Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Эа метим, что определение свойств и границ множества достижпмостп имеет также важное прикладное значение, так как позволяет фак тически ответить на вопрос об осуществимости поставленных тре бований. Определение 3 11. Для модели ЛА вида (3.89) п критерия ка чества (3.91) зсножеством достпжпмости К (х (со), сс) называется совокупность конечных точек траекторий в пространстве Л"+' вида (и. (б) = (С (С~)* х. (1~))) (3.102) соответствующих всевоаможных допустимым управлениям и (С) на интервале с я= [Со, С [.
Установим некоторые свойства множества достижимости. 11меет место следующая лемма. Лемма З.З. Для модели динамического объекта управления с кусочно-лпнейнымп характеристиками и квадратичного критерия качества (3.91) множество достпжимостн К (х (Хо), Хс) С Во~1 выпукло и замкнуто. Д о к а з а т е л ь с т в о леммы непосредственно следует из линейности уравнений (3.89) по х (~) и выпуклости норм функционала (3.91).
Докажем выпуклость множества К. Пусть )„~ — (1~ х )~=.К(х(с) с) 1сг = (1,'ь, х, ) е= К (х (со), сс), — две точки, соответствующие управлениям и, (г), иг (г) на отрезке времени г ~= [с„с~[. Пусть )с = (Ус', Л) = асс, + (1 — а)йо для а е-= (О, 1). Для того чтобы доказать выпуклость К, необходимо построить управление, переводящее систему из точки (О, х (1о)) в й. Положим й (г) = аи, (г) + (1 — а)и (г). Тогда в силу уравнений движения (3.89) модели с кусочно-линейиыхиг характеристиками имеем хл(Рс) = ах„, + (1 — а)хо, = Е 11ромо того, в силу выпуклости норм и вида критерия качества (5.91) получим 1о(с). (о , .(1 )1о ~„.о Отсюда непосредственно получаем, что точка 1с = (" ") ствующая управлению й (г), принадлежит К.
Следовательн, . С тельно, К выпукло. Пусть теперь К вЂ” замыкание множества К. Тогда каждая граничная точка Й = (/рр, й) множества /р имеет опорную гиперплос- кость с внешней нормалью, направленной в сторону гиперплос- костп 1Р = О. Следовательно, существует точка тр — — (О, х (1р)) такая, что /р — единственная точка в /р, ближайшая хР, т. е. й опре- деляется как единственная точка нз К, удовлетворяющая условию ~/РРсз — ' ссср — х(ср) ссз = 1п1 (сгРсз + ссг — х(ср) сса). !'ЯК При этом можно показать, что для каждой заданной точки (О, х (гр)) существует точка /р ~= К, удовлетворяющая этому условию [74), Отсюда непосредственно следует, что К = К, и, следовательно, множество К замкнуто. Имеет место следующая теорема существования решения за- дачи аналитического проектирования УП.
Теорема 3.18. Рассмотрим модель уравнений движения ЛА с кусочно-лннейнырсп характеристиками вида (3.89) Ф (1) = А' (1)х ссГ) + Х'т (1) и (Е) + с' (1) н критерий качества терминального управления (3.91) 1 (х (г), и (с)) = ( /,) )( урра(1 ) — Х)" (~С) х Ц) — г)' (1Г) Ят -С- сс ( /р) ~ (сс ссррд (~) Х~ (~) х (") с (~) 1Ьссс т сс сг (~) ссасс)) с~~ с, (3.103) является замкнутым и имеет непустую внутренность. Кроме того р это множество выпукло, поскольку нз неравенств ~ ~ (хи~ Я~ ~с) + Хи~ ( сг и Чс (хр, (Гг)' 11) + Хп, ( сд Если матрицы Ь~, ссс (~), В (~) для каждого момента времени г являются ноотрицательно определепнымп, то существует оптимальное управлешш, минимизирующее критерий (3.91). Д о к а з а т о л ь с т в и.
Рассмотрим множество достижимостп К (х (1р), 11). В соответствии с леммой 3.3 множество К выпукло и замкнуто. Поскольку каждоо допустимое управление и определяет точку (Х„' (1~), х„(Г~)) ~-= К, то необходимо лишь показать, что минимум действительной функции 1 (х (1), и (1)) достигается в К. С учетом неотрицательной определенности матрицы 51 функция 'Р~ (х (Ь)) =- ('/р) П Рр а('~) — Х) (1~) х (Ь вЂ” "'(М Ьс является выпуклой. При атом для любого действительного числа сг подмножество в пространстве Л""', для которого Чс (х (гу), 6 ) + ХР ( с, следует. что Чс (<<х + (1 — Я)хн) + сс1< + (1 — сз)1«< «( сс.
Рассмотрим постоянное число с, такое, что соответствующее ему множество пересекается с К, и докажем, что зто пересечение огра. ничено и, следовательно, компактно. Из етого будет непосред ствеино следовать существование оптимального управления. Пусть и — гиперплоскость в Л"+', опорная к выпуклому*мне жеству (3.103). Покажем, что для точек (1', х) ~ К с достаточно большим ( х ~ выполняется неравенство 1е ) <сс ( х ( для задан.
