Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Таким образом, гиперповерхпость Я, касается множества К в точке .т„(1;) и я есть их общая опорная гиперплоскость. 11о тогда из следствия 3.1 вытекает, что гиперповерхность Я» соответствует оптимальному значению критерия качества и х„(1~) = х~ (1~), са где .с„(1~) есть оптимальное решение. В силу единственности зкстремальпого управления (теорема 3.19) справедливо равенство и (1) = из (1) почти всюду. Теорема доказана. Теперь мы переходим непосредственно к построению алгоритмов функционирования управляющих подсистем 11СТУ с предсказанием коночного состояния для модели ЛА и предсказания с кусочно-линейными характеристиками (3.89), (3.90) и интегрального квадратичного критерия качества термнпалшгого управления вида (3.91). Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.21. Для модели ЛА с кусо пнь-лппсйнымп характеристиками (3.89) закон управления и' === и' (х' (е)), доставляющий минимум крптершо качества терминального управления (3.91), определяется соотношением пз (1) Л-г (1)В»т (1)(Я (1)хз (1О) ~ й (1)) т — 1 2 Л', (3.107) где функции Я (Х) и й (Х) являются рсшснпямп соответствующих матричных уравнений: Я (г) = Я (г)А» р) А т (1)Я (~) + + Я (г)В» (1)В-1 (Г)В»т (1)Я (1) П»т (г)о (г)1)» (Ц 96 й (Е) = — А' (Е)й«)+ Я(Е)В «)В- «)В» «)й(Е)— — Я (Е)с» (Е) + Р»т (Е)(3 (Е)у (Е) — 1 Р»т (Е)~ (Е),Е» (Е1 (ЗА09) с граничными условиями Я (ЕЕ) = Р'т (Е~)Я~Р» (Е~), (3.110) й (ЕЕ) = — Рэт (Е~% Ьо..
(ЕЕ) — а (ЕЕ)). (3. И1) Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с теоремой 3.17 оптимальный процесс (хо (Е), й (Е)) для задачи аналитического проектирования (3.89) — (3.91) является решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.92) с граничными условиями (3.93), (3.94), где оптимальное управление определяется в виде (3.95). Кроме того. как следует из теоремы 3.20, решение обобщенного уравпюшя Эйлера — Лагранжа существует и единственно.
Таким образом, задача аналитического проектирования (3.89) — (3.91) ааключается в нахождении произвольного решения ио =- ио (хо (Е)) включения (3.92), удовлетворяющего граничным условиям (3.93) — (3.94) и соотношению (3.95). Подставляя (3.95) в (3.92), получим следующую систему уравнений относительно векторов хо (Е) и ро (Е): хо (Е), А» (Е)хо «) В» «)В-т (Е)В»т (Е)ро (Е) ( с» (Е). ро (Е) = — Р»т (Еф (Е) Р,(Е) хо (Е) — Р'тЦ(Е)0 (Е)еЮ» (Е) — (3.112) А1г (Е)ро (Е) + Р»т (Е)~') (Е)Н (Е) с граничными условпямп (3.93), (3.94).
Решение системы (3.112) будем искать н виде р' (Е) = Я (Е)х' (Е) + Уо (Е), (3.113) Дифференцируя соотношение (ЗА13) в сплу системы уравнений (ЗА12), почти всюду имеем Я(Е) хо(Е) ~ Я(Е) 1э (Е)хо«) Я(Е)В» (Е)гэ-э(Е)В»т «)Я(Е)хо(Е) — Я (Е) В» (Е) В ' (Е) В»т (Е) Ео (Е) + Я (Е) с» (Е) + Ег (Е) + т Р»т (Еф(Е)Р»(Е)хо(Е) ) Р»т (Е)«Э(Е) А» (Е) +А»т (Е) Я«)хо (Е) + + А (Е) Х'(Е) — Р»т (Е) ~ (Е) Рээл (Е) = О. (3.114) Приравнивая члены в (3.114) при соответствующих степеняхх'(Е) и учитывая, что х'(Е) цй О, получим систему уравнения относительно неизвестных Я(Е) и Ег (Е): Я (Е) = — Я (Е) А' (Е) — А (Е) Я«) + Я (Е) В (Е) В ' (Е) В' (Е) Я (Е) Рот (Е) ~ «) Р» (Е).
Ус (Е) =- — А»т (Е) й (Е) + Я (Е) В»(Е) В э(Е) В»т (Е) Ус (Е) — Я (Е) с» (Е) + Р»т (Е) (7 (Е) Ь.аа «) — Е» (Е)) о закаэ эв сз76 97 которые совпадают с уравнениями (3.108), (3.'109). Определим для ~(1) и й(г) граничные условия. Полояоим прп 1 = 1 й (~ ) — Рът (Г~) Я ]У~аз (1Г) Дч (~~)] (3.115) Сравнивая выражения (3.94) п (3.113) прп 1 = 1~ с учетом (3,115) получим Я(1,) = Р'т(1,) Я~Р"'(г,). Наконец, подставляя выражение (3.113) для р'(1) в соотно (3.95), получим требуемое вырая<онпе для алгоритма оптпмал ного термпналышго управления (3.107).
