Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Испольвуа сначала тольао геонетричеспие свяви, ыопно ввести Ю .Е т- Еб ОбОбЩЕИНМХ НООРДИЫат Пл,..., Ч,ш И ПРЕДСтаннтЬ чарва аах н нарев время радиуом-векторы н скорости точен в виде вавасииостед ле л„ Щ) „«=~ Ф . бе' а+ " с и ~,, . Л~), (24.2) Подстановка втвх величйа в уравнения геометричеспнх и кинемвтмчесних свявей обращает в тоадества первые ив нихЯ,(я,~р)=0 (.с у,„., р , а вторые преобравует п виду (22.с) (24.3) Х.
5 щ 4-о, б ~цР Сӄ—" 4~йф-ЛР „УИПе(п=д...,й), гдш иоеффициенты /~рм при скорбстях и свободные чпвнм Ьв являются функциями времени и координат. Таким обраэом, ддя ыеголономноп системы оообщенные координаты могут принимать проаевольные нянчения, но обобщенные снороотщ уае не будут цроиевольны, они долины удовлетворять условиям (2$.5) . Введение обобцеаинх координат поеволяет в дельнеиаем рассмотрении яе учитывать уравнения геоыетрпчеоних свнвеа.
Полагаем, что прямоугольная матрице ФЬрк У имеет ранг л и что отличный от нуля определитель (22.20) составлен из и последыах ее столбцов. тогда соотношения (2а.у) моано реереаить относителвяо последних К скоростей, выравив их черев остальные неэввисимме скорости фе=-~блефе-б„~„-) ) е Ьр„~е=,'„б', а, (б-л.а,,~+у)(2а.а) подстановаа этих выреПенйй в киненбтн4есйие связи (2с.з) обращает их в топдества по навависимым скоростям. Удобнее, однако, войти по более общему пути, вняв еа независимые величивы не л обобщенных скоростен, а некоторые о нееввиоиммх комбинаций Этих скоростей .4в=Я~втй,'~) $е (бф т 1„, и), (2а.5) где матрица Ц П имеет ранг, равнмп и . Линепные формы (2Ф.В) вообце нейитегРиРУеиы, поэтонУ семи величины У(е могУт не иметь смысла.
По атой причине величины ~~ называют псевдоноординетами, а производные от них по времени )( и д — соот- 5 ветственно пссвдоскоростяни и псевдоусноренияни. 118 Обрекая эвзнсамостя (24.5), что в окзу уоаозвя сйй(уе,) ггб мозно сделать, поаучам зыреаенвл неэазаоамнх скороотей через псевдоскороотн; з салу уоновня (24.4) через поездоокороота змрееятся тезке в эвзнонмне скороотв. Таням образа~, будем знать с -~~~,ф,+~ (я-г,...„эИ, (24 6) где коэффициента прк Яе м овободнме члекн язэяатсв азэеот- ными функцнянн времена а коордакет де,й,ф) ~е(т,ф~ . Ев прада" дУЯего Ясно , что прнморгскьнвв нэтрнця Я 9ее Ф навет Рваг, Рвв- нми Л.
Поскольку псездоокоростн явпявтоя преобразованными веввзаоа- мнмн обобяевнннк скоростямк, подотенозкэ змрввеывв (24.5) з уравнения киыеметвческнх сэявей (24.5) обрвявет поскеднке в тоа- дестзв по псездосноростяа ЕЬ у уу гф/) ртй~юо (~ г,,м), Отомде получеем, что делано бмть ВР;С1 ~,=.о, В~-Е.~~ ~ 6 -о <~-~„...К г-г,....и). Этн условна будут испольвоэанм прв заводе урнзыевкй Аппеая. Текин обрезом, введение псездокоерднквт поэзокяет обретать з тоадестзв урэънеьня кннеметнчесннх сзявей н тем семам з двлз нейаеы не учнтнзвть ети соотновепня.
еормулм (24.2) определяат онороотв точек снатемм з эезаовмоотн от обобненннх скоростей. Евка зоспоаьэозвтьоя ооотноаекмяна (24.6), то етк сморостн мозно предотвзнть з эвзнсамоота от псездоокоростей посредством соотноаенай у„ )~~У„~д +Ее (и т...,, лг), (24.8) где полоаено ге(т у) )' Ь уее ~ 8„(т,г)) 2'=гуме =— г, е ь;е'' Текам обрезом, скоростм точек явкявтоя ланейнннн фунацмннм псездоскороотей. Днффереацнрозвввем по времена (24.8) покучвем соотпоаевня а -х с П еб'„, г,'(фб Я)"2Мче~а'бе(н-г„„,л~),(2 ° 10) 119 т.в.
