Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 18
Текст из файла (страница 18)
уразнвния Гамильтона-Якоби инсат злд а ЫГФ„Ж),...,у„(7„,РМ-Ь. (20 ) Уразнеаие, очезидыо, допускает и в кратыов поыыасяые чмслв независимых пвраменнмх, посла чего оыо переходит з соотноиопме немцу конотвнтами С(мы„...,ы„) Ь . Полный интеграл уразнеаия (20.25) пра этом инаят звд т ~~~~7 (у~,.~ )Ыу Что касастся полного антаграла исходного уравнения (20.15), то он будят развя 5 — Хт (м~, „., м„) 1 и,)", ~7 (р, ы . ) Ф),, (20,26 ) «о«счныс уразкокмн дзыкснкы — ф, — ~Вф з данном случаа с ученом развистпа зр ГМБХ ь-т эапыаутоя так: в~, ~зри / Ра "и (~им" ) =с+) =~ам Ы Я-;а~ (20 27) ара Р~ Р' 103 аа. ар.
/ а~ (20,121 дм д ~~ ~/ О~Ое. С уче~ом етого эйрвкения нетрудно уствянозить, что конечные уравнения дзикения системы — =/ек, — /е- именя зид да'о- ~к ' д~~цв ~(~Яки// Ыяхя), д я 1 „д Врк Рк ~е (20 53) .~( ВР„ /Р .~ ' 'ф.=/. Ре 0е/~тАт-. ~ест) Г "~,..., ). Как н з предыдущем примере, интегралы здесь подравдевявтся ка геоыетричеовие (первые л - 1 кнтегралоз), кинематичеонмй и промекуточные (последние с равенств). 3.
Р а е д е л е я и е и е р е м е в н ы х в е а д еч е о ц е н т р в н ь н о м д в и к е я и и . Пусть точка дя дниистся э плоскости под действием сипы тяготении к неподвианому центру. кан было установлено э п.ч $ 16,Функция Гамильтона точки имеет зид е /т(у./т / ) (о ° ) где и — гауссозв постоянная притнгиэающего центра, а р и О- полярыые координаты точки. Уравнеыия Гамииьтояа -Якоби з данком случае имеет нид —"- — '~~ — "/ -' Фа- — ' = ст як во ре св.
Легко надеть, что оыстеыв обобщенна кеноерзвтиэыв м имеет циклическую координату 6 . Поэтому мощно поискать ус.яф-~р/11//))„е /,), тогда для У цолучвем снедеуащее обыкнозеныое уравнением (у е с /се ( — ) е -в — к — ' йаlг, бр р Г Оао определяет вту Функции э энде кзвдрвтурм 1г®.с, Ь) - /~~гль1.Х.К~ — — —,, др, р е,, и р„рйр„„„, „„,,р„„ имеет значение .г 5-*а-й.фюзи.ет--~ф.
Интегракм канонических урщрневай дзквевая й данном случае 105 опрчдзлиатов соотаовавзини лр а5 б5 а~ Р ' с$'=У ор =Рт ' и имват з зодробиой записи знд д5 =Р об в Г~Е-Р ",4. т сто б Е- ьчсСЪз, у= — т =Ф' ~т" тмд ймл,1Е~ ю л у- 106 Перзиа из иил иатвотся геоиетрнчеснив ивтвгрзлон; он определает 3 зоордвавтиом прострвнатзе (т.е. нв плоскости) траектории точна з задо .!~ ю~ — й Я-~~. йегао радеть, что тревиторил изляется каноническим сечаннен Р л , Р=, -~у.—, . ~-гс зГв-~) м у т Р'т Второй интеграл зивтмвтвчесзой, ои дввт закон дзиавпия по траектории. Пвзовец, дзв восполнил интеграла пронеиуточвме; свв определват обобаеваме аипульом. Гыаза1У ЛБИББНИК НйгайбйаЕББХ СИСтйЫ Рассыотрыа теперь неговоыснние ыехвничесвие сестеии, *.и.
несвободные системы общего заде, и устваозвы двя аах удобаые уравнения для определения дэнвенал. Похавав, что араыевевие обобщенных координат для неголовоыных виотти ведет и асивзчеиав иа уравнений хвизеная только реакций геоыетрачесввх озлвей, реавции ие кинеыатичесиих связей пра атом оотаютол. И тодьыо введение таы нввыввеных псевдоноордиывт поезовяет повпостью взбавнться от реакций и получить требуеыые уравнения. й 22. уравнения Рвусв для негопононных овстеы 1. В ы з о д у р е з н е н и й .
