скобок Пуассона а уелозий (19,1О) будут спразедлины разенствв -'4~'-( —",, у) й4)--Мн),р)-И(~.н))' слвдозатвльпо, в силу первых двух сзойств (19.7) имеем ,—', (~, Ц)-((Н~),~).((б, Н),У), Склщцнлпя лочлвныо это соотноаеиив с тоадвством Пуассона 9Ф ((р,с), и)+(су, н),у)+Ссн,у), се) -о и приводя подсбяме члены, првходвм в условии (19.9).

Теорема докедеяе В аедачех ыехвники иередко саучветов, что иеокольво витез релоз канонических уреккеякй легко уствивзлизвытов. Тогда теврема пуассоне дает простое презило по дзум аатегрвлам~Ее,~,)т)и ~й,), р ) получать мозый иктегрвл з виде оиобив Пуаоооав от втах щуннций Теэмм путем з некоторых блегопрквтяых олучвкх удается иваты полную систему интегралов и теи самым определить зое давления системы. Однако метод пувссоив далеко ые всегда приводит к целы.

Чисто окваыввется, что окобкв Пуесоове от двух иктегрвлоз али является функцией от исходвмх интегралов ыла ве товдестзевио обрекается з нуль, т.е. нового яеэезиоимого иитегрвлв ве деев, Воли для некоторой систеым ыктегрелоз )„ ..., )' скобка Пувссонв для любой пкрм Функций обреиветая з пуль СУЕ,И= Г'У-'"-. ) то текуа систему явэыяевт инзелвцкоиыой системой мытегрвлоз.

Рессмотрим честныв случаи. Вкечвле зыясяви, прв калик условиях бупнция Гамильтоке будет кктегрвлом урезвеиий дзииеыия. йе критерия "кнтегрельности" Н +Гн,н) ов очезидвого рвзевотза (и, и)-О следует, что ато будет при - -о . таким обравои приилв н уие иевестному результату: геквльтовозв фуывцвв из ляется иытегрвлом для обобиевио ковсерзвтизвых систем а втот иятегрвд зыреиеет обобвеявмй митегрвл звертив НЕ ),)т) Ь, пусть, наряду с нц,р), у системы еоть еие иатегрва~уе,р,р). Тогда з соответствии с теоремой Пувосовв будет аитегрвдсм а их скобка~~ Н ) .

Кали зоопольеозвться вратерием "аитегрвль,е) костя~~ длв фувкцмм~ ь +® Й) 0 е тс ется козий категрвл м0330 представить з ваде () Н) - ее.. Такам обрввсы, еолм~~Е,у,р)- интегрел иаыокических урвзией~ф обобаекко иоиеерзвтизиой еас- тЕЫМ, тО ИатЕГРЕЛОК бУДЕ~ В яел.~а, СЛЕДОЗВтвдзас, а -ф. и т.д. Псла ие 9 от зремеии язве ие еезиокт, то — П и 'еу ве де скобка Ц, Н) о, т.е. нового автегрвии ве дает. 9$ 6 20.

Метод Якоби внтегр~рованвя каконкческах уравненнй Пакячу ннтегрзрованвя каноническая уравненвв Якоби свел к зада- че нзхокдення полного ннтегрела некоторого уравнения с чвствчнымн произзоязымв первого порядке. )(яя аэлааенвя методе воспользуемся рядом матеметвческвх результатов. 1. Н е к о т о р ы е с в е д е н н я в з д и ф Ф е р е н- о е и л ь н ы х у р н в н е н в й. Уревненяе р,.~,,„,х, 2, г„..., г )=о, (20.1) свяэывзюмее меаду собою незаввсвыые переменные х~,.„, х , искомую ФУнкпню зткх пеРеменных 2= 2(;хг,..., .гэ ) а ее частные пРовзводные 2 =02/бх ('б'- У„... т~, называют дяфуеренцвельным уревненвем с частными производнынв первого порядка. Ревекке Х= 2(.х,с( ) урзянеавя (20.1), соде)менее ю промэвоЯь- ных постоянных ~к~.

, о~д>, называют полным янтег)алом этого урав- нения, есле выполнена условие ( аед м с/гт' — ) Ф О, ал,ас, ст г (20.2) Полный внтегрел далеко не охватывает всех решений ураваенвя (20.т), однако знание этого интеграле позволяет восстянозать асход- ное уравнение. действительно, вычвслкв честные провззодные от пол- ыого интеграла по переменным х: г =ду/Й~(б'-Г,..., гю), получек систему я) соотноюенвй, которую, ввиду условая (20.2), иоана раэре- ввть относвтельно парзметров ю = ю (х, т). Подстановка этих пн)ю- метров в полный интеграл в превоявт к яскомому уревненвю Ри Х- Е (:Х, о< (~, 2)) = О, Уравневвю (20.1) мокко сопостнввть следующую систему обыкновен- ных дя$$еревцаельвых ууавненкв: с(хг бхм И» гуты Жгм пь ак аг аК оГ (20.3) дге дя дл дух д~ называемую уравненвяма ха)матеростях. Коля фуннпяя г' не содервлт явно Н, т.с. Уразвенве (20.1) имеет вкд А'хс...

Характеристики

Список файлов лекций