Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Однако предварительно представляется целесообразныи провести исследование всего множества допустимых решений. пх качественной зависимости от параметров объекта уира~ ленин п выбираемого критерия качества. Эти вопросы рассмотре ны в следующем параграфе. 3.4. Основные положения качественной теории аналитического проектирования управляющих подсистем Характерной особенностью ИСТУ с предсказанием конечного состояния, как уже отмечалось, является невозможность линеари зации уравнений движения ЛА, что связано с отсутствием про граммных траекторий. Это не позволяет использовать достаточно глубоко разработанную качественную теорию оптимальных ли нейных систем управления (2, 17, 481 для исследования решении ИСТУ с предсказанием конечного состояния. С другой стороны, топологическая структура решений нелинейных систем оптимального управления является значительно более сложной по сравнению с линейными системами.
Так, например, если для линейных систем из устойчивости решений в малом следует устойчивость в большом и целом, то для нелинейных систем решения, устойчи вые в малом, не обязательно будут устойчивы в большом: установившиеся решения могут располагаться в некоторой области, негладкие нелинейные динамические системы допускают в общем случае неедннственность решений. В этих условиях при проектировании ПСТУ с предсказанием конечного состояния особое значение приобретают вопросы, связанные с выявленном их качественного поведения.
Основными задачами качественной теории аналитического проектирования УП ИСТУ ЛА с предсказанием конечного состояния являются изучение условий существования оптимальных решений, классов возможных установившихся (предельных) движений, исследование зависимости топологической структуры фазового пространства от параметров объекта и критерия качества.
Качественное исследование системы позволяет выявить основные закономерности ее дви'кения и зачастую дает ответ об осуществимости поставленных прп проектировании требований. В настоящем разделе сформулированы и доказаны основные положения качественной теории аналитического проектирования УП ПСТУ ЛА для моделей уравнений дан>кения с негладкими (кусочно-линейными) характеристиками: дано строгое определение решения задачи аналитического проектирования УП, доказаны теоремы существования решений, продолжимости и непрерывной зависимости решений от начальных данных. Положения качественной теории основываются на исследовании решений обобщенного уравнений Эйлера — Лагракн;а (3.47) и установленной связи замкнутых ИСТУ с обобщенными динамическими системами.
70 Рассмотрим задачу аналитического проектирования УП ПОТУ ЛА (3.5), (3.6) на бесконечном интервале врехсени с Е= (со, -, ). 11ри этом критерий качества (3.6) эаписывастся в виде Р 1[(х (с), ц (Ф), с) = ~ Чс (х (с), сс (с), с) дс. Пусть (х' (С), и' (1)) — оптимальный процесс для рассматриваемой задачи. В соответствии с теоремами 3.1 и 3.2 оптимальный процесс (х' (1), ио (1)) удовлетворяет обобщенному уравнению Эйлера — Лагранжа хо(с) ~ др< >М(х" (с), сс'(хо(с), ро(с) с)) р' (с) -- д.'< с ( — Л (х' (с), и' (х' (с), р' (с), г))), ) (3.61) с граничными условиями х (со), р (СС вЂ”вЂ” оо) = О. Здесь оптимальное управление и' (1) = и' (х' (1), р' (с), 1) удовлетворнет соотношению О б= дос,,У( (х' (1), и' (с), р' (с)), где Я (го (с) цо (с) ро (с)) ро (с) ~ (хо (с) ° цо (1) с) с(с (хо (с) цо (с) с) (3.63) Введем обозначения: $ (1) — (х (г), р Р)) „ = (" (')) == (д,У (хо (с) цо (х' (с) р' (1) с)) — сб .;.У.
(х' (с), и" (х' (1)., р' (с), 1))). (3.65) С учетом обозначений (3.64), (3.65) обобщенное уравнение Эйлера — Лагр псжа (3.61) записывается в виде системы 2п дифс1еренциальных включений з (с) ~:- ($ (1), 1). (3.66) (3.62) (3.64) И При этом задача качественного исследования замкнутых систем терминального управления с предсказанием конечного состояния в условаях полной информации (3.5), (3.6) заключается в изучении свойств решений обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.66). Введем определение решении обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа.
Определение 3.2. Вектор-функция $ (1) называется решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.66), если з (с) абсолютно непрерывна и для тех моментоввремени с Е=!со, — --), для которых существуетпровзводнан х (1) справедливо включшша -(с) ~ =-($(с), 1). Дальнейшее изучение свойств решений обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.66) основывается на теории дссфферессссссэль- иых уравнений с разрывными и миогозкачнмми правыми частя> развитой в работах [33, 126, 127, 148, 159!.
