Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 19
Текст из файла (страница 19)
$ (Ч, 1) С Йр прк всех 1 Г=!1'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из ограничонностп <о-пргдельпого множества 1)„с»сдует ограниченность траектории с (-„, 1) обоГ>- щенного уравнония Эклера — Лагранжа (3.82) при всех ~ О. Действительно, осли существует такая последовательность />— -+. со, что [[ ~ (с„, >>) [[ — +. со, то в силу непрерывности вскторфункции $ Ям!) и ограпнчепностн Ыр найдется и такая последовательность 1>;) >х>, что векторы я Я», >,) находятся в ограниченной области и отделены от 11> А тогда точка сгущении для траектории $ ($,, >;) будет ю-предо>п,ной точкой, не принадлежащей Ы„, что противоречит определегпно Ы[,. Пусть 6 — ограниченная область в Л", в которой заключена траектория а ($„ >) при 1,.
О. Поскольку Ч ~ й», то найдутся такие моменты 1>ч что )> .. О, (1>) — ~ >> и $> — — $ (Ц, 1>) ->- Ч при г-~ оо. Ири Г >=- [О, т) и всех 1 векторы у (йе> >) 6 (ью >> + >) находятся в С, если 0(т <1„где О<-1,~ 1, - < Г, ~ — ;:. По тгороме 3.0 существует такая подпоследовательность (~;,), что ь>а — Ч, а вектор-функции у Я>„, 1) при 1 Е= [О, т) и >а — >- ~ сходятся к некоторому решению у, (Ч, >) обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.82), удовлетворяющего начальному услови>о у0 (Ч О) — Ч. Траектория у, (Ч, 1) ' ' Йе при г Е= [О, т), так как $ (~„1,„+ + г) -+. у, (Ч, 1) прн >>,. -+. оо.
Повт орив проведенные рассуждения для о>-пределы>ой точки у, (Ч, т), выделим из >а такую подпоследовательность [а, что а Я„, >>, + 1) сходится при 1 Е= [т, 2т) к некоторому решени>о д, (>), удовлетворяющему условию у, (т) = = У, (Ч, т). Таким обРазом, полУчаем тРаектоРию Уа (Ч, Г), которая проходит через точку Ч и прп Г ~ [О, 2т) состоит из о>-предельных точек траектории $ Д„Г). Продолжая этот процесс, можно построить траекторию, принадлежащую Й при всех 1. Отметим, что доказательство этой теоремы такжае следует непосредственно из теоремы 3.7 и свойств а>-предельных множеств обобщенных динамических систем [11).
Среди различных методов качественного исследования оптимальных систем терминального управления наиболее эффективным является прямой метод Ляпунова. В работах [12, 36, 118, 119) дано обобщение прямого метода Ляпунова на негладкие динамические системы. В следующем параграфе сформулированы и доказаны основные положения прямого метода Ляпунова применительно к аадачам терминального управления. Метод используется также для полученля условий, обеспечивающих устойчивость систем терминального управления ЛА с предсказанием конечного состояния нг этапе аналитического проектирования. 3.5. Обеспечеппе устойчивости замкнутых систем терминального управления в условиях полной информации Необходимость рассмотрения вопроса обеспечения устой „з стп замкнутых систем терминального управления связана с что оптимальность управления в общем случае необязатель„„ влечет за собой устойчивость процессов управления (14, 17 43 59, 62, 71).
В частности, использование некоторых критерпе качества может привести к тому, что оптимальное управлепве будет дестабилизировать систему. Следует отметить, что навес ные в настоящее время методы исследования на устойчпвос являются в основном методамн анализа. Кроме того, известные методы доведены до эффективных алгебраических критериев ус тойчивости лишь для линеаризованных моделей динамических объектов (ЛА). В то же время рассматриваемые системы терпи нального управления являются принципиально нелннейнызщ. Указанные обстоятельства привели к необходимости разработки аффективных методов обеспечения устойчивости систем термнпаль ного управления на этапе их аналитического проектирования, Задача обеспечения устойчивости систем терминального управления ЛА заключается фактически в установлении соотношения между выбираемым критерием качества терминального управления, способом построения модели уравнений движения с кусочно-линейными характеристиками и показателямп устойчивости процессов управления.
С целью решения указанной зазачи в настоящем разделе изложен разработанный в (36, 119] метод, основанный на обобщении основных положений прямого метода Ляпунова. Метод позволяет провести качествепное исследование топологической структуры пространства решений замкнутых систем терминального управления, получить оценки областей установившихся решений, областей притяжения. Основное достоинство ааключается в том, что полученные результаты позволяют, как будет показано в следующих разделах этой главы, сформулировать конструктивные требования к выбору весовых коэффициентов критерия качества и способу построения модели с кусочно-линейными характеристиками.
