Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(16.8) РаНЕЕ бЫЗО ВнаСНЕЯО, ЧтО З ЕТОМ ОЗУЧЕЕ Ха~Та, Ас~~-0, ПситОНУ, керяду с (16.8),имеем тикке предотезаекве и т т, и. Полученное выреиеняв покеениввт, что хата функция Н имеет раамвраость смертин, онв вообще не оовпвдеет о мехнничвокой эяеупавй, поскоиъку Т2 - То пе являются каветычвсыой энергией. По атой причине фуккцип Геыазнтона яваызеет обобщенной махепачеокой энвргяай. Заметим, что при наличии у овстемы обобаенпого оааового имевцаелв т ~ ~~ + П мехепнчвокой еаергпвй оаотвиы невмземт по-аремнему иванчину Е в Т + П (в ке Т + 1Г ).
В честном случве скзеровомной оиствмы Т2» Т , Тс а О, поеному Н в Т + П , (16.9) т.е эы аиеранмяой оистемм функция Гамизьгоке предстевияет аобом мехеническуп енергаа системы, выреквннум в перемеыыык Гемпаьтоае. и. у р е в я е н к я Л в г р е в и е а Г е ы в а ь т он в д з я т о ч к и з и о а е т я г о т е н а я . Рассмотрим точку М , двнкущуюоя в плоскости под действием ньптокозского тяготения,н устевозпм дзк нее вкд уревввнзй Нагрензе и Гемааьтоне.
У точки ые плоскости дзе степени свободы л а 2. Ныберсы З КИЧЕО- твв обобщенных координат поияркые коордмпвты и , е точна, счнтея, что подво совпеднет о пратягивевщам центром. Тогда звгно вкт деть, что кинетическая и пстенцнезьнвя энергия точка опредеантоя иырененаяни т- — (р.р в ) п- —— и д у гда И - гауссозв постоянная првтягивевщего центра. Очвкидио, что функция Нагревая резка ) ~р,в, р, Р) = т-п= —,(Р Р в )' Р л. поэтому лагранкевы уравнения второго рода б).
Бь У ВЬ В). бт вг бр ~ с'т Ы вв будут иметь после очевидных унрояенив вид Р'-Рв =- — РВ кРВ О ° е Р Рт Эти уравнения совпадают с обычными уравнениями двикения точки в поле тяготения в полярных координатах. Получим теперь уравнения Гамильтона. Обоаначим обобщенные импульсы череа рт и ре . Тогда в соответствии с определением импульсов будем иметь д1.
дд я. р = — =втр', Р - —.=лРв. г ВР ' а вв Точка в данном случае является консерввтивнои системой, ноевому ее функция Гамильтона будет совпадать с механической энергией, выракенноп в гаыильтонсвых переменных, т.е. Н(Р В Р Р )=т Л=е (Р т )1 Теперь легко видеть, что гвмильтоаовы уравнения И ОН сЮ дН, АРг дЛ с1Ре д)У У аРт с~о вРе ' аут дг ~ д+ дВ будут иметь вид мУ РГ в Рм г)Рг Ре Рт г)Ре е — — — — — — =о, с'е лрл бт,яр з Рл сы 80 Б.эквивалентность уревнения Га— ы и л ь т о н а и Л а г р а н к а .
Выме было выяснено, что иа уравнений Лагранжа 2-го рода следуют уревнения Гамильтона. Покввем теперь, что и, наоборот, иа гамилътоновых уравнений могут быть получены уравнения Лагранка. Тем самым будет установлена акнявалентность этих уравнений. Буден исходить иа канонических уравнений Гамияьтонв — Р =- — > й.=т,..., и) ° дН дН (16. 10) ВРс Иа первую группу этих уравнений можно смотреть кек не преоб- разование Лемандра с порокдемцей Функцией Н, примененное к ге- ыильтововыи переменным с , с , р, в копорок переменные т к ~) считаются параиетреии. Определители прямого и обретного преоб- рааований свяаены известным повиновением ОГ4„"'Р.) а~~„".ж „~а'И д;„...,~„> р(с,,„,,б„) аР ар,~ц .г' а~ Эргпг; Отсюда ясно, что ввиду (16.5) гессиен Функции Гемильтоне по обобяевныи импульсам отличен от ыуля я, следоэетельно, для пре- оораеовения (16.10) будет спреведлявв теореме Донкиые.
