Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ч,. (с ) сЕЕ) Ч (т) дт +~ дъ" (т) с1 (т) — ~ (~ Н '(Е) 7. с(Е)) Ч(т) с[т+ с. т сс сс сс ' ~ Ч с, (Ес) Ч (т) б (т — Ес) с[т = ~ сЕЛ (т) Ч (т) дт + ~ Н то (т) э1 (т) = О, (3.26) где введено обозяаченпе сс сс Л( ) = \ 5 '~'.,(Е) дŠ— ~ дт (Е) Х. (Е)+ ~Е„,(+Ь. (3.27) с, Из выражения (3.27) следует, что Л ( ) является абсолютно не прерывной функцией на [ео. ес) с начальным условием л (еа) = О.
Следовательно, Л (Е) — каноническая функция [51. Так как то (.) также является канонической функцией ограниченной вариации, то пз уравнения (3.26) н свойства единственности в теореме Рисса [5] следует. что Л (т) †, 'тсо (т) = — О. (3.28) Тогда та ( ) также абсолютно непрерывна, а ее производная р' (т) = та определяется выражением ро (т) = йо (т) = — Л (т) = сс сс = — ~ Х" Чс с (Е) с[Е + ~ Р' (Е) У,.(Е) с[Е + Чс, (ЕЕ).
(3.29) Соотношение (3.29) зквпвалентно дифференциальному уравнению вида ЕЕ" (Е) = ).о 'у. ,(Е) — р'(Е) 1,, (Е). (3.30) получим неравенство у (Е), Ч (Е)> -., зпр (с)ОЧ',. (Е), Ч (Е)> — (ро (Е)Е',. (Е), 7(Е)>: : Ч'„. (Е) — д„оЧ' (хе (Е), и' (Е), Е), Е'„(Е) с:=. — д... Е' (х' (Е), и' (Е), Е)). (3.31) Умножая правую и левую части уравнения (3.30) на ненулевую вектор-функцию д ( ) с-=. И" ( °, Л"*) и рассматривая точную верхнюю грань по всем Ч с (е) — сс~ ссес Ч е (х (ее) ее) Ч',,(Е) = д„,с,Ч'(х(Е), и (Е), Е), 1' (Е) = д,, сс4 (х (Е), и (Е), Е)с Правая часть неравенства (3.31) представляет собой опорную функцию множества д Ло~р (хо (г) цо (1) 1) о (1)д 7 ( о (1) цо (1) С учетом свойства 2.4 из неравенства (3.31) следует справедливость включения: ро (1) ~ — Лод ~у ( о (1) о (Г) — р' (1)д.ь 7 (х' (1), ц' (1), Г). (3.32) По предположению теоремы, функция Ч' (, и (1), 1) выпукла по х.
Следовательно, справедливо равенство л'дяо ч' (х' (1), ц' (1), 1) — р' (1)д го У (х' (1), цо (1) 1) = д < ) (ЛоЧ~ (ха (1) цо (1) 1) ро (1)( (то (1) цо (1) 1)) (3 33) С учетом равенства (3.33) и обозначения (3 10) для функции Я (х (Е), и (1); р (Е), Л) включение (3.32) записывается в виде р' (1) ~ дяо ( — Я(хо (1), ца (1); р' (Х), Ла)).
(3.34) Соотношение (3.34) представляет собой необходимое условие существования экстремума функции Лагранжа (3.7) по аргументу х п совпадает с (3.8). Определим граничное условие р (1~) для включения (3.34). 11з выраяоення (3.29) при т = 17 получаем о (1) Ч7, (1) (3.35) для любого %» Ф Е: д,,цд Ч'~ (х (гу), 1~). (3. 36) Следовательно, с учетом (3.36) граничное условие для р (Е) записывается в виде р (т) ~ дхц) Ч ~ (х (1т)~ ч). (3.37) Рассмотрим теперь необходимые условия существования экстремума функции Лагранжа (3 17) по ц (1).
В соответствии с обобщением теоремы Ферма (теорема 2.1) для оптимального управления выполнено условие г (хо (1) ца (1). у»о Ло) (3,38) Вычислпм обобщенную производную по направлению функции Лагранжа х (х' (1), ца (г); уоо, Ло) в точке ц' ( ) по произвольному направлению и ( ) ~х И" (, В"о). Из свойства 2.4 следует :Е" ~ (ц'(1); 'Р)) = зпр (<Ж» ° > (хо (1), ц'(1); во Ло) (1)). у (хо (1) цо (1). уоо Ло) ~ —- -- д У ( о (1) цо (1). оо Ло)) (3.39) Учитывая, что функция то ( ) абсолоотно непрерывна, ее производная (о ( ) = ра (.).
