Лекции Бондарь часть 3 (1247310), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Имеем +о И -щ .— ~ <ч-ч,)М- — ~ ~т-т,>гуе т.1 ~у-ч.)Н, Первмй Интеграл правой части равенства неотрицателеи; отбрасывая лго, прыходыи к неравенству е1 ок ВКгрз уо ~ Г~ ~ю1 ~~ ~~ел ее~ . е~ ДЛИНВ ДУГИ бОЛЬВОГО КРУГЕ б'„г МЕВЬИЕ ДЛЯЯМ б;„ ЛЮ6ОВ ДРУГОИ кривой иа с4ере, соединявией точки Но и МГ. Поэтому ыа прямом пути действие по Гамильтояу мыяимальыо Ф,р ~ р~.„, Очевидно, что это утве1вдеяве справедливо тольао в случае, когда ллыяа прямого путы ве превыиает половины окрувноотв мерыдиеыа, т.е. пра е'„Г с а Я . Если б'„, М2 , т.е. при оовпедеяии МТ с кинетическим асмусом м , свойство минимума фуняциоиала те- ряется: в етом олучае ямевтая сколь угодно бливлие к прямому окольаые путы - меридпавм, ыа которых дейотвяе Ю имеет рав- ыое с прюпю путем выачеыае.
Паяоыец, если ~та, > «Я , то чу уие ве воегда будет меяьвв ЪЧее , а ыаимевьвее вывчеиме 15Э дейотквя Ч/ будет доствгвться ва допоииительвой дуге мервдивнв Мой1, являиаейая в етом случае крвтчвйиим рвсстоюиеи мекку точквмй М,М1. Аввлогичывя ситуация имеет ивето к в обаем случае. Исследованиями ряда авторов устеыовлеыо, что если точвв М1 выбрана достаточно бливко к Мо, то чеРев авх пРохоДит оДин пРЯмой пУть> ивм коыечыое число прямых путей. Пра достаточном удвкеыии точки м1 черве м к м1 моиет проходить бесяонечыое мыокество пряо 1 » ыых йутей, в етом свучве М1 является кинетическим Фокусом М сопрякеяиым точке М .
Выяснено> что если вдоль прямого пути м м1 яет кыыетического Фокуса, то не вем действие ь>7 имеет ввимеиьвее вывчеыве. Есла ке прямой путь проходит через киыетический Фокус, сопряаеывый нвчвльиой точке, то на нем свойство миюиуыв утрачивается.
$ 31. Принцип девериа-Лвгрепке Наряду о иптегрвяьыыи приыципом Гамильтона, имеет место другой иытегральыый ввриеционяый привцип, высказанный в 19ч7 г. Мопертеж и повис обосвовавяый Лвгранаем и ивеыввеиый поотому првыципом Мопертюи-Лвгрвнав. Втот приыцип приыеввм только к консервативным голономмыы системам и, следоветеяьво, обладает меньаей обаыостьы,чек принцип Гамильтона.
Однако он играет ввкнув роль при раасмотревив рвеличных вопросов фивики, в чвстносты в гидродинамике и теории относительности. 1. Ф о р м у л и р о в к в и о б о с ы о в е в и е и р и н ц и и в . Рвосиотрим ковоерввтивнув голоноынум систему с а степенями свободы в будем определять ее покоаение обобаеыкыкв координатами >>„ ,,>„ .
Лвя такой системы спрвведлив янтегрвв выергив Ч'- Т П-Ь=б, (31.1) где поотонымаа >> имеет внвчевме полкой мехвввчеокой ввергая сиотемы. Будем рассматривать тодько тапке пути, переводимые саотему вв поиоаекая >с, 1~') в поиоаекие Р, ~д') , которые оовериввтся о одявм м тем ие вапвосм мехааачеоаой выергиа /> время ке дкмкеяая вдоль кекдого ае путей будет вообае ревюем. 160 Введем з раосмотрепме з ивчеотзе хврввтермстиив мехваачеоиой системы зятегрва Ф~ Ы„- ~ Лтст б,п) у~, (31,2) Фр нввызееимй действием по Лвгрвзау. Справедлив опедуаавй " р и в ц и п И о и е р т м и - Л в г р в в з в . действительное дзвиевае гоаововвоИ ковоерзвтазвой системы с ыдеваьююи свявями меаду двумя ввдвппыми ков4агурвцвпми отавчветоя от всех вругвх допуотимых дзииеыай мезду тема ие ков4игурвциями в о тоИ ие полной эыергпей теи свойством, что дпя пего действие по Легрвниу принимает ствциопврзое еввчеввв, т.е. кы„о.