Буден рвсоыатразать веговономную систену е точен сбаего зидн, дзивенае которой огреаачено ~ геоиетричесииии и ус кинеыатичеоиныи связана. двя получения уравнений дэниення системы з обобщеыыых координатах стенеи исходить ив лвгренвезых уравненай лерэого рода а уравнений сзяеев ~",уе ° ~" ~ ау ~~~ бр (22.1) ~,ГЬ, х„...,ь )-о <ы-щ..., У), Лбе„й,,УУ -о (,В-У,,Х). У учитывая выечвде тодьно геонетрнчесине связы, нонны звеота л-лы-с обобщенынх коордныат ы , ..., ~„,.
Тогда радиусы-векторы и скорости точи» иоино представить через обобщеыаые координаты и обобщенные скорости по Щорнулан 107 З.. 21„ + ~ ) ь; Т, "~.—" (у=У,...,Л). >» т '''» » > > ~ Он ае Подстановка выранений 1„(е,>))в уравнения геометрических свяееи обреавет последние э токдестэа ф (т,ф о ( ~= У, , Д), поэтому в дельнейием их мозно не принимать во внимание. Уравнения дэнвення после умнокения ке соотэетствуваие величинм дае и суммировании результатов приводит к соотношении — '=~Т вЂ” х.)„1„~= —" Е;дЕб „вЂ” с/К дй — ЗУ Эй ду . — Пт "НЕ д~т ч " д>~>г;> и >> дй> д>~е е т >Ле д~р При выводе лагренкеэых урезнеыий в обобщенных координатах было выяснено, что черные три суммы э этом эыревении имеют енечения мт„ дг„ ы аТ )Т вЂ” аг„ а(„ ПР, .
ай Ят —" — — — — > ь;,7 — —" 6 Т.,ь Я вЂ”" — "=~',й — =0 > бЕ д>~е сЙ д~к Э~~ е " д>~т е > > т Оа> й~» .>. " д>)ччто кесаетси последней суммы, то ее мозно представить в виде а, а-„ сад й(Р„д =ЕРЕСЬ~., ~.ИУ)=~ер, —," (22,2) где матрапа у/юееу , очевидно, имеет ранг, разнмй Используя ети ревультеты и имея в виду, что ыкдекс >г моная принимать любые значения от 1 до е> , приходим к уранленввы » дТ дТ бь Пб Д, Ъп'~~Р(~ус ГО=У" ° '")> (22.1) называемыми уревненаями Рауоа длн неголсномных оистем. Уравнения ае кинвмвтическвх сэяееИ после перехода в ннх н обобаеввыа координатам и скоростяи преобрввувтся к выду ~~~ ф, уд-о, ~Н,у=ау,,„— „" уз (р-г,:,~), где матрица у>)эс» определяется нмраиенаеы (22.2).
ураввеыая (22.5) и (22.Е) образуют вамкнутув систему: они содерквт т е й ураэненый для наховденин такого ке числа >руин" > у>е> Р1> />к 108 Г.и с с л е д о з с в а е у р и з н е н и й . Система (22.5), (22.Ч) является двффереыцнальной относительно координат ~) и влгебрвкческов отноовтельно миовктелей / г . Исключим нв вее мнолнтели. С втой целью урвзнеявя Реуса предотазим з форма, содеркевей з левых частях урвзиевай уокорение авобрвввввей точки з координатном простренотзе )-"а С, Е ~.',.„С.,С.=Б„,а,и,З„~ -У,, ~),(22.5) где новые обобцекнне силы связаны с прелними салями следувавиа вырвненияыие 5е=%~ д + е"')ет 'ре ~е,Н~ Ре рв т Будем рассматривать (22.5) ывн влгебрническуы оистеыу двя вевввесткых иволителей м,..., /гв .
Эте система переопределевв. уолозия совместности сиотемм к будут слувить урвзвеыияии дая нвхолденвя дзмыеяяя. Будем считать, что обобцеывые координаты перенуыерозавы текам обрезом, что отличный от аула опредеаиталь и-го порядке матрацы у /~ ° й имеет ввд Ьс ... Ь,Ь Ь чн О. (22 7) го Тогда перзме К урввыенмй дзааеная (22.5) Е.~г Я У-йоб <~, Р~, Р =Х,'У~ с~„в -52 Гд'-У,..., В) определяют мвоввтели сзявей з виде ,нм ф„оуД~Р„', Р' й7~ Р„~,< у„,,() Подстановка иаоаителей з остальные уразаения дзааеввя Е,р„) е-йа, 'у' Р Гб lееу,...,й ю) приводит к условиям совместности алгебраической системы, кото- рые уае ве содерает реакций и слукат для определения дзикения Е (Е0 .