С учетом (3.17), (3.39) и свойства 2.5 пере- 3 закоо эо эооа 65 пишем условие (3.33) в виде неравенства О:- ~ зпр 1(>,0Ч" (!), г (!)): Ч~„(!) Е— : д„<.>Ч! (ха (!), и0 (!), !)) й— !, — р ((, '(!) У < > (!), '(!)): 7' ~ > (!) ~=' д«с4 ( '(!))) «. (3 40) Обозначим через Ч",<.> (!) Е= д„~ > Ч' (х' (Х) и' (Х) Х) 7 < > (Х) Е= д„о> >* (х' (Ю), и' (Ю), Ю) значения Ч!„о>, >„о>, при которых выполняется равенство О 0 = ~ ((> 0 Ч!а (!) — р' (!) 7„(!), и (!) ) ) Н!.
(3,41) Так как равенство (3.41) имеет место при всех и (.) ~== И" (, Л"е) то из единственности в теореме Рисса и (3.41) следует 0 = 7'Ч'и (!) — Р' Я 1„И). (3.42) С учетом (3.42) для произвольных Ч'„(1) >== д я.>Ч" (хэ (!), и' (!), 1) н 7„(!) >= д,о> ! (х' (К), и' (Х), 1) справедливо включение О Е= РРд„<,> Ч! (х0 (Ю), и' (8), 1) — Р' (1)д,д.> У (х' (Х), и" (Ю), Е). (3.43) Так как по условиям теоремы функция Ч' (х' (т), и' (Х), Х) выпукла по и' (Ю), то (3.43) эквивалентно включению 0 ~ д„<.> ()РЧ! (х' (1), и' (Х), Х) — р' Я1 (х' (Ю), и' (Е), !)) (3.44) илн с учетом обозначения (3.10) О~д Ж(х (!) и Р) Р Я 7) (3.45) Соотношение (3.45) представляет собой необходимое условие стационарности функции Лагранжа (3.7) по и (1) и совпадает с (3.9). Зат>етим, что уравнения движения модели динамического объекта с локально-липшицевыми характеристиками для оптимального процесса (х' (1), и' (1)) с учетом обозначения (3.10) записываются в виде сз (!) р д Я (хО (!) иО (!) РО (!) >>О) (3.46) х" Я ~- =дФ.>дГ (х' (!) и' Я' Р' (1) 7~'), р" (Ю) ~ д,т.> ( — Х (х' (Е) и' (Ю) р" (Е) !,О)) (3.47) 66 Таким образом, необходимые условия существования оптималь- ного решения (х' (1), и' (1)) задачи аналитического проектирова- ния УП запнсыва>отся в виде системы дифференциальных вклю- чений вида с граничными условиями х" (Хо) = х„ (3.48) ро (Хг) ~ д„к 1'Чт (хо я, Еу), где функция ио (Х) = ио (х (~), ро (Х), Г) определяется нз условия -д Ж( оР) о(хоР) о(Г) ~).
о(Р) )о) Систему дифференциальных включений (3.47), определяющуюнеобходимые условия в задаче аналитического проектирования УП (3.5), (3.6), назовем обобщенным уравнением Эйлера — Лагранока [И7[. Отметим, что если функции Ч', Ч'~, ~ являются непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам, то обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (3.47) совпадает с классическим.
З.З. Достаточные условия в задаче аналитического проектирования управляющих подсистем Следует отметить, что использование результатов классического варпационного исчисления, основанных на исследовании вторых вариаций, для получения достаточных условий существования оптиошльпого решения в задаче аналитического проектирования управляющих подсистем невозможно из-за отсутствия надлежащеп гладкости входящих в задачу функций (например, кусочно-линейных). Однако удается показать [36[, что при некоторых дополнительных предположениях относительно функций Ч'~, Ч", 1 обобщенное уравнение Эйлера — Лаграняоа (3.47) является необходимым и достаточным условием существования оптимального решения рассматриваемой задачи. Пусть в задаче (3.5), (3.6) вектор-функция 7' (х (~), и (1), ~) является кусочно-линейной функцией по х вида ~ (х (Е), и (Е), К) = Ао (Х) х (Е) + В (и (Х), Е) + ст (~), а =1,2,...,У, (3.49) где А' (т), с' (1) соответствуют областям Х~ изменения переменной состояния.
Предполоя'им, что функция Ч~ (х (~), и (г), г) имеет вид Ч' (х (т), и (8) Е) = Ч" (х И) Ю) + Ч'о (и Ф ~) (3.50) 61 где Ч", (х (Х), Е) является непрерывно дифференцнруемой и выпуклой функцией по аргументу х. Будем считать также, что для рассматриваемой задачи аналитического проектирования управляющих подсистем выполнены условия регулярности [2[, т. е. множитель ).о в обобщенном уравненин Эйлера — Лагранжа не ра- вен тождественно нулю. ПРн этом без потери общности полага- ем 70 = 1. Имеет место следующая теорема (119). Теорема 3.2 (достаточные условия). Пусть для рассматрива мой задачи аналитического проектирования (3.5), (3.6) Х (х (Г), и (У), С) .== Л' (С) х (1) + В (и (К), 1) + с' (Ю), т = 1, 2,..., Х; Л' (1), с' (1) соответствуют непересекаюп нм „ областям Х' изменения переменной х (8); В (и (г), г) явля .