Как показано выше, обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (3.66), представляющее необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, описывает замкнутую оптимальную систему терминального управления. Поэтому вопрос об устойчивости систем терминального управления может быть разрешен на основании исследования на устойчивость решений обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (ОУЭЛ) (3,66). Особенность решения задачи обеспечения устойчивости замкнутых систем терминального управления заключается в том, что ОУЭЛ имеет в общем случае неединственное решение. В соответствии с терминальными условиями в задаче аналити- ческого проектирования УП (3.5), (3,6) срг(в® Ы О при граничные условия для ОУЭЛ определяются значением с (1с -+.
-~со) = О. Следуя терминологии Ляпунова (61, 761, назовем решение $ (1) = О невозмущенным, Введем определение устойчивости по Ляпунову невозмущенного решения ОУЭЛ (3.82). Определение 3.5. Невозмущенное решение $ (1) = О ОУЭЛ (3.82) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого положительного е ) О, как бы мало оно не было, молсно подобрать другое число 6 (е) ) О, такое, что для всех решений ~ (г), удовлетворяющих в начальный момент времени 1е соотношению Ц В ИЦ:--6 при всех Г) ге будет выполняться неравенство Ц В(Г)Ц-е .
В противном случае решение $ (1) = О неустойчиво по Ляпунову. Невозмущенное решение $ (е) = О ОУЭЛ называется асимптоти- чески устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову, и число 6 ) О можно выбрать настолько малым, что для всех решений, удовлетворяющих неравенству Ц ь(ее)Ц~ 6, выполняется условие 1пп 3~ (г) = О.
Следующая теорема дает достаточные условия устойчивости невозмущенного решения ОУЭЛ. Теорема 3.9 (об устойчивости). Пусть в некоторой окрестности у начала координат пространства Ле" существует непрерывно дифференцируемая по $ определенно-положительная [761 функция К = К Я), обладающая свойствами: 1) е' Я (Ю)) -э- со при Ц 5 Ц-~ ао; 2) Т' Я (г)) не возрастает вдоль любого решения $ (г) ОУЭЛ.
Тогда решение $ (г) = — О устойчиво по Ляпунову. Д о и а з а т е л ь с т в о. Пусть е ) Π— произвольное сколь угодно малое положительное число. Рассмотрим множество всех значений величин ", ограниченных сферой Ц $ Ц = е из окрестности У. Пусть 1 — точный нинсний предел функции $'(с) прн условии Ц Ц Ц = е, т.
е. 1 =- пп'и $'(Ц. Щ~=е Это означает, что У Я) ) 1 при Ц $ Ц = е. Число 1 является, очевидно, положительным, так как функция У Я) может принимать на множестве У только положительные значения. Выберем поло- 8$ жительное число 6 ) 0 такое, что 6 ( е и 6 настолько мало, чт„ Г (=) -- 1 для всех ~, для которых (! $ !! ( 6. Такой выбор числа 6 возможен, так как К ($) — Функция непрерывная и обращается в нуль только з начале координат. Рассмотрим теперь произвольное решение 5 ($„1о) ОУЭЛ (3 62) проходащее пРп 1 = го чеРез точкУ $о = $ ($о 1о), лежаЩУю в ласти !! $ (! ( 6. Так как $' ($) пе возрастает вдоль любого решепия ОУЭЛ в ласты !! $ !! ( е, то при всех 1)~ 1о выполняется неравенство Отсюда непосредственно следует, что прн всех | ) 1, будет выпол нено неравенство !! В ($1) !! ( е причем решение 5 К„1) ограничено в силу условия 1 теорем, Таким образом, решение $ (1) = — 0 устойчиво по Ляпунову.
Дей ствительно, если неравенство !! ~ Я„1) !! ( е нарушается, то дол жен существовать момент времени 1 = Т, при котором выполняется равенство и, следовательно, $' ($) ~) 1, но зто невозможно в силу выполнения неравенства !'($) (1. При решении ряда практических задач важным является обеспечение асимптотической устойчивости процессов в замкнутой системе. В частности, прп решении задач аналитического проектирования систем терминального управления зто позволяет свести ошибку терминального управления в установивгпемся режиме (1~-~ оо) к нулю. Следующая теорема дает достаточные условия асимптотической устойчивости тривиального решения $ (1) ен 0 ОУЭЛ. Теорема 3.10 (об асимптотической устойчивости).
Пусть в некоторой окрестности 11 начала координат пространства Ли' существует непрерывно дифферепцируемая положительно-определенная Функция У = К Я), удовлетворяющая условиям (, 2 теоремы 3.9 и обладающая свойством: нп одна из поверхностей T (~) = с прп с 0 не содержит целиком нп одного решения ~ (г) ОУЭЛ (3.82). Тогда решение $ (1) = — 0 аспмптотическн устойчиво по Ляпунову. Доказательство. Пусть е)0 — произвольное положптельное число, такое, что множество значений $, удовлетворяющих условию !! $ !! ( е, лежит в окрестности У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