В силу етой теоремы имеют кесто равенстве ,)1.' аН аО' аН аО'(с., „1 1) дав дуа дфа дс дт где Л.-порокдеюцея Функция обрвтвого преобреаовввкя. Функцвл Х, совпадает с Функцией Легрвкле l. . действительно, в соответствии с упомянутой теоремой и определением Функции Гамильтоне имеем 1 = ~~Р г~ -Н" Ер ~ -(~Р~~ -Ц Х,, (16,12) Обрецеясь теперь по второй группе гемильтоновых уревнввмй (16. 10) и ззмевяя вх левые и пряные чести по Формулви (16.11) о у«етоы соотноиевия (16.12), получим уравнения 2-го порндкв — — о ( у,...,ю), с~ ВО д1 (16.13) бе дан д4г явлнюииеся уреввенвями ветренке.
6. ф в е о в о е и р о с т р в и с т э о . В методе Гамильтоне двимевие механической системм опвсыэвется 2п Фуцициямп времеыи л (16. 1в) и, ю. (и), р.-р ~И Гб. 6, .). Лля геометрического опиоеввя етого двавенил введем в рвосмотремкв 2п -мерное простревстве х'„ , вдоль осей координат которого откладываются обобцевыые координаты в обобленные ымпульси.
Зто простренство называют Феаовым. Точке Т проотрвыствв Е „ с координатами (~„ ...,у„ п,,с] вввмэеется иеобреввюцей точкой гвмвльтоновой системы. уревнения двивеыяя (16.1С) в то ке время являются уравнениями двпкения точки Т э проотревстве Еп„ . Таким обрвеом, движение снстеыы точек в трехмерном Фиаическои пространстве описывается двивением иаобревеюцей точки в 2п -верном Феноэом пространстве. В1 т 17. Обобщенно консервативные систеыы Ивтегрыровение квноныческкх урэзнений двикения мехепнческой системы сопрякено с известными трудностями.
Поэтому предстенливт интерес методм, позволнпмие поникать порядок системы уравнений. Твкого понимения чорядкэ мокыо добиться, н честности, для обобцевао коисеркетвввых систем. 1. О б о б щ е н н ы Н и в т е г р е л э н е р г н и . Иехеннческэя сисЕемв веаывеется обобщенно-нонсерветивной, если ей фуннцнн Лэгрэнке инно не аевисит от времеви. Поскольку производные по времени от функций Легренкэ и Гамиль- тоне ве основаныв (1б.б) отличепюсн юолько знаком, юо условии обобщенной консервативности моиво предстевить в одной ив форм: дь — =О, ан — =О, (17.
1) дч пе Для обобщенно консервативной системы имеет место обобщенный интегрел энергии. Этою интегрел конно получить, вычислив полную проиэнодаув по времени от Функции П и используя гамильтоновы урзнвеннн. Дейстнительыо, имеем сН гдН. дН дН вЂ” ~ — )с )+ — ° дпк с Зрс с дт Теперь легко видеть, чюо сюоящзн н иреной чэсюи сумме обрецеетоя в нуль в силу гамильтоновых уравнений, в второе слегэемое — в си- лу определении обобцевной консервэтивноств. Теням обрезом, Й ч О, откуде следует обобщенный интегрэл энергии НГ~, о)= /у сО/Р5У, (17.2) Инюегрва (17.2) бмл получен другни путем в ф 10.
2. у р е н н е в и в у к ю т а к е р а . Покэкем, чюо дди обобщенно консернвтинвой системы порядок системы уреввенай Гвныльтона мокко понизить нв дде едиввцм. Реаренвм интеграл (17.2) относительно одного ив импуньсов, нвпрнмер р, (Жщб). бР )»= '((~с - )~о А Ь'" Ро) (17 У) Воэьыеи уравнении Гамильтоне ы звпиием нх н форме Ь>, дН 'Ю вЂ” > М > бр, ан (17.Ф) Н д)„ -%о= — Н > ~~ — -н. (с«=у,...> «). (17.5) >й дР>о сй ду уровненяя (17.5) моаво предатавить з видо автономной саотеам. В самон доло, подолиз почвовво уревиовая (17.5) вв порвоо ав урезнсний (17.О), будем пыоть рввовотзн »>ч дН l дН»Л» -дН /дн и — ~ — — — — ~ — (>«Х...,«) (17,8) Ь~, дР / дР, Я)л да ~ЪР, йлн вычисления ах правых чвствй зовьмеи тоадоотво Н~р; - Т., р,(~>),р) рл -'р.]-" и пРодвййоРвнциРУвм ого по поуомониым >),о, Р„>(а> Я,, «), з итоге прадом к соотыоавывяи эН дн д>'-К) дн дН дРК) — — — 0 — > — — бас>я...