локально-липшицевой по и (г); функция Ч" (х (г), и (г), 1) = Ч', (х (1), Е) + Ч", (и (Г), Г), где Ч', (х (Е), г) — непрерывно дифференцируема и выпукла го Ч', (и (Г), Е) — локально-липшиЦева по и; Ч"~ (х (1), 1) -~ 6 п и 8~ — ~- со; (х' (г), и' (1)) — процесс, удовлетворяющий обобщенном уравнению Эйлера — Лагранжа (3.47). Тогда управление и (1) = и~ (х (1), 1) доставляет локаль„й минимум функционалу качества (3.6). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функционал (3.6) как функцию Х (8~) конечного момента времени 1и удовлетворяющую дифференциальному уравненщо Х (1) = Ч', (х (1), 1) + Ч', (и (г), 1) (3.51) с начальным условием Х (1,) = — О. Введем функцию — Х(1) + р(1) х(1).
(3.52) Функция (3.52) дифференцнруема почти всючу. Ке производная в точках существования имеет вид — [ — Х(Г)+ р(()х(8)) = — Х(М)+- р(Г)х(1) + р(!) х(г). (3.53) Используя обоощенное уравнение Эйлера — Лагранжа (3.47) для х (1) и р (1) и интегрируя (3.53) на отрезке [1„1,) для произвольного управления и (1), получим — Х(гг) + р'(1г) х Я вЂ” р'(~,) х(г,) =- сг Ч'Г (х' (уГ), Ет) + ~ [ — '1' (х" (1) 1) — Ч', (и (1), ~)— — р (г) Л'(г) х(1) + (дЧг, (хе(1), г)'дх(г)) х (1) + ро(1) Л'(Г)х(~)+ е(~)В(, (1) Г) ( ро(Г)съ р)) д1— с~ Чг (хо(г ) г )+ ~ [(дЧг (хе(г) с)~дх(~)) х" (Ре)— ), — Ч"1(х" ((),1) — Ч" (яеЯ, Р) + ре(г) В(и~(Г), !) ' р (Х) ст(~)]й. (3.54) Применяя соотношение (3.54) для оптимального управления, по- лучим — 7" (~!) + Р'(0~) х" (~д — Р" (~о) "" (~о) —" 1у = Ч"~(х'(~~), ~~) +~ [(дЧ',(х'((), ~)/дх(г))х" (г) — У,(х" ((), ~)— 1, ЧУ (п0 (~) ~) + р0 (~) Я (аО (~) ~) + р0 (г) сУ (~)] ~~ ( 1 55) Здесь 1" — значение критерия качества при оптимальном управ- лении.
Сравнивая выражения (3.55) и (3.54), получим [ — 1' (ь ) + р' (~~) (т~)] — [ — 1 (с~) + р' (г~) (г~)] =- 1у = — ~ ([ — Ч'~(я0(С),1) —; р'(~) В(и'(С), ю)] — [ — Ч'з(и(~), г)+ с, + р (Е) В (и (Е), Х)] + Ч" (х (Е), й) — Ч" (х (Е), 1) + + (дЧ", (х" (С), г)(дх (г)) (х'(1) — х (г))) й. (3.56) 69 В силу выпуклости функции Ч' (х (г), 1) по х и условия минимума функции — Х (х (1), и (1); р (~)) по и (1) подынтегральное выражение в (3.56) положительно. Следовательно, выполнено условие — 7" (Ы + р' (1~) х' (М:== — 7 Я + р' Я х Я. (3.57) Из предположений теоремы относительно функции Ч'~ (х (1~), 1~) и граничного условия (3.48) следует, что при 1~ -~- оо р0 (т~) — ~ О.
Поэтому (1! ™) ~ ~ (~Е )' (3.58) В силу нопрсрывностп функции У (1) имеем 70 (хо (т) по (1) 1), 7 (х (1) и (1) 1) (3.59) для любого момента времени г. Следовательно, в соответствии с определением 3.1 процесс (х" (1), и' (г)), удовлетворяющий обобщенному уравнению Эйлера — Лагранжа (3.47) с граничными условиямн (3.48) для рассматриваемой задачи аналитического проектирования управляющих подсистем, доставляет сильный минимум функционалу качества (3.6).
Отметим, что для рассматриваемой в настоящей главе модели динамической системы с кусочно- линейными характеристиками и интегрального квадратичного критерия ошибки терминального управления условия теоремы 3.2 полностью выполняются. Таким образом, обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (3.47) является необходимым и достаточныи условием существования оптимального решения в задаче аналитического проектирования управляющих подсистем. Обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (3 47) описывает замкнутую систему терминального управления, и его решение позволяет в принципе определить в замкнутой форме алгоритмы оптимально- го функционирования управляющих подсистом интегрированных систем терминального управления с предсказанием конечного состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
