Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Рассмотрим задачу оптимального оценивании расширенного вектора состояния и параметров х (1) модели уравнений движения ЛА с кусочно-линейными характеристиками (4.3) 2 (У) =- А" (Е)х (1) + В' (Е)и (1) + бт (Х)ю (1) + с' (1) по пзмеренпям сигнала Ш1П (4.4) г (1) = Н' (1)х (1) + Ь' (1) + и (1) на отрезке времени [1м 1~!. Б качестве критерия оптимальности оценок используется функционал наименьших квадратов ошибок оценивания (4.5) — (4.7) 1( Р) '(О) =- И) !! (~о) — р( (~.)) !! г — г— + ('/,) ) (!! х (Р) — 11" (й) х (г) — й'(с) ![а- «> —,- /! ю (х) //о- <о) Й. Обозначим через х фЯ [1„1Д оценку вектора состояния и неизвестных параметров.с (1) по измерению сигнала г (8) ка отрезке времени [1ю Гу!. Как указывалось в гл.

'1, в зависимости от соотношения 1 и т~ имеем задачу оперативного оценивания состояния и идентификации параметров (8 =- 1,) пли задачу предсказания кояечного состояния (1 > 1~). Следующая теорема позволяет аналитически определить алгоритмы оптимального функционирования централизованных подсистем ПИП и ПОС (ПОСИП) для модели уравнений движения ЛА и ИИП с кусочно-линейными характеристиками. Теорема 4.4 (алгоритмы ПОСИП). Для выбранных моделей уравнений движения ЛА и ИИП с кусочно-лпнейнымп характеристиками вида (4.3), (4.4) соответственно оптимальные оценки текущего расширенного вектора состояния и неизвестных параметров х ($) = х~ (1/Я [г, 1,!), доставляющие минимум интегральному функционалу квадрата ошибок (4.5) — (4.7) и обеспечивающие устойчивость замкнутых ПОСИ11, определяются соотноше.

122 нием то(С) Ао(С) го(С) г Н» (С) гг (С) ~ со(С) + я (с) Н (с) Н г (с) [с (с) — Н' (с) то (с) — Ь' (с)), (4.45) где матрица Я (С) является решением матричного дифференциального уравнения о (С) = А' (С) Н (С) + Н (С) А т (С) + С' (С) С С( ) Сгот (С) 3 (С) Н (С) Н (С) ЕЕ (') 8 (С). (4.46) Начальные условия для алгоритма функционирования ПОСИП определяются соотношениями~ (Со) Сг (~ (Со))г Я(С,) =Р,. (4.47) (4.48) Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполагается, что модели уравнений движения ЛА и ИИП удовлетворягот сформулированным в равд.

4.2 условиям наблюдаемости. При этом для моделей (4.3), (4.4) применим разработанный в настоящей главе метод оценивания состояния и идентификации параметров негладких динамичоских систем. В соответствии с теоремами 4.2 и 4.3 оптимальные оценки аго (СЕЛ По, Сс)), решающие поставленную задачу аналитического проектирования ПОСИП, удовлетворягот обобщенному уравнению Эйлера — Лагранжа (4.11), (4.34), (4А2) с граничным условием Р (Со) = РО' (Е (Со) — Р, (х (Со))), Р (СС) = ().

го (С) — А (С) го (С) + Н ' (С) гг (С) + со (С) + С т (С) гэо (С). ро (С) = ЕЕ" (С) Н-г (С) (с (С) — ЕЕ' (С) йо(С) — й'(С))— — А' (С) ро (С):го (С) Г= Х; — сопч (Н'т (С) Н ' (С) (с (С) — Н'(С) йо(С) — Его(С)!— — А (!)ро(С) Н ' (С)Й г(С)(з(С) — Н (С)йо(С)— — Сго" (С)1 — Аоо Пт(С) ро(С)) ао(С)~=Х' Д Х"г; = Н'""' (С) Н '(С)'1=(С) — Н'"(С) У'(С) — Ь'"(С)1— о ~С '~ггт(С) о (С) уо (С),— Хо"г (4.

49) Обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (4.11), (4.34), (4.12) описывает процессы в замкнутой оптимальной ПОСИП и в соответствии с теоремой 4.2 имеет единственное решение. С учетом уравнений (4,3), (4.4) и выражения для функционала (4.5) — (4.7) обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (4А1), (4.34) имеет вид (4.53) (4.57) (4.58) с граничными условиями р (»о) = ро (х (»о) )» (х (»о)))~ (4. 50) р (г,) =0, (4.51) В (4.49) оценки д»о (Ю) определяются из условия (4.12): ч ' (1) й»о (1) +» 'т (Х) р' (Ю) = 0 почти всюду, нли „-,о (») д (») г »»т (») о (») Для определения решения обобщенного уравнения Эйлера— Лагранн»а (4.49) воспользуемся методом инвариантного погружения [108). Предположим, что в общем случае в момепт времени » = 1( выполнено условие ро (»)) = т, где т — некоторая проиавольная малая величина.

Кроме того, будем предполагать, что как величина т, так и момент 1» перемепны. Рассмотрим пекоторые два решения (4.49), удовлетворяющие условиям р' (»») = т и ро (1) + е) = т + Дт соответственно. Определим для первого решения функцию (т1 цт) х (~»)1 отражающую связь между граничным условием ро (Х») = т и значением решения хо (Х»). Предположим, что имеется решение, для которого при» = 1» выполнены условия р (1г) — т, х (1») = г (т, 1»).