В [117! доказана сле'. дующая лемма. Лемма 3.1. Многоэначное отобрюкенпе Е ($ (1), 1) является полунепрерывным сверху относительно включения и для на>к г фиксиРованного ьл Еэ г1л" опРеДелЯет выпУклое множество Я (ьл) Доказательство следует непосредственно из соотношения (3 66) для отображеняя Е ($) н свойств 2.2 и 2.3 обобщенной прои водной. Справедлива следующая локальная теорема существования ре шеяяй обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа. Теорема З.З (о сугцествовании решений). Пусть в каждой точ ке ($,, г,) области и: [ 1, — 1. [ ( 6, [[ $, — Вл [[ ..
6 выполнено соотношение шц> [[ ь" [[ = с для ь" Е В (Вм 1л)1 (Б,эг) Е= И~. (367) Тогда при [1 — гл [ С т = 6/с существует по крайней мере одно решение $ (л), удовлетворяющее обобщенному уравнешпо Эйлера — Лагранжа (3.66) с начальным условием $ (тл) = ~, и 3 следовательно, решающее рассматриваемую задачу аналитическо го проектирования УП.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы приведем том же методом, что и доказательство теоремы Пезно для дифференциальных урав пений с однозначными непрерывными правыми частями [33, 81] Разделим отрезок времени [1л — т, 1, + т! ка 2М частей точками т'"" = г + [т/'"1л (>' = О, .+1,..., +-И) и построим на промежутке [1л — т, >, + т! ломаные Эйлера: Е И=Е (>' ') — Р— т'м')1( Р™) ~' ') прп > =. ф >, г1~л~), > = О, 1,..., 6>Š— 1 и ! <лг> <л» 1=0,— 1,...,— (М вЂ” 1), где ъм (го) — ьа [лт>) <лт>) есть произвольный вектор из множества =Дп(1>л») 1<л» В силу условия (3.67) построенное на отрезке [ г — г, ! =- т = Ис (3.68) 72 семейство вектор-функций является равномерно ограниченным и равиостепоино непрерывным.
По теореме Арцела [55! существует подпоследоватольность (~~м„())), равномерно сходящаяся иа отрезке (3.68) к некоторой пектор-функции $ (г), удонлетворян>щей условию $ (>о) =- $о н условн>о Лнщиица с константой с. Отс>ода следует, что $ (>) абсолютно непрерывна. Пока>ием, что с (>) удовлетворяет вкл>очеин>о (3,66). Справедлива следующая лемма.
Лемма 3.2. Пусть вектор-функция $ ([) абсол>отио ш>ирерь>ииа на отрезке > >=: (>о, >>! и для почти всех 1~ [>о, 8>1, для которо>х существует производная а (>), выполнено неравенство )! 4 (г) )! -".. с. Тогда справедливо соотноше>ше ($(l>) — Е(>,)) С: соп и Ц!>[с (33)9) (>> — >о) > — [>„>>) почти всюду иа (>„>>!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно иа определения интеграла Лебега !55! вытекает соотношение >. 1 ) (Й (>>) с (>о)) —, [ (глс)>[>) >)> = ['и> уо (>> — >о) (>) — >о) >„ л оэ где л рг=,~ ), ', йР)Ф ! >> — >о ! — суммы Дарбу — Лебега, )» О, р> + ...
+ )>а = ! [) — >о !. [[з свойства выпуклой оболочки (105! следует, что векторы р„ прн всех )> принадлежат правой части включения (3.69). Позтому требуемое енл>очение (3.69) справедливо н для предельного вектора. В силу доказанной леммы и способа построения ломаных Эйлера имеет место соотношение >.—.и . > <мл) >лгг) — Ял> (> + Ь) — Еп (>)) сопч ) ! ь(алга([> '),>; '), (3.70) '= — ма <мг> <м„) в котором под ь" (Ялга (й ), й ) понимается вектор из ыножест>л'») >мо) ва Е (валге (Г> ' ), 1> ' ), выбранный прн построении ломаной Эйлера.
Множество векторов, стоящее в правой части включения(3,70), содержится во множестве сопч ( > Е (5ма (9), 9). (3.71) ее и- )м„. > и >мма) В силу полупепрерывностн отображения Е Я (г), [) (лемма 3.1) полуотклонеипе множества (3.71) от выпуклой оболочки сопк ! ! Е'(л>(9), О) 0=-[>,>+») стремится к нулю прн Л1а ->- !). Пз выпуклости множества Е ($ф) и полунепрерывиости отображения Е Я, [) следует, что при Ь вЂ” ~ 0 73 полуотклонение выпуклой оболочки от множества - (ь, 1) стре мится к нулю. Таким образом, $ (1) является равномерно неире рывной вектор-функцией и удовлетворяет обобщенному уравненгио Эйлера — Лагранжа (3.66) с начальным условном $ (1) на отрезке времени (3.68). Справедлива следующая теорема о продолжнмости решении ~е (~) обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.66).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