(31.3) Принцип Иопертви-Лвгрвиав по своей конструкции охом а прввцппом Гвиильтоыв. Одвяко сто супестзенио рваные прывципм, поокольну действие по Лвгрвпиу имеет зообые иной звд, чем дейотзае по Гемильтоыу и, кроме того, з принципе Иоперюа-Лвгрвиае сравниваются двизепвя с одной и той ие позвой энергией, в то время век в приыцппе Гамильтона вти дзизепия проасходюю вв одзо и то же время. для обоспозвпия прмпципв уствыоввм зывчвпе связь ввиду дейот ввяыи по Легрвппу ы по Гвывльтояу. Используя ивтегрва звертив (31.1), всходим, что пиыетическвя ввергая и пвгрввиезв 4увицав сьявеым зависимостью 2 Т = 1. + Ь, Ь - аолбт . (31.в) Используя вту связь, в такие определеввя действий (30.1) в (31.2), неходмм, что искомое соотпоаенве мевду изми выест ввд Ы„=Ъ4 Ь(е;т,) (31.5) Повезем теперь, что пв прямом пути, определеыиом лвгрввиепымв урвзыевияии б аь а1.
и а~, — — =О й = у„,,, (31.6) вариация действия по Лвгрвнау ревев пупы. В рвооиатризвеыои случае время дзиаевия по рввличюю путям рвьпвчво, повтому зв- 161 рывцвю йункцвонвзв М сзтдует опйвдезвть общи выраыевкек (29.10), учитмввюяым подвизвооть концов эремевного нвтервнзв. Варьируя ооотвояааие (31.5) о учетом лоотояватвв нонной энергии я , будам вмять У3у„=гж Ьй!,=ГЕН,д~,'0-*)-Ещ~ )К," В получевком экрвкеыкй йнтегразьква чзев обрацватсн в нунь в силу лагравкеэмх уревнеымй (31.6)» Что каоветсн энеинтегрезьного чзеыв, то он твкзе равен пуны по сзадущии цричиывм: (31.7) — б~ ~ =о, поскольку 3~ д~ = о ю г,..., и), 81 о т ~е тев квк вее срвэнквеемые двииевия проходят черен одни и те зе исходную и конечную ков(агурецюц ~/.~Ь-~~~~к(=о, твк квк дь' з~ в силу (31.е) и теоремы эйлера об однородных Функциях, а текин условия Т= Тт е имеем ). ) -й —.
~,=йТ-Е.—. ~,-РТ-ЯТ=О. дЬ" ьТ на~,%,ар, ' Схедоэятезьво, д'И„ - 0 , и необходнмость принципа тем семки установлеыв. Пусть теперь дано, что вдоль ыекоторого допустимого пути справедлив принцип о Ът„ = 0 при условии, что эсе двикеввя происходят с одинаковым запасом ввергни е . Покекем, что этот путь прямой. Бее огравичеыия обкностн мозно принять, что все сравниваемые дэииевия начикаются в одкн и тот иа момент вреиени. твк что Ст. =0.
Зедеча определения дейстэитезькога двикеная сыстемм сводится, таким обраеоы, к отысканию уоловаого акстремума функционала с подвизкыи верхним предезоы. Ранее в п.е $ 29 было отмечеяо, что ага вадече акэиэазвнтнв аадаче нахокдения беаусзовного вистреиума сзедувцего кнтеграза: Г(1,4~, ~)бт, 7(1,~, ~)=ИТ+ЯТ~П и).(31.8) О ( = г, ", с,), (31 9) 162 усзоэвя ке стяцвонерноотк последнего Функционала вырезаются уравнениями Эйлера ар б ак — — — =0 дце Н д~к ЗЫПОЛЫЯЕМММВ ЗЫУт)И ИигЕРЗаза (б, те ), а УСЗОЗВЯаз тРЕВО- зерсельвости, спрвзедлизиве иа копиях зревеывого прсмеаутка ~Е Л ЛУ +(Л'-Лф У,)й~. О (31.1П) эое срвзывзаемые траектории(ив иоордиивтыом проотраыотве ооз- педввт пв ковцех ввтерзала, поетсиу дия зврвецкй коордвяет з момепты 1, и бс будеи иметь ЛТ,'.
*Юф о (К» т. .., и), поскольку, далее, зое дзааеикя вечвывитоя з одив и тот ае мо- меыт времеви, будэм иметь запив А, = 0 . Следозательво, ус- ловие треиозерсельпоста приземист зид ЛТ'~Л (7+Л-Ь)- ЯŠ— ~м-Х2 — ~л~ = О. Лу . а) . с ау, и е а~„~л т.т, Вмреиеыве з круглых скобках, обрацветса з ауль, твк ввв для срезвызееммх деаиеыий зыполыветоя аытегрвл евергвв; полагая Еае ем теореме Эйлере ~~ЪТс йу, мохом преобразовать его уолозие к зилу ,.