Несмотря на внешнюю простоту полученного алгоритма упр ления, его реализация сопряжена со значптельпымп трудностям„ Действительно, длЯ Реализации закона УпРавленин (3,107) н ' обходимо априорно, до начала функционирования системы, интегрировать в обратном времени уравнения (3,108), (3 109) с граничными условиями в момент Ю~ (3.110), (3.111) соответственно, Получаемое решение должно быть заложено в память управляю щей вычислительной машины и используется для реализации и (х (1)) в процессе функционирования. При этом, очевидно модель с кусочно-лнпейнымн характеристиками (3.89) должна быть также построена априорно и заложена в память машины Однако при решении практических задач это удастся сд( лать лишь в исключительных случаях. Кроме того, возникает сложная задача определения принадлежности текущего вектора состояния тому пли иному участку аппроксимации.
Наконец, для управления ЛА не удается, как правило, обоснованно априорно задать точное значение 1~ момонта окончания процесса управления. Это также существенно ограничивает круг задач терминального управления ЛА, рошаемых с помощью представленного алгоритма. Значительные возможности решения указанных проблем дает рассмотрение случая, когда параметры моделя с кусочно-линейными характеристиками А~, В', с", Р', д' являются постоянными на каждом участке т аппроксимации и управление рассматривается на бесконечном интервале времени, т. е.
1~ — — со. Такой подход позволяет охватить достаточно широкий круг задач управленпя ЛА. Действительно, реализация систем управления современных ЛА на БЦВМ предлагает задание уравнений движения ЛА лишь в дискретные моменты времени Ея, соответствующие дискретности формирования управляющего воздействия.
Прн этом построение модели с кусочно-линейными характеристиками, т. е, вычисление элементов Ат, В', с~, Р', Н", осущоствляется на каждом шаге дискретности формирования сигнала управления в реальном масштабе времени. Кроме того, рассмотрение процесса управления па бесконечном интервале времени (11 —— оо) связано лгнпь с обеспечением компенсации (т. е. установившегося режима) ошибки терминального управления за время, меньшее времени окончания всего процесса терминального управления. 98 В рассмотренном случае модель уравнений двкжспия ЛА ямоет вид х (1) = А»х (1) + В»и (1) + с». (3.116) Критерий качества записывается соответственно в виде 1(х(1), и (1)) = (о/о)~ (1! Уоод —.0'х(Г) — И» $оо1 + Ц и(1) Ц~в) й, о (ЗЛ17) где ~1 — положительно-определенная матрица.
Необходимо найти закон управления и' = и (х' (1)), доставляющий минимум критерию качества терминального управления (3.117) и обеспечивающий аспмптотпческую устойчивость замкнутой системы терминального управления 11ш Ц уоод — 0 х (1) — д Ц = О. (3.118) о Последнее условие (3.117) эквивалентно условию 1(ш Ц а (г) Ц = О (ЗЛ19) о прн уоо„(1 — о- оо) =- О. Следующая теорема позволяет построить управление, решающее сформулированную задачу аналитического проектирования (3.116) — (3.119).
Теорема 3.22. Для модели ЛА с кусочно-линейными характеристиками (3.116) закон управления ио = ио (хо (1)), доставляющий минимум критерию качества (ЗЛ17) и обеспечивающий аснмптотическую устойчивость замкнутой системы терминального управления, определяется соотношением ио = — Л гВ»т (Я»хо (1) + 7о»), (3.120) с граничными условиями хо (1 = ао) = О, р' (1 = оо) = О. Найдем соответствующее решение (3.123). Положим, что ро (1) Д» о (1) 1 У„.» (3.124) где элементы Я», Й» на кандидом участке аппроксимации т являются решениями матричных уравнений (3.121) А'т7о» вЂ” Я»В»Л 'В»тй» + Я»с» — 17»ТО (у,о~ — д»] = О. (ЗЛ22) Д о к а з а т о л ь с т в о.
