Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Он приводит к уравнениям, позволяющим определять и дзиаевие смстемы, и ревкциа кинематмческнх связей. Уразаенаа Реуса ие аазпсят от числа точек мехэничесной системы. Одыако эты урвзыеыия не столь эффективны, как уравнения Лвгранма второго рода: оаа содераат реакцна связей, чем утрачивается одыо ив заикин преимуществ лагрвниевмх уравнения. Для определения дпыаеиая з уравнениях Рауеа аледует предзаратеаьио асключкть реавцыв, что празодпт к дополыительыым вычислению. В дальавйаем будут получеам болев удобкые з этом отно- 112 Правые части этих уразыеннп содеринт зсе коорднкэтм н скорости,поэтому для нехокденин дзикения к (22.1э) следует присоединить уравнения кныематнческых сзяэея (22.4), которые удобно паять такие в рнэреиеннои относительно эазмсыыых скоростей зиле ф =-2".0„г(т,~))фр е0~(~,~), 0;-Е'А А,,>, Г„'=Л'Ь„гЬг ,..., А). Мсключение иэ буниным Е,(Е,с, ф ) с помощью (22.19) ээзнснмых скоростей дает зыракение, которое обозначим черен Ер й, щ,ф, ) .
Замкнутая система (22.18) и (22.19) предстэзима з виде следующее нормальной системы ус е А уравнений: иеыыи уреъиеиив йппали, оъсбодае от уезееииого аедоствтив. й 25. Качавиа моиетм Проиллпстрируеи соатвълеиые урвъваыый Рвуоа для иеголояомиой системы, которой яъляетоя моисее, ватяцвяся по гориаовтельиой плоскооти. 1.П о о т а н о ъ и в е е д в ч ы и у р в в ы е в и я с ъ я в е й . Пусть повети ветится бев сиольиевип по иеролоъвтой горвеоительыой плоскооти. Моисее предотавляет ообов тонкий дьюи о мвсоой ле , радиуооы Я и глввымыы цеитрвлъиыыы л л * момаитвмы ивеРции П 1е Ф Х,.
Воъъмем ыечело О системы отсчете ъ некоторой точке плоскости квчевия, причем оои и, я лл исправим с семой горизоитвльвой плоскости, е осъ ле - перпендвкулярыо ы ией звери. Половеиие мовети определим коордвывтвиы .и ее центре мвоо С ы ъйлероъыыы углями К., чмысирувцимы ее ориентации в прос~- реиотъе (см.рыс.
15). Одвево, квк сайчао будет выясвево, иа вое ъ этв пврвиетрм будут иевависиым. Тав иек помета иетитая беъ сксльвеыия, то оыорость точим квсевыя К долвяа быть рввыа пули. ито «риъолит к веиторвоыу уреънеиыв кинеиетычеоиой свявы- У„-У,+ оер„-о, где Ы - угловая скорость Рис.15. моиеты. В проекциях вв оси оыо- тены отсчете ово эывиъелевтяо следуициы трем уравнениям квыеывтичесыил оеяаей: с е ъ е а е с ъ к ч,~оъДъ-ыерл О, Уе~юеб,-оЪОе О, Уе+~~~я-сдпр, О ° Проеыцив аыороотв цеитре ывоо и угловой скорости жела девтая извеотиыыи пыиемвтичесиыыи йормулеиы е а е а а а Уе хю ° Ул Ля~ Уз Ха ~ сОх Уеуее Щуаефе ЮЛОееК р Юу~ ~Ъ567ОЛГФе%е~фт уке~4ю с4 ЮСИА ~$ Что весеетоя проеыцвй ~» , то ъдесь требуется специальное рвосмотревие. Правде всего, заметим, что точпаыи ивовиия ъ рееиые момеытм слупят рееличвые точил моватм, поэтому удобно 113 К ~ у Ргсн ЧВ Го|4,- Чя Й5тнЧК 5о Ц ь У Р СоМ~ О, хх ~ Ч, РСоь Ча 5аы Ч~ ~Чя Р5в Чд Ооъ У ь Уь Руны У~ О, .Г,'-ЧвРб Уд-о.
Квк видим, уравнении явно вв соднравт времени, т.е. связи язия- мтоя стнционврнынк. Псрзые дзв уравнения наинтегрируемы, т.в. яивяптоя кнненвтнчаопаап озивямп. Их моаво звнвнить более про- стыми урвзиннаяиа, предствзвнаыима собой очвзидныт комбиынцим нтнх уравнений х,'5 Ч,-.хк'С,.Ч,-ЧяР5;Ут=о, т~ Й~зУ ь гя 5ьпУг ~ КРОоюЧГ тЧв Р=О. Что квсвнтся поскнднвго урвзнвпин, то оно довуспнет интвгрярозннив т.е.
