Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Посла уиноие- ыия обеих частей равенства (11.6) вэ Г, Б»п 'ф и перехода и новой переменной оно прииет вид 60 1, и =~~и), (П.Т) где у' ( и ) — ыногочиев третьей степеыя относатеиьво и /Гас=~а -Й ос4~~и)(~ и )-(с,-бги)~ (П й) Полагаи н этом нмРэаении и в »1 к и * и, ~ Сон~и с 1 (очя- "» тоя начальные условия тэними, что сд З О), ыэходиы ~(-~)со, ~~и,)=1,и,>и, Т(и)со, у(» ) ьо, l Тогдэ мвогочиен ~ (и ) виеет трн неаественных корня; и, « йэ~х, » сс5 сг н ио ° причем -оси, синс усиэ, и (поскольку Т' (» ) а + ) грэчмн ыногочлснэ )' ( и ) качественно имеет эид, наобрэкенный нэ рнс.10. Тэк кэк при даяаевиы наив "и .и и=сссчр и н~(и)=1, и ьО, то величине и довааа аазевяться з нитервэле и,си~ив. Реэдеаяя перемеывме з (П.Т) а ивтегрвруя,поаучаем * г Ж = (11,9) Ож Это уравнение предотазаяев ообоа второй аитеграа уравнений дзиаеяян. Лвэ другах веавзыоРнс.10 ыых вторых иятегрэаа поиучеем с его помояьв иэ соотноаений (11.5).
действительно, проваводиые углов 0 и и по с в по и свяэевы ээзвскмостяма которые при подстановке э (П.5) и иятегрировэняи доит г (Гс — гни ) с1и (П.10) ~, -и"),7,—. (П. П) Итак, трн вторых интегрэлэ (П.9)-(11.П) вырэаэны э кведйетурэх н содериет весть проиаэольннх постоянных С1, . „ Сб. Вхедвязе э них интегралы янинится элииптическиыи. Зйлеровы угиы зыреаэытсн 01 по нии чареа аллиптические функции времеви.
Возвращаясь к зависимости (11,9), представши величину и как явную функцию времени. Запишем полипом ) ( а ) в виде проиаведенин Яи).=21, таей,ги-и, Ма-ат)(и-аэ), тогда равенство (11.9) примет вид а да 1, 7Р ятО'чп . Р " ' у!; где принято -1 = СЕ, а и, - значение переменной и при а а Ь , Так кэк (11.15) а,эи иг.аз, то вместо и уиестно ввести новУю нерешенную Х по фориуле и = и, (аг-ги)5 а Х. (11 ° 1$) тг При возрастении Х от О до †, переменная и растет от сзо- его наименьшего значения а, до наибольшего аэ .
Легко видеть, что входящие в (11.12) разности выраизются через новую переиенаую слвдуюкншн фориулэыи: и- и, = Г аж - ит ) Л и Х, а- ат = -(ит - и ) саз Х, и- из = - !и„. и ) ( 1- й 5ш Х э г г гда поношено А = ( а- и,)Д и~-и,). Теперь ясно, что правая е часть равенстве (11.12) представимо через эллиптический интеграл парного рода х l т $ (иэ иг) рз.,~: 1 Р=У вЂ” ~' — с~ ~1) ~7ссз-*т У а~, где принято, что е = е, соответствует а ~ и. , т.е.
Х ~ О. Обращая зевисииость (П.15), будем иметь Х = аа ,3 ( т - с следовательно, а=а зал=и, й~л-а,)дю э~е-е,) . (11.1б) таким образок, и ~ ссзчй (э знйчит и сзи угол чг ) будет перно дкчаской функцией времени с периофои У' —,('(/~) = / . (11. 17) Фй() " ЫХ т' -Л~~.ьзХ Аналогичным путем (вводя в рассмотрение аллиптические интегралш 3-го родэ) кожно установить периодичность угла прецессии период Т, которого будет отличен от перкода Т. 62 5.Качественное ысследовзняе двзз е н и я . Картину двизвняя волчка нощно установить с помощью следующего кечественного еязлиэе его двииения. Полокение оси волчке в простраыстве определяется угдвми пре цессяи у и нутации ~уз ° Эти углы являются сферичесиими копрдинзтаин точке А, в которой ось волчке переоекзет сферу единичного радиусе, центр которой созпздзет с печеном отсчете.
Рессмотрим внэчзле характер дзнщенин точки А в плоскости меридиеве сферы, описываемого зависимостью <~~ ~ ~~ ( ф ). Иэ условия (11.11), представленного с учетом рэвенств и„ ~ п Сюэ 4 ~ Оз и ССЗ С~ З виде ч ~~ 4 С~А ~. ~~ азключэем, что траектории точки А рэсползгается нз сфере изиду параллелнмн Чз' ~ тл' н $~ -- У' .
вкругое условие-си4„'$а у Я т ° = й = †. ~/У~с> покзэмзеет, что ~аз и о обРзязютсЯ в нУль оДновреыенн9 н что ото происходит при и = 0~ , или ы ~ из ,т.е. нэ грзничнык пзрзллезях. Следовательно, ось волчке молев наменять напрэзление нутэционного двняевня только на предельных перзллелзх.
Таким образом, траекторией точки А будет ыекоторзя сфернчесивя кризэя, располокеннзя в сферическом поясе. Вид втой кривой зависят от хэректерз вращения плоскости меридмэыз, определяемого вековом изиененин угла прецессии. Скорость прецессии дастся зырзкением (11.5) г" у е~ г у-юз Поскольку энэменэтель дроби сущеотвеныо полоиятелев, непрэвление прецессии будет зависеть от соотноиения мекку постоянныын С1 и Сй, т.е. от начэльных условий. Прн этом зоэмокны следующие реиимы дзниенкя: Рис.