Дадим 1» приращение 1)+ е. При атом соответственно получим ро (1) + е) = т + Дт," (4.52) и хо(» ( ) -о(») )'Дхо . (. ») ( Д..о С другой стороны, (1 + е) = г (т + Дт, 1) + е). (4.54) Приравнивая правые части (4,53) и (4.54), получим г (т, 1)) +3Дх' = г (т + Дт, (1 + е). (4.55) Разложим правую часть уравнения (4.55) в ряд Тейлора относительно т и ег. дг('», »Г) дг(т, »)) Дхо = У Дт+ е+ 0(е»). (4.56) Непосредствепно из (4.49) при 1 = 1) и р (1») = т почти всюду имеем Дхо = (А (е)) г(т, г») г Н (г)) и(г») + с" (~~)— — ~ ЯОМС (Ыт) е+ 0(е ) Дт — (Н~~(Е ) Н» (Е) [г(Ег) — Нот Яг(т Я— — Ь' (г))1 — А о~ (()) т) е + 0 (е'). При этом уравнение (4.56) принимает вид (А" (11) г (т, 11) + В' (11) и (11) + с' (1) — С" (11) (1 (11) С' (11) ) е = — (Н (11) Н (11) [г(11) — Н (11) г(т 11) — Ь (11)) —,"А (11)т)е+, 1 е+ 0(е'). (4.59) Разделим обе части уравнения (4.59) на е н рассмотрим предел при е — о.

О. Получим следующее уравнение в частных производных относительно функции г (т, 11): А (11)г(т, 11) + В (11)и(11) + со(11) — Со(11) Я11) С (11)т =- дГ(т, 11) от д, (Н' (11) Н '(11) [х(11) — Н'(11) г(т~ 11)— от дг(т, 11) ~о до Будем искать решение уравнения (4.60) в виде г (т, 11) = хоо (11) + Я (11)т.

(4.61) Здесь х' (11) есть решенно при т = О, ро (11) = О. С учетом (4.61) уравнение (4.60) преобразуется к виду А (11) х' (11) т А' (11) Я (11) т + В (11) и (11) + с' (11)— — Со(11) С(11) Сос (11) т = В(1) ЕНот(11) Н-'(11) [х(11)— — Но'(11) о (11) — Н' (11) В (11) т — Ь" М— — 1' (11) т) + х' (11) + В (11) т. (4.62) (4.60) Так как (4.62) справедливо для всех достаточно малых т, то, приравнивая коэффициенты при членах нулевого и первого по- рядков малости по т, получим соответственно " (11) =- А' (11) '" (11) + В' (11) и (11) + с (11)— — В (11) Н'т (11) Н ' (11) [х (11) — Н' (11) хо (11) — Ь' (11)3, (4.66) 1 (11) = А (11) В (11) + В (11) А ' (11) — С (11) Ч' (11) С (11) + + В (11) Н (11) Н ~ (11) Н (11)У (11).

(4.64) Заменим Я (11) на — Я (11). Кроме того, учитывая, что конечный момент времени 11 является произвольной переменной, обозначим 11 = 1. С указанными изменениями уравнения (4.63), (4.64) полностью совпадают с уравнениями (4.45), (4.46). Начальные условия получим из условия (4.50): Р (го) = Ро (х (га) Р (х (го))). 125 Решая это уравнение относительно хо (~о), получим (Го) = ~о (х (го)) 7 ор (1о) ° (4.65) Из сраэиения уравнений (4.65) и (4.61) следует хо (го) = и (х (Ко)), Я (Хо) = Ро. Докажем теперь устойчивость алгоритма оценивания (4.45), (4.46) Представим уравнение (4.45) в виде х" (Е) = (А (г) + Ь Р) Н (Е) Н (Е) Н (с)) хо(Х) + В (г) и(~) -( + ', ~ (г) †' В (г) Н' (~) Н- (~) (, (г) й.

(г)), (4.66) Уравнение (4.66) описывает замкнутую ПОСИП. При этом устойчивость процессов оценивания определяется матрицей (Ао (1) Я ЯКчт (1)Н-1 (~)Но (1)) (4.67) Покажем, что матрица (4.67) является устойчивой. В установившемся режиме Я (1 -о- оо) = О. При этом соотношение (4.46) можно записать в виде ( 4о, ЯН~"ГВ-тН~) о + с (4о ( ВН'тН 1НУо = — 6 4Н' + ЯНт~Н 'Н~3. (4.68) Очевидно, что матрицы 6'()6от, ННотН 1НоЯ в (4.68) являются положптельно-определенными.

При этом непосредственно из известной леммы Ляпунова [74) следует, что матрица (4.67) является устойчивой. Тогда в соответствии с теоремой 4.3 подсистема оценивания состояния и идентификации параметров, алгоритм функционирования которой определяется соотношениями (4.45), (4.46), является',асимптотически устойчивой в целом. Построенные алгоритмы функционирования ПОСИП сведены в табл. 4.1. Интегрирование полученных уравнений (4.45), (4.46) в реальном масштабе времени с начальными условиями (4.47), (4.46) позволяет получить последовательную оценку расширенного вектора состояния и неизвестных параметров. Следует отметить, что в достаточно общем случае процессы оценивания состояния и идентификации параметров могут быть разделены, что соответствует разбиению ПОСИП на две подсистемы: ПИП и ПОС.

Характеристики

Список файлов книги