етб -а ) 4~~=Ре Г5=Ьт,,, Р л),(22.9) где ~Л5=Е,ЬЛ, Ь е, Р Р-2: Р,Л,.е . (22.10) Получевыые уравнения содериат все обобщенные усморения. Их мозно упростить, если часть уокоренкИ исключить. Действительно, еграиичеван,налагаеыме не ускорения кынематическиыи связями а Ьу' + 1 =О, ь'куФ=2'-ь; 9-'ь, (22.11) ивано рассынтраввть как влгебраическае уразлеиал лля ускорений. В силу (22,7 ) они определяют первые И ускорений черев остальные ускореыия з заде Г Г Г уе ~ ет~~е ~ею Це х ю' ю И- Д...,Р)2,5=лет,„леч! и ',е Р "' ' -(22.'12) где матрица йб', Д определена вмрекеннем (22.10).
представив теперь сумму з (22.9) з виде двух честей Р(У а — )~ Р~б а - „)~;Р,' ('5=(.,г, и ксвлючиз из уравнений с помощью (22.12) зависимые ускорения, получим искомую систему уравнениИ з ваде Д)ее~ =Ле (5 1<+1,„,, /сна), (22.15) где полоиена "'е е Е (Л Слеюб~ Осе ) с (22,19) Покавем, что ету оистему молно представить в виде, реарееенном относительыо ускоренкй. Справедлива следующая 110 лдммд 5. Определитель винемнои снотеин (22.13) отличен от нуле, т.е. Л =с~в~ Г)3е,),, Л р д, (22.1б) лбй звпльстВО. пусть й о , тотде одиородивв овотемв с.)3 1 О будет иметь ненудевое реаеаие фь „„, ф .
умвовея урезнения не соотзетстзуваве $ и окледмзал реэуиьтвтм, ПРИДЕМ К РЕВЕЯСтеУ ф Яте, ф Ч, О . В ПОДРООНОМ ЗВДЕ О учетом зыревенкя (22.1Е) ово кнеет зад Г.~е, Ср,2,Н р„б,)-да„б,жбее Ф, )- ( 2.17) — Ла (Еббе 4е)е, Гав,4,4,-0. Рессмотрнв теперь вагебревчеонув систему уравнений Ее,4 -0 И-4...,4; т-у...„/ам), в которов неиеэестнннк являются зеивчавн $ „„, фь, наличкам ие предствваяат собою поиучевиое змие ненулевое ренские. В силу (22.7) свотеме определяет невские величиям з энде ,с~ Р» "1 Г р 1Р ~ Пскучеянме знрввенин повзсвяйт представить (22.17) 3 саедумией Форме: ней з компекткой венков Еа р, р -о Г цх-ю,...,Игп). это уоиовие противоречит поиоаатеиьнои опредеиеваоотв Форин Е Ов Ч, 4 . .
ЕОРна ОбРВИЭЕтОЯ В ВУВЬ тОВЬКО ПРВ МУаввин энеченавк перенеивмк Л„,.„ Д , аэ предмиуимк ае рвооуадеиид т'-"'~;Ье видно, что эта перемеиине ие разин однозревеаао ауаа. Ленка докеэвнв Вв оовозвааи (22.16) уравнении (22.13) рвэреааим отаосательио иеэазаоапк уокореаайе (~ =Г й,~, У) (Р.А',„., а ). (22.1В) 111 Ян =У~, ф=Е (~,~), ),) (Р=А О...,/~ю), др —.,"=-) с„,(~,~)д, а„((,с)) (,х=у,..., lс ), (22.20) срнссединкм к ппм осглесавэыные со связями панельные условия т40 ~ (о) =~',~~ (с) =~с. (~=у ", Рею). (22.21) условия рээремимостн ээдечи (22.20), (22.21) выражает гЕОРкМА 56. пусть 7„И,э, у)ос*, е „С~,т)еп э„й,с)нС ° Тогда эакэча Копы (22.20), (22.21) имеет единственное рещение.
ДОКАЗАТВЛЬСТЛО. Нетрудно убедиться в том, что при услозинх теоремы правые часта нормальной системы (22.20) непрерывно дифВеренцируемы по переменным А,щ, щ, , но тогда теореме следует ыв теоремы 4 перзод часта курса. 5 . 0 с о б е н м о с т к у р е в н е н и й . Метод Реуса представляет собою ыомбивацкп лаграпкевмх методов обобщенных ыоордкнат и неопределенных мнокителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