зкзазвиентио геометрической свина ~;-Р5тпЧ, (25.3) (23,2) с Таким образом, аз песта пврвнвтроз .х„,ч (и и,ь) неэезисимы только пять. В дввьннйанм вв обобыевпыв коорданвтн вопеты примни величины с ~т-~т ° фз-Ч. 9Ф-Чт~ Ь-'4. Сообцениые зе скороота фн уае ан будут ивзвзисвмм, оаа сзизндзу соот и (25.2).
Итак, моинтв язаянтсв ыегоковсымой сииврвасыаой системой с тремя степепяма сзободм. 2. у р н в п с ы и в Р в у о в д к п м о к е т ы . Идя соствзвнппн урмвпваай Рнуоа трнбунтсп знать кыннтмчнснуы внаргаы системы, обобыеааме сины и й - матрацу. Ивйдвм кирпичная нткх величии. Каиатичеоивв ввнргал монеты согдвоио теоремв получить для у зыреяенмя, ив содерпение координат этих точен. Праман зо зннывние, что точка К принвднеаит вертикальной пдоскоота, опредевяевой осими с.к, п Одь, а что пиная узвоз СФ верпниднкуиярив втой плоскости. Теперь ввгко зидвть,что угол й'С И пряной а исконме провкцвп ннннг ннвчення с =РЙ5Ч СОЯ(Ч- ) РГ05$5~М,Т Рг05$5ы(Ч- ) -ЯЙ5$йЯФ,Д =-РЯш~Ч ° 4 Подотвиозкв проекцкй внзпчии по зыыепркзедвнным формулам з урвзпеивя озяней приводит пд к заду 114 квнигв опрвдвлнетсн вмреавнием ге в л ~~,у «л „ Коли учвота урввнвнив гвснвтрачвоиоа оэлвн, уолозае симметрии 7, - 1л н кн«внетнчвскнв асрмулм Эанврв л А л ы„=Ч 5мЧлбмЧв и Чвб>гЧ, са~=ЧукнЧлбевЧв-Чв5илф, а~в ЧбвВУл %в го получим для внвргнн слвдуюаев предотвэлвиав э веэвоамоотм от оообнвннмк коордвмвт н сиороотей: .вк .,В , .
и 1 ° Л . Л Я т л (г с >2 ч сев Ул) и-1(чбгв еЯ чл ) $1 Счйь фУ3(2ъ.в) Обсоавикмв СВЛМ ОнределявтОИ фсрнуввии а р. В' -Муенв ( ч.г,...,ь). с учетом форнулм (23.3) она будут р~йав а, -О, а =о, ав- О, ав--т~йСевп~, а -О. (23 3) Нвкоквц, сравнивая мваду оспом обаве имрааеаае вааетнчеоиак свиней ~ Ь ~) б ( с дй; ч г,.„,в)с йсрмулвма (23 2), уотвнвзлнвевн, что Ь вЂ” матрица имеет зид ! (Ь„Ь„Л„Ь„Ж и 35 В -й в -Юз Ю О Ьв~ Ькв /~л 4лв 4лл ~~ Сав Ч, ЯвеЧ ЯСвв» р Твперв легко видеть, что дла монета уравнении ~ ат ат ав а, %'/Ач'/гв "лч (с-4"' у) с учетом змрааевий (23.$)-(23.6) дли вниетнчеавой «моргам, обобавивмк сил и Ь- матраца з подробном заде ввпааувоа оледуамвм обрнвоив "а тх ~~в,рв'ччв ~~члсввч, (23.7) лгал -Ц Свеч ~/гл Явв Ч~, (23вй) л н -в(1,Ч,рвв ч в1,отвъвЧл) РЛ РС Щ, (23,9) л . л,лв,л Ю д(чйбвЬ Члв!кЧк) (-ай Чл вуЧ)3верлблвцфор Ч ~~ й)3 Ч ю Л ( (22.Ю) юй ~1,и,) -,мля.