11 Рис. 12 Рис. 13 Если отношение С1/С2 нахолится вяе интервала и, и ия , то скорость прецессии сохраняет свой знак и нигде не обращается в нуль, т.е. прецессионное движение происходит все время в одяон и гоы ке направланин, при атом на граничных параллелях скорость 9н' = О и ось волчке имеет только скорость ч~ ; следовательно, треектория точки А касается предельных параллелнй н имеет вид, иэобракенный на рнс. 11, Если С1/С2 -- ол , то скорость прецессии танке не кеннет знака, но обращается в нуль на верхней параллели. Так кзк нз верхней па- раллели и ~/н = О, то у траекторли на этой параллели будут точки возврата.
сама траектория прн этом будет икать внд сферической цнк лоиды, нвобракенной на рнс. 12. Заметим, что случай С1/СК - а, физически неьозыокан, ибо тог- да на никвей параллели было бы Ы, = ~)К -- О , ярнчеы потенци- альная энергия эончка сына бы мнннызньной, следовательно, в после- дупщеы движении росла бы и кинетическая и потенциальная энергии, что противоречит аакону сохранення энергии. Нэкоыец, в случее, ногда и,~ С1/С2 ин , скорость прецессии меняет свой знак при и' без гк = С1/С2 . Траектории точки А буде петлеобрааной кривой, показанной на рис.
13. При этом из сообраке- ний, аналогичных предыдушии, будет следовать, что петли когут рас- полагаться только вблизи верхней параллели. $12. Уравнения равновесия голоноыной системы Провналнаируеы простейший вид двикения голоноыной системы - ее равновесие и установиы уравнения равновесия. 1. Т е о р е ы е о р е в н о в е с и и . Рассмотрим голоноинуш сястеиу с и степеняыи свободы при наличии с геометрических свяаей. Говорят, что система покоится (или находится в равновесии) если ее обобщенные координаты не изменяются со временем, т.е. д,, ° = со эм ( б' = 1,..., б ).
координаты с,, ..., ~„ обычно выбира пт так, чтобы в полокении РавновесиЯ они Разнились нУлю бг с ( о- э 1.. ., и. ). Очевидно, что у покоящейся системы будут отондественно равны нуле ее обобщенные скорое~и и обобщенные ускорения ф э ~ ~ 0 ( б 1,..., и ). СООтНОШЕНИя Ыакду ОбЫЧНЫМИ И 64 сообщенными скоростями и уравнения геаметркческвх свявей, прадтавленные з виде ограничонвй на скороотв показывают, что для согласования понятая покоя свстемн в обобцввных коордяватах с обычвьоц повятвем равновесно саотемы давние быть — =0 (У-~,,У~,— -О (',с=.Г,.„,с), т.е. система долвна быть склеровомвой. Условие равыовосня склереномной систеыы зыралается следуюцей теоремой о Равновесии. ТЕОРЕМА 50.
Лля рзцщавесвя скхерономвой толоконной системы необходимо и достатачыо, чтобы свстема первоначально покоилась и чтобы рзвыялись нулю обобщенные салм, т.е. ~ = 0 (а' т ... я) в (2. О И 4 . Я) (12.1) действительно, пусть система покситсв; тогда ~с = як= 0 (б=д...,я), и из уразневвя дзвкения оклерономной свстемы (9.37) 7л',~ ( %Ух=~0,0, (Ав-4"' Ю (12.2) ЗаКЛЮЧаЕМ, ЧтО дспвас бЫтЬ Ей,~,-б) =О, (Ф з,..., /Р). Отовда В силу известной связв мекку определителями примой в обратной матРиц Устанавливаем, что сЫ (а з ) =~сйт(а .е.)~ ~Ф О, следовательно, ота оцнорадная алгебрааческзя система ииеет только ревовве (12.
1), необходимость тем соммы доказана. половам теперь, что система первоначельыа покоилась н равны нулю обобщеыные сели. Тогда п)юходим к следующей однородной свстеме уравнений с нулевыми качзльнынв услозвями: Тзт т )гесгуе 9с =О, Тм О, 7 = О ( м-у,..., и). (12 3) легко видеть, что кУлоные значенвЯ кооРдинат ~(ям 0 (',ю= А„, ...,и) удовлетворяют и уреввенвяи, и начакьным условмям, т.е. они являются реаеннем задачи Коан (12.3).
Но по теореме 49 зто решенно единственное. Следовательно, система будет покоиться.Теореме, таким образом, доказана полностью. 55 2 У р а в н е н ы я р в в н о в е с и и . Прн рзвновесяы системы обобщенные силы будут фувкциав только обобщенных координат. Уравнения (12. 1), фягурирующнь в теореыь о равновесии, (~с.ф" г~л) О ( б Г'" ~ ) (12.ч) называют урзннанияын равновесия систеыы а обобщенных координатах.
Число атил урзсвеннн разно числу степеней свободы системы. В теореыь 51 выяснены условны, при которых заданное полояенве сястеыы, принятое за начало отсчета обобщенных координат, слулнт пололеняьы равновесия. Уравнения (12.4) когут рассматриваться танке кзк уравнение для захождения координат с,, ,р в полокениях равновесия. Они зги координаты опрадалявт, если выполнены условия разрешимости В(а„.- .
ф.) Ф О ° с ф " ''Рп) (12.5) Специфическую форыу уравнения равновесия приникают при потенциальных силах. Действительно, в атом случае кзлдая сила определяется выралениеы й . — — , где П = П (ч) — силовой поал' танцзал, и уравненыь рэвновесй~ (12.с) дл — =О (о= у,,... л) д~зк (12 ° 6) выракает теперь услониа стационарности силового потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