ускорения точек являются пикейными Функциями псеъдоускорений. Отсюда, ээяэ проиаэодную по !!, , находки раэеиства Ьа, — !„, Л,, у,„), (24.1Ц я„'"= е, выразаюцке со3ою лемму. ВКММА б. Ироиэзодная от уокорения по псеэдоускорению не зависит от ускорений а определяется соотноаенивм (24,11). 2. В ы в о д у р е з н е к и й . Будем исходить иэ нагренкввмх уравнений первого рода. !!ри двииення системы с уо геонетркческими и 4 кинвматичесними сэяэями они имеют экд та„+~Л = ~,и~В~„(М-У,..., ДО. (24.12) е Что касается уравнениЙ саийх сзяавй, то введение обобценных координат и псввдоскороотей приводит к токдестзенному мх выполнению.
умноинм рвзенстзв (24,4) на С„е и просуммируем по зсвм точкем систеаы рассмотрки вмрвнение кендой ыэ сукн этбго развнстзв. Введем з рассмотрение энергию ускорений У , определмв вв подобно киыетичесной энергаи (энергии скоростей) по Формуле ВУ= у,' л! о~ Тогда с учетом демин (24.11) первая сумке допускает предстазлекме да„В (! (24.14) Вторую сунну оооэначаюц чвреа ')=-~Р б"=~.ЖР'В '1Ч" =ЕЦ.Ч.* (2 .,) и наамэают псвздосилой.
подобно тому, как псввдоскорость бмаа лиыеинои комбинацмеа обооивнных скоростей, псездосила язлястся еналогичноя комокнацией обобщеннмх сил. Что каоается двух последних сумм, содераааих реакции, то онк обращаются в нуль. Яействительно, перзая кэ них резка нулю: ЕЛ„Е=" с„х;Л„Ж= — ")~„-~Л вЂ” )" Се.=О, д~~ - ВЬ. ВТ„В) т д1, г' мм „эт, дце Уег е асс поскольку, как отмечалось ранее(8.5) — ~Ю'-=О ; вторая сумме ранка нулю: В!(е 120 Р~,ЬУ„., И,=Х~ <а2,,„ф~„-г~,).,~„-Р~ В,- ае оовозвюаа Уоаозвй (24.7) »сре О, подотвзлкк з (24.13) установленные зырввенак дла суна а анею з заду, что авдекс т аскет пранаювтз лабас еввчезаа от 1 до и , прюнодем к урвзыенван, ве оодеравава реваемй аи бм Л, 1 й.„, «)» (24.1б! которые нвзызват урвзневкюнв вппелю.
длю соотвзлеана урвзаезкй калела оледует еквтз змрввенмп дла ввергнн ускоренна ы поездочка з еезюснноота от юреневы, ооооцеюныл коордвыет, поездосноростеа к поездоуокоренай; уота- ыозвн зта носаедапе. 3. й н е р г н а у о к о р е в а й . Подотвзавю з ввергаю уоыореюнй ЛУ-Ее»„а„ зырввенвн уоыореыаИ черен юсездоуокореааю согласно (24,ш), булеы кметы т Е'»»»»(ЕК»» Я~»»»») й'~~»»П» че ФЯ я»'»»»»»ть ( ) где воеффнцкеытн азлюмтою Щункцпюмп .времена, обобаеювны ыоордвает, поездоокороотей н определюатою змрвпенаюны лс»е(с,ф) лге,(цт) Б»н с„с ~ Х» (с+2) Ц,~з»Е»» Г„» еюо П»»р» Ф) ~»Р,ю„~",Я, (24 18) Кеы задан, еыергаа уозореаай предотвзлюет ообоЬ квадратичную йуыкцаа поездоуокореыай» ее мозно эепковть з паке сумме трек одыородамл йорн (~-%+К к,, (24,19) где ц - кзвдретачнвк, Ц - лкыейывв Форма, в Ц- йорма ыулезой отскока отаосателзао псездоуокоренайа (н Я~»ею Че (4 ~лгА, (4™ (24.20) Текам обрезом, евергаа уокоревзй имеет отруктуру, енвлогвчвум отруктуре нкыетвчеокой зверева.Заметам, что енергыа Ц юе содерюкт поездоуовореаый, понтону бее уцербв длю урвзыеюай Аапе- аю ее конно опустнтз.
