Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Теорема 3.4 (о продолжимости решений). Пусть правая час „ Е (г, г) обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа задана прн всех г ) О, $ Е= Лз" и любое решение его находится в некоторой ограниченной области 6С Ле". Тогда оно иродолжимо для всех г)0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть $ (1) есть иокоторое реше нпе (3.66), которое существует в силу теоремы 3.3. Предположим что существует такое Т) О, что решение $ (1) ие продоля~имо для г ) Т.
Построим сферу радиуса Л с центром в начале коордн нат, которая содержит область И~. Пусть  — сфера с центром в начале координат, радиус которой вдвое больше радиуса Л, Обозначим зир й г 6 = с ири г Е= Е Д, 1), О ( Е (2Т, Ц $ Ц ( 2Л. Построим в соответствии с теоремой о существовании решение у (1), удовлетворяющее начальному условию у (Т вЂ” е) = $ (1 — е), где е — некоторое фиксированное число из интервала 0 ( е ~ 2Л с. Тогда ио теореме З.З о существовании решение у (1) будет определено при Т вЂ” е(1<" Т вЂ” е+ 2Л~с, что противоречит предполонсенню о неиродолжимости $ (1) для 8) Т. Таким образом, при выполнении условий теорем З.З и 3.4 существует по крайней мере одно решение обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа и оно продолжимо ири всех 1) О. Следующая теорема позволяет определить общий внд решения обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа.
Теорема 3.5 (об общем виде решения). Вектор-функция ь (г) определенная в некоторой ограниченной области С С Л'", является решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.66) пРи 16— : Ию 1~) тогда и только тогда, когда иРи любых 1» Гз ЕБ ~=: (Из, 1~) выполняется соотношение Са с(Гз) =$(г,)*,+~ ~(т)Нт, (3.72) Ь (Г) Е:— -" Я (1), Х), К Е о'. (3.73) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть вектор-функция $ Щ ЯвлЯ ется решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3 66).
В соответствии с теоремой 3.3 о существовании решения вектор- функция $ (1) является абсолютно непрерывной. При этом соот- ношение (3.72) справедливо для всякой функции ь (1), зквпвалентпой производной ьа (Е). С учетом (3.66) и (3.73) соотношение (3.72) справедливо для любого решения $ (Е). Пусть теперь функция $ (1) удовлетворяет при всех Г„Е, ~ —. ~= )Г„ге] соотношениям (3.72), (3.73). Такая функция является абсолютно непрерывной, причем ее производная $ (Е) в точках своего существования эквивалентна функции ь (г). Обозначим через Б (Й) множество всех тех и только тех точек ( Й ( окрестности Я (! Й), Е,) точки Е = С„для которых определена производная $ (Е).
В соответствии с леммой 3.2 справедливо включеняо — (К(Е,+Ь) — $(ЕД)С сопч ',) $(Е). (3.74) аеЗЕь> Так как пропзводная ь (Е) в точках 6' ()е) зквнвалентна функции ь (г), то с учетоы (3.73) имеем сопч ~ ) с (Е) С сопъ' ) ) Е(~(Е), Е). ге ЯЕЮ ьезЕее (3.75) В силу полунепрерывности функции Я ($ (г), Е) и равномерной непрерывности функции ь (г) для любого е ) 0 найдется такое 6 = 6 (Е„е) ) О, что и Е(Е(Е),Е)С:.Б(БЙ(Е,),Е,),е) ° ае Б(а) (3.76) Так как е-окрестность выпуклого множества — выпукла, то пз (3.76) вытекаот соотношение сопт (~:-(с(Е),Е)Е Б(Б(~(Е,),Е,),г). ю ~~СЕ Из соотвошоний (3.77), (3.75) и (3.74) при ) й) ( 6 следует, что $ (Е) удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера — Лагран'ка (3.66).
Важное место при исследовании свойств решений и обеспечении устойчивости нелинейных управляющих подсистем занимает следующая теорема о непрерывной зависимости решения обобщенного уравнения Эйлера — Лагрангка от начальных данных. Теорема 3.6 (о непрерывной зависимости решений от начальных данных). Пусть ($;) — последовательность точек в гЕ'", схо- ДЯЩаасЯ пРи Е-» ос к точке $з; $ Де, Г) — некотоРые РешениЯ (3.66), удовлетворяющие начальным условиям $($Е, го) =- $ причем все решения $ (се, 1) существуют при Е Е )О, Т) и находятся в некоторой ограниченной области в В'". Тогда для любого отрезка [О, т), содержащегося в (О, Т), существует такая подпослеДовательность точек Дее,), что ~ ($;„, Е) пРи Ег-~ со'и Г!-= ~ (О, т! равномерно сходится к некоторому регпению $ (с„г) обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа, удовлетворяющего ус:нгавю $ ("о, 1о) = $о. ! о к а з а т е л ь с т в о.