Единственное решение рассматриваемой задачи аналитического проектирования определяется обобщенным уравнением Эйлера — Лагранжа (3,92), которое записывается в виде системы уравнений хо (Г) —,4»хо (1) д»я-тд»тро(1) + с» (3.123) 11о(Г) д~д1)» о(1) т7»~до1» А»т о(1) ) 1)»~ду на каждом участке аппРоксимапии и Я = сопзг Ее' = сонзе для любого т. Дифференцируя (ЗА24) в силУ УРавнепий (3,123) и пРиравнпвая члены прн соответствуюгцих степенях х (Е) получим э систему уравнений относительно неизвестных Я,,'с ': Я»4» + 1»гЯ» Я»В»Л эВ»~Я» + В»где» О А~уэ» Я»В»Л-эВ»тй» + Я»с» Д»г(~ (у Е») О (3.125) (3 126) Покажем, что рэ (Е), хэ (Е) являются искомыэш решеннямн ответствУющими УсловиЯм х' (Е = оо) =- О, Рэ (Е = оо) — () пр уээд (Е = оо) = О.
Запишем уравнения замкнутой системы тер минального управления, соответствующей управлению (3,95) Имеем хэ(Е) =(А' — В Л 'В Я ]хэ(Е) — В'Л ~В й" + с». (3 127) Покажем, что матрпца ( 4» В»Л эВ»~Я») является устойчивой. Представим уравнение (3.125) относительно Я' в виде (А» В»Л-эВ»~Я»)т Я» + Я» ( 4» В»Л-эВ»~Я») — В»тч0» Я»В'Л 'В'тЯ' Поскольку Я'В"Л 'В'"Я» ~> О как симметрическая матрица и ее ) О по условию теоремы, то из известной леммы Ляпунова [74) следует, что матрица замкнутой системы терминального управления (А» — В"Л 'В тЯ»1 есть устойчивая матрица па каждом участке аппроксимации.
Непосредственно пз представленного в равд. 3.5 обобщения прямого метода Ляпунова следует, что замкнутая система терминального управления (ЗА27) аспмптотнчески устойчива в целом. При атом выполняется граничное условие х (Е = оо) =- О при уээд (Е = оо) = О. Кроме того, прп у,„д (Е = = оо) = О считаем Яе — — О.
Отсюда получаем, что найденное решение удовлетворяот и второму граничному условию р' (Ее =ао) = О. Теорема доказана, Прн решении ряда задач терминального управления появляется необходимость в предъявлении требований не только и величине конечного промаха, но и к значению производной й (Е) терминальной ошибки управления, которая с учетом кусочно-линейного представления (3.90) вектор-функции прогноза у =-- е) (х) описывается соотношением е(Е) = у„д(Е) — Е7'х (Е). При этом критерий качества записывается соответственно в виде Х(х(Е), х(Е), и (Е)) = (~/ ) ~ (Ц у„д — В~х(Е) — е)» Я + э + Ц у„д — эЕ х (Е) )/О, + ~/ и(Е) Цл) Й, 100 где Ч, ~, Л вЂ” положнтельно-определенные матрицы. След ет отметить, что минимизация такого функционала качества приводит к закону управления вида и (1) = и (х (1), х (1)), реализация которого связана с необходимостью непосредственного определенгя как вектора состояния, так и его производных.
В том случае, если компоненты вектора т (1) недоступны непосредственному измерению, возможен следующий подход. Величина производной терминальной ошибки управления с учетом уравнения (3.116) моделя с кусочно-линейнымн характеристиками может быть представлена в виде е (1) = у»ад (1) Р»А»х (1) — Р»1»и (~) — Р»с» 11собходпыо определить в замкнутой форме и' (1) =- иа (х (1)) алгоритм управления, оптимальный по критерию качества терминального управления СО ~ (х (~)~ и (~)) = ( !а) ~ (3 Уаав (Е) Р х (~) и ПЯ + + й уааа Я вЂ” Р'А»х(1) — Р'В»и (~) —.0'с» ф, + ц и(~) йяя) й и обеспечивающий асимптотическую устойчивость замкнутой системы терминального управления.
Следующая теорема позволяет получить управление, решающее поставленную задачу. Теорема 3.22А. Для модели ЛА с кусочно-линейными характеристиками (3.116) закон управления иа (Х) =- иа (ха (Е)), доставляющий минимум функционалу качества Х (х (Ю), и (Х)), н обеспечивающий устойчивость процессов терминального управления, имеет впд иа( ) (та + В»~Р»~д л»)-т(В тр то — Р А»х(с) — Р"с»] — В»7 Р хая+ й»]) где матрица Я» и вектор к» являются решениями матричных алгебраических уравнений -"А»+ А»тз» вЂ” »» (Л + В»тР»тд л»)-т В"»— — ЯВ (В + В»~Р»~Д Р»В ) ~ В~~В ~Я~РВА + 1»гР»~~1 Р» 1» А»ТР»тд л» (В + + В»тР»т~л ), В»тР»т~ Р» 1» + Р»т( Р» ~»тй» В»В»(В + В»7Р»гд РаВ»)-т В»тй„ А»ТР»г(~ л» (В ~ В»тР»т(3 л»)"т В» ь» + Я с' Р Д[р (~) — й»]+ + В В'(Л + В"Р"О,Р'В')- В"'и"О, У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