В частном олучве оклероыоыкой оаотекы врона не злодвт з ав- зкопмоота мокну декартозынк ° обобценннпю коордюиетвмы, в ккве- нвтачесаве озавы однородна, т. ° . ~Э (~ Д.„,)У), ~ =О (~-1,..., lс), и 121 Эти условия влекут эа собою змполнение следующих соотноиенив Ус=о Го-с..... л~р), е„=0 (» И„, д/), (24.21) Тем семин зеличинм 2, з соответствии с Иармуувми (24.21) приыимвют одлороднми зид, но з нуль ке осрвщвютсп. поэтому будут отличны от нуля и величины Ж„усе .
Таким обрааоы, з отличие от кинетическоЯ энергии энергия ускорения длн склерономнок систанм сохраняет своя общнИ знд и ке обрвцвется з однородную кввдрвтичную Форму псездоусыоренни. Энергип усноренин облвдает свойством, зыреквеммы следующеи теоремоя. ТЕОРЕМА 57. Энергия ускорений механической системм резне сумме энергии ускорения ее центре месс, считвя, что з наы сосредоточенв зся масса, к энергии ускорениЯ при дзиыенни системы отыосительно осей, поступвтелъно перенещнющяхсн вместе с центром масс У= ~~ ма, У, У =яханю а„(24 22) ))ОклзлтелзстВО. предствзым уснорание т- Й точки з виде суимы относительного, переносного и кариолисозв ускореник а.„-а„~а„~а.„ .
В силу поступвтельности переносного дзквеиия ц„" .о, ае -а. ; относительное ме ускорение имеет общий знд, з двльневкем обоэнвчнм его твк: ас -а'„ . Таким обраэои, а„=а а„ и энергия ускорений разве ч Ив определения центре масс снстеиы и того Факте, что подзвщнне оск имеют нвчвло з этом центре, следует рвзенстзо Дл„х„' лакэ' 0 . Вычислня от него вторую производную по времени (вбсолютввя н отвосительнвя производные здесь созпвдвют), приходим к условию Ем„о„ 0 .
Это условие ооращает в нуль м среднее слагаемое в выракении (24.23) и теы семин приводит его к виду (24.22). Теорема донаэвнв. дтл теорема енелогичвв теореме Кенигв длп ккнетвческоя энергии системы, з ряде случаев овв упрощает вычисление энергии ус- коренвИ. 122 4. П с е в д о с и л ы . В соответствии о определениеи (24.1Ь) псевдоснлы являются комбияецинии активных оал П = ЕГ„ Е„, . В рассаетривеемоы случае радиусы-векторы и окороотв точек будут функциями-времени, обоощеныык координат в псевдо- скоростей х„ (е, и), т„(т, а,"щ ), позевку Функциями втих переменных будут и активные силы 7 (т, т, Р) У„Г~,~Я;).учитывая еще, что Е„,* Е„,(Е,~)), лрнходам к выводу, что Пункциями времени, координат и псевдоскоростем будут и псевдосилм п,(е, ~, ю= .Гг„(т, у,ту) Е„,(т,с) ( -у ...,и) .
(24.24) для юактического вычисления псевдосил нередко удобнее пользоваться вырекеннем виртуалькой работы ЮА ЕГ да„, представив м ее предварительно череа псевдосилм. С втой цельр не основании (24.8) веянием равенства с~Ц=~ ~чАЧ*~бм~Уе1 'Уе~=Дбма~~'~~е+Ее~ут Ге=У, ° ° УУ), где ~/у„и,т'с„- два возмокных в рассматриваемом половеыии перемещения системы, е НЯ, и Н'е; отвечеюцие им прирецеяия псевдокоординат. Составив их разность и учитывая, что б'у„ с~'у„- -сй„, Е.л,=д'Ч,-бщ, - виртуальное перемещение системы, представленное в декартовых и псевдоиссрааяатвх, будем вметь следуюцее выраиение первмх через вторые: (24.25) Теперь виртуальная работе допускает следующее представление; дА=Л~»'кем=~(Ы~м'атее)2))е Е )Уе~Яе и (24 2б) т.е.
работа активных сил на вериецмях декартовых координат представима в виде работм поевдосил на вариациях псеьдОкоордиват. париеции псевдокоордияат яваяются пронавольными незаиисаыыып величаыами. Польауяоь етым обстоятельотвом, мокло прамеиять следуюцнй прием для вычисления псевдосил. Системе дают такое виртувльыое перемещевна, при которсн отлична от нуля только одна вариация д'й, , и вычисляют виртуальную работу сА, Л, ВЪ, . Тогда псевдосяле П» будет равна П, сА,/l~~ . йз кмреиенвв еА, Щмоаво таяне оделять заключение о размернооты поевдооилы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