Б соответствии с теоремой Арце (551 в заданной ограниченной области в Во" существует подпосле довагельность $ (5го, г), сходящаяся к некотоРой непрерывно" вектор-функции, которую обозначим через ь (ь„г). Тогда иа ус ловка "- ($„то) = с; вытекает справедливость условия ь (-".о> то) = ьо. Предельная функция $ Я„г) удовлетворяет условию Лнпшвца и, следовательно, является абсолютно непрерывной. По лемм 3.2 имеем — ~- (В(Еьа Г + й) $(4'о г)) С, совт () г(Ь К;о, О)ИО (3.78) вяр, гм3 почти всюду на отрезке (г, 1 + Ь).
С учетом определения 3.2 ре. щения обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа множество, стоящее в правой части включения (3.78), содержится во множе- стве совт () Е(~Д,„, О), О), век, му~] полуотклонение которого от мноноества совч () ($йюО) О) Вар. ы1 (3.79) ЧЬ стремится к нулю при го — о- сю в силу полунепрерывпости отображения (ь). В свою очередь, полуотклонепие множества (3.79) от множества Е Я Я„г), М) стремится к нулю прп й — э-0 в силу полунепрерывностн отображения Б и выпуклости множества ~ (ь (ьо1 о) г).
Важным для приложений является случай, когда динамический объект (ЛА) является автономной системой, т. е. характеристики уравнений его движения и функционал качества не зависят явно от времени, При этом уравнения движения (3.5) принимают вид х (г) = 7' (х (8), и (1)), (3.80) а функционал качества управления определяется выражением О 1 (х (Е), и (г)) = 'У'~ (х (г)) + ~ Ч" (х (г), и (г)) й.
ь Обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа для задачи аналитиче. ского проектирования УП (3.80), (3.81) записывается в виде 4 (~) ~ Е (В (т)), (3.82) где отображение Я ( ° ) полунепрерывно сверху в любой точке $ ~ Л", причем множество Я (~) в каждой точке $ в-= А'" замкнуто, выпукло и ограничено. Иэ теорем 3.3 и 3.4 о существовании и продолжимости рошонпй следует,что обобщенное уравнение Эйлера †Лагран (3.82), описывающее замкнутую детерминированную оптимальную систему терминального управления, имеет в общем случае некоторое множество решений, которое в соответствии с теоремой 3.5 определяется соотношением зР) =-%(~»)+ ~~(т)~[т (:5.
83) для любых ь (1) Е=' Б ($ (й)). Неоднозначность продолжения решений замкнутых оптимальных систем термипального управления нелинейных динамических объектов с негладкими характеристиками как в положительном, так и отрицательном направлении времени является характерной особенностью таких систем.
Усложнение топологической структуры пространства решений динамических систем, обладающих свойством неоднозначности продолжении решений, приводит к необходимости обобщения понятия динамической системы по Бнркгофу [81! и установления общих закономерностей «обобщенных динамических систем». Обозначим через ~ Д„1) некоторое решение обобщенного уравнения Эйлора — Лагранжа, удовлетворяющее условию $ Д„О) = = ~». Когда 1 пробегает весь интервал существования решения, мнолкество точек ~ Я„1) образует в пространстве Л»" кривую, которую будем называть траекторией оптимальной детерминированной системы терлшнального управления.
Образом Р Я„ т) точки $» в момент времени т назовем множество всех тех и только тех точек $ Е=- М', для которых существует решение ~ 5„1) обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.82), удовлетворяющее условию $ Д», т) = $. Отображение Р Я„1) (вообще говоря, неоднозначное) определяется соотношением (3.83) и осуществляет отображение пространства В»" на себя. Обозначим через [5 (А, В) полуотклонепие множества А С В»" от множества В ~ В»", введенное в [11! как /1(А, В) = эпрр(а, В), амит где р (и, В) — расстояние менду точкой а ~= А и множеством В.
ЧеРез с«(А, В) будем обозначать отклонение множеств А и В по Хаусдор$у [11). Пользуясь поннтием полуотклоненин, откло- нение сл (А, В) можно определить следующим образом: а (А, В) = шах ф (А, В), [5 (В, А)), Рассмотрим определение обобщенной динамической системы по Барбашину, Определение 3.3 [11, 148]. Многозначное отображение Р Я», 1) определяет обобщенную динамическую систему, если выполнены следующие условия: 1. Всякой точке З» ~ В»" и любому 1 соответствует ограни- ченное и замкнутое множество Р Д„1) С: В 77 целиком состоявшая из о>-предельн>,>х точек, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