ного А." О. Такие точки должны лежать выше и, следовательно, 1<' ~. г,. Установив зто, мы получим требуемую компактность, 15 соответствии с (3.89) для точек (1О, т) ~ Я имеем с1 с х (11) ) <) Ф' (11) .г (1<с) ) + ) ~ Ф' (11) Ф' ' (т) В' (т) и (т) с сст -с- с, с. —, ~ ~ Ф (11) Ф'~ " (т) с' (т) ~ <5т. (3.104) Если <1 ~ х (11) ~ «2 (~ Фт (11) х (1е) ~ + ~ ~ Ф' (11) Фт< О (т) с'(т) ) с5т) (3.105) с, ~ <1с (11) Ф ~ (т) В (т) ( '.
М (1р .'. т «11) тс иэ (3.104) получим с. ~ ~ и (т) ~ сгт,.:- (1с(ЗЛХ)) ! х(11);. (3 106) Пользуясь неравенством Шварца, получаем сс !I ~, и (т) ~ с5т = г. ~ ~ 1~ и (т) ~Р с5т ~ лля п<сст<сяии<сг<с с, р О. Таким образом, для достаточно больших :. „',. ул«влетворяюсцсск неравенству (3.105), имеем сс (1,) '. ~31'сс ) и(т):, с5т -., с,1 (11) ° с', Следовательно, имеем 1О (11) ~ 1с ~ х (11) ~ и точки (1~ (11), х (11)) б-= = Л лежат выше гиперплоскости и. Отсюда следует, что замкнутое пересечение множеств (3.103) ограничено, а значит, компактно.
Теорема существования доказана. с.'. л е д с т в и е 3.1. )1оссс<сльку функция 10 монотонно убы- вает, то оптимальное управление должно переводить нть систему в точ- ку, лежащу>о на границе К С 1Р+'. Таким образом, экстремаль- ными являются те управления, которые переводят систему в точки, лежащие на границе К. Таким образов>, решение рассматриваемой задачи аналити- ческого проектирования (3.89), (3.91) существует и в соответствии с теоремой 3 17 является решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.92), (3.95) с граничными условиямп (3.93), (3.94). Покантем, что в рамках рассматриваемого подхода опти- мальное решение задачи аналитического проектирования УП единственно.
Имеет место следующая теорема. Теорема 3 19 (единственность решения задачи аналитического проектирования УП). Рассмотрим модель уравнений движения ЛА с кусочно-лпнейшамн характеристиками х (1) = А ' (й)х (1) + Л' (Е)и (С) -+ с' (1) с множеством достпжнмостп К С Л"+>, соответствующим крите- рию качества (3.91). !!усть и, (1), иа (1) — экстремальные решения с соответствующими решениями х„, (1), х„. (1) в Л"'">. Если х„, (т>) =- х„„(1>), то ид (Г) = и, (с) почти всюду. Доказательство, Пусть р (~>) = ( — 1, р(1>)) есть внешняя нормаль к К в точке х, (1>) = х, (Г>) и пусть р (1) — со- ответствующее рошеппе уравнения (3.92).
Тогда, как показано в теореме 3.17, и, (С) == и, (~): — - — Л ' (>)Втт (Х)р (Е) почти всюду. Действительно, к противном случае число 1> (Е>) х„, (1>) = = )> (Х>) х„, (Ю>) было бы меньше, чем (> (1>) с> для некоторого о> ~ К, что противоречит теореме 3.2 об оптимальности управле- ния. Теорема доказана. Сформулированные теоремы 3.17 — 3.19 о необходимых п до- статочных условиях, о существовании и единственности решения задачи аналитического проектирования используются для по- строения оптимальных алгоритмов функционирования УП ИСТУ с предсказанием конечного состояния ЛА. Пока>кем, что в рамках подхода, основанного на кусочно-ли- нейной аппроксимации и интегрального квадратичного критерия качества терминального управления, обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа имеет единственное решение. Теорема 3.20 (о единственности решения обобщенного урав- нения Эйлера — Лаграпнта).
Рассмотрим модель уравнений дви- жения ЛА (3.8',)) с критерием качества терминального управле- ния (3.91). Тогда обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (3.92) имеет единственное реп>ение, удовлетворяющее граничным усло- виям (3.93), (3.94) (нлп (3.99), (3 100)), а именно оптимальное ре- шение (ха (1), и' (1)) такое, что управление (3.95) является оптимальным на интервале > Е= (1ю г>!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем вектор р (Ег) = ( — 1, р (с ) где р Я = (1~2) ягай ч'г (х (гт), гг). пусть теперь (х (1), р (г)) есть произвольное решение обобщенного уравнения Эйлера — Ла.
гранжа (3.92) с граничными условиями х (Г») = х„, р (ГГ) = (1/2) огай Чгт (х (гт), ГГ), определяемыми соотношениями (3.93), (3.94). Тогда х, = (1' (1), х (г)) есть решение, определяемое зкстре мальным управлением и (Г) Д-1 ЯВит (1)р (г) Более того, в соответствии с теоремой 3.2 з(ь)х„(г) = — 7О(гг)+ р(г,)х(ь)) р(гг) й для всех о3 Ф х, (г~) из К. Таким образом, вектор р (г~) является внешней нормалью к опорной гиперплоскостп я множества я в точке С„(1~). Кроме того, р (Гг) есть внутренняя нормаль к гиперповерхности Я,: 1о (г) в точке й„(г~), поскольку р (1~) = — (1!2) дгаб Ч'~ (х (1т), 1~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