(23.И) Патэ уравнений Раува (23.7)-(23.11) завозе о двуми условна ° качении (23.2) 116 Х,услЧ -ХябсеЧг=ЧдЯд'лЧд, Ххбее6'~ну~7'Чг=- еюз (23.12) образуют систему семи уревмений, котораи определяет сень неизвестных величин х,,хе, ч„ чл, Чз,/г„/гл . ив УРаэнений (25.7) и (25.8) дия кноыителей свяаей получаеи следующие выраяения: /г„-е/х',Ялч,-ху0ееч),/гя п~Р бгьч~хлЯР4з/. (25.15) Легко выразить /гг и /гл черев Эйдеровы углы ы их проиаводные; в зенон деле, иа (25.12) нивен Гу рыб хя сез Ф~~ еЧх (Хс СОЗ~4 еХЛУул Чч)= 2(Чя 5~7~Чв Чл бсзЧз/~ хх сояч~ > хилые чх " чх ('"хг 7гз 7)+хлювучг)» Уозт Учитывая (25.12)-(25.1З), получасы /4 = лг р(Ч„бзз Чя е Чт бел Чя е Ч о~э ), /ге = ~лЯК Чх ул4а 'Из) Подстаэляя теперь вти вырвиення /г~ , /гя в уразыения (25.10) и (25.П) и исключая ит ив соотноиений (25.9) — (25.11), найден три уравнения для Эйлеровых углов: з з - з.т.
з (1х >е67- ) Чз= Ух Чх ЛлЧл Й~УЧя- Г1 ~тй)оззЧгуи>ЧЛ-лтУЯЙ>зЧл(25 ° 16) л л д (1 л'2 )"'е т~ М5 'Чи (25,17) т ,—,,«,ч,у. чя)=~, Цчяд,чл (25.1В) Теперь ыокно составить дищюеренциальные уравнения, зыраиающие зелнчиыы о) и Ч~ как Функции от Чл . Вводя вместо Чл величину (ь, разную Сов Чя , и предстевляв осевые ноыенты инерции монеты по Эорыулаи л г я л а-аозЧя, 1,= — „гМУ, )' -тЯ, запнаен уревмемия (25. 17) и (25.1В) в $орые 5 ~~ '=-ЯЧ,, ~ (/ -и)Чг]=-Л "уз, (25.19) Исключив отсюда Функцию Ч , нз.,один л „ц )(У-и ) — „)- вы~ О (25.2О) Это ди,ьференциапьное уравнеыие тоРого порядка типа Левавдра л определяет ш каи рункцню от и . исключение ае из системы л (25.19) величины е зз приводит к уравнению 116 <, „е, й, х-(/-и )Ч,, е /л~ л с/ие (25.21) ноторое определяет 5 , а следоэательно и Ч, квк Щуикцмм от и .
Пооле нехсядения еависимастей Че/Чт) и осе/4А) УРвзнение (25,16) стнмозится урезяекием для определения Фуыкцва ЧлЮ. /Фт ~.РСее с)я б~сфас. л $ 2Е Уравнения Ацпеля (25,22) Аппель э 1899 году устеноэил уравнении дэикения неголономнмх систем, которме, подобно легренаевмм уравнениям второго рода, не содеркат реакций сзяеей и тем самым весьма удобкм для нехоидения самого двияенмв. Этк уравнения Аппелв удалось установить на основе рассмотрения так навмввеммх псезцокоордиает. н с е в д о к о о р д и н е т и, и с е в д о с и о р о с т в и и с е в д о у с к о р е н и я . Будем рассматривать двивение несвободной оистеми .Я/ точек абиего зила, т.е. при наличии ое геометрических и К кинемвтических связей вида „(~(т, тх ...~т ) а (Й~ А- ~ф)э Е//ее'Че~/)д // ф М,,А)г(2» 1) 117 5.уствноэиввееся дэивение монетм. Рассмотрим устенсвквамйся ревкм дзикения монеты, при котором еа плоскость составляет,о горизонтом постоянный угол А , в центр двииетая по онрувности радиуса х со скоростьв влб (см.Рис.16).
В этом дэввенив Чя С, ч, Я . Ив условия качении г л /. - -Т ~ и внравения угловой скороствот / =- ~= : 1 Р,.есе-52 е Фе ле получаем равенство С ~ Проектирую его на направление Р ,, - " ~. ю скорости Чс , будем иметь е т 0- лЯ~ы,К, юе=- К сс . Прн нянчениях Функций рис. 16 л т ф Й Йееер че Й соп5! юр х ое мн уравнения (25.17) и (25.1н) удовлетворяются тоидественко, А уравнение (25.16) определяет следующее условие вв парвметри при установизиекся ревкме: тнн Чтс СяотЕна НМЕЕт П=ДЮ-еб- Л атЕПЕНЕИ СВОбОДМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