«) д дР, дс, дР„дР, дР„ опроделп>щам нсконыо правые части в виде дн удн аК ан удн ак — — — — — — (иР 2 «) д~./дР дУ дР / дР, дР таким обрвэои, (17.6) предстявннм з аиде саодувюх гвизаьтоаоэнх уроннонпй, в которых роаь эрвыеаи игрввт лоорданвто >~» в роль йуннцнн Гамильтона фуаицвя Ул Н дК Н«> аК 2~ ° > — — (>«~Я, „, «) (17,8) «,), др, д~, д~„ вх ноэыэоит урознеииями Уаттеаорв. Свстомв (17.8), ооон ояцвп ав 2 и - 2 уравнений,ввиивутв а ой ивано ввтнграроввть иеаоваовмо от других уронпенвй. Проинтегрировав уроэнения Уаттваерв, войдем Фуилцав (17.91 ~, =>~„(>Д,> Ь>с'„..>б>н«л), Рщ р >1~,>А 4>->с>л«-л)(о"4" >Ф которые совместно о впвлогачив выравнивая для >ь, полученным нэ (17.3) и (17,9) рг- р> ф> А> «г» " "л, и ) > (17.10) апредоляат сомойотэо трвоиторай з Щввоэом прострввотве, ввзаоааое от 2 « - 1 парометра.
Тем сонмы ус*ввввивзеется геоветричоскея картина дввзония. 85 цто .ессстсе,„;ух осгеьллхсп уравнения (17.~), то второе нв хил после приме;енин к пеку назлогечьых преоорсэо,спк» ооращэетсн в тождество, э первое - слувыт для установл ння закона двииепия вдоль траекторий. э>.> в( к'> зр, аь " поесцью состеоленне — †' - = У , с г:;сивого нз (17.7), это первое в (17.с) урэвненйе представимо в виде К~ = ( РР ),х 'вп откупа зависимость макну координатой о к еременем г устаз: ълнне:,тся с поиоцью квадратуры (7. ) >. У р э в е е н и я Я к о б в .
1'амильтонова система Уравнений уигтекерэ (17.н) монет быть заменена эквивалентной системой уравнений типа Лагранка х> дР дР— — = с7 (со=к,..., ю,> ° '>') дФю су'" где с' — т, а функции Р (аналог (рункции >>эгсанкэ) сенза/ео ою не с чункцйеи А' (аыавогом Функции "эмкльтона) пос,н:детном зэвискмсогн (17.12) и )(~,~)=! ! р,„'-К н .;.звон части равенства следует заменить оообценные импульсы кх выракениями нэ уравнений уиттекера ю — (с-у„., Л ), зуг тех д>з э Функцию Р мокко представить и в другой Форме.
йслк учесть соотиовеннк а - У , >с.= -х(' и ЕРпУ = Н~>-, то ОУдем иметь е Осооенно простую йорку для Р мозно получить для нонсерна- 4 = -/ — ~)~ ' дА' /п~ вк' при этом н частной проиэводнок .— все стременные считаются М выравенныин ерез оу о почоиью >ормул (17.н) и (17.10). йэвисииостн (17.9)-( 7.11) определяют урсвненкя днниееия снстечы. Такии образом, интэгрирование Гаимльтонован систеыы уравнении длн обобиенно консервативной системы свелось к ингегрировч— эню онстеыы уравнении уиттекера, порялок которой на две едню— цы нике, чеч у исходной системы. гиеной системы. деестэнтельно, в атон случить Т-П,Н=Т Л, проне того, спреведлнв нытеграл энергии Т+у) й . Понтону и.2, =ут= гР,-П> . (17.15) С другой стороны, нмавт место соотноиевия :=-'~"-й.=ФгМ ~ '"- й-' Ь'-)~МУ'" "' Йспольвуя получеынме результаты, уотаывэлнзаен, что ддя .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