эл. -(1Л)Я)'/,. -О . Отсидя яовс, что Л вЂ” Л, оледозетельпа, фуыкцвя 7 резва к=т-п ь-). ь, (31.11) Таким обрезом, условие трввсзеровльвоотв поезоавлп определить мвозитель озава а, тем семки, уотввозвть зид функции Р После подстеыозка. етой йувкцаи и урвввевия Эйлера (31.9) аооледвве ырмызмеит вед урезыевий Легравав з обобыеввах иооидвавтех — — — =0 д ЗЬ д(, (б у,..., «/ (31 12) стт де~ д~с т.е., путь, вв котором доствгаетоа отвциовераость действия .по Лагрвпау, долпеы быть прямив путем. Тев свищ доквевыв а доотаточвооть привцвпв.
Подобью дейотзвю яо Гвмильтоиу, действие по Леграипу виват ие прямом пути ыеимевьаее еаечевае по арезпезии о его еиачевиами за окольвых путях, чсдп правой путь ие содеркат оопрвиевасгс ыечвльмой точке киветаческого 4скуов. 163 йтав, установлено, что принцип мопертюи-Легреняа для консерветввыих оястем эывяввлантав лвгрвнневын уравнениям второго роде. Следоввтельво, его мозно половить ь основу мехенини этих систем. 2.М е х в н и ч е с н и й с н ы с л д е й с т в и я и о Л в г р в ы в у . Дейотвие по Легранлу М~„= 1 атН новно предотввить в фе1ме Мопертюи, неверия допускает механическое встолноввива. Представив удвоенную ныыетяческую энергию системы следуюыим обрввом: сй„ ЛТ= Ею и =Ел ы м,и новью придать действию по Лвгрвнву выд, ые содерыаынй явно вреиеив: е» Ь'„=Е ) т„г Н5„.
(11.13) ч л действие в этой форме реоомвтривал мопертюи. лагко видеть, что ыятегрел этой сумыы ), ют„ и„ с/5„ представляет собою работу 3' венторв количестве двмвеная ы- й точны не ее перемеменен. Теяерь ясно, что формула (11.13) вырывает следующий механический смысл действия ЪЧ» : действие по Лвгренву ревью суннарной работе векторов яолвчеств двяыенвя точек системы нв перемещении системы З.Свинь двиыений системы с гсов д е а я ч е а к а м и л и н в я н н .
, Ресснотрнм еще одно предстевлеыие действия ло Лагрвнву Чч„= Л ЛТЭ+, основанное не Фю исключении аэ него времени а скоростей с.помощью интеграла энергии 7+ О= я . Лв етого интеграла удвоеыная кныетичесная энергия онстемы определяется в виде ЕТ= й(Б-П). С другой стороны, для проиввольной ноысерватявной системм нннетичеснея аыергин вмревветоя черен обобщенные ноордиыеты в скорОсти по фОрмуле 2T=Е', а СУ)~,„У = — л 2„а~,фУ,.д~, . Отсидя следует, что дифференциал времеви воино представить в ф~е е ~я кь -е~ Подставив в выреяевие дейотввя по Легренлу энечеяия Я Т,щ сЫг по выыеп1мведевннм фо1мулвм, получим форнулу 164 (31.1Ф) Здесь нытегрмрозеыае созернветоя вдоль траектория, кзобрввващей точны в коордвнетном проотрвнстзе Е„ меаду ее панельным ° конечвын половенаянн Р,, Р, .
Этв формуле дает вырелевае дейст- вия з форне Якоби. Якобкеве форма дейотзкя зеоьмв удобна теа, что оыв вмете чното геометрыческнй характер, поокольку зрака к скороста в ней асключевы. Реосмотрпм дзавенае несвободной свезены прв отсутотваа вк- тызных сыл, т.е. прк П = О . Такое дзввенае называют вверцааль- ыын. В этом случае дейстзые И/» принимает более простой вад в..
Ы 1((г~н„;, Введем е коордвнетыОМ прОстрепстзс Е„ метрику, определен кзедрет длины дуги ~у5~ с помощью половвтельно определеывой нведретичвой дифференциальной формы е ~'лег~~) 'фе'у~т ~ юь-т" ~ге е (51 рй) после чего Е становятся рыненсзым прострвыством. Тогда дейотзие м/ только постояенын мновмтелем будет .отнпчатьов ст длв- Ю нм дуги Р Р трвекторыи,необревеющей точны: ме тле 5"'юь. Сем принцип стационарного дейотзня з форме Якоба пркнннвет ввд 85' б5=0, Р Текам обрезом, задаче об определевва кыерцнельного дзааенаа склерономной голоыоыной сметены сзодмтоя. к нвхокдеавю мкнннума интеграле /' Ы5 , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
