Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ы), Н(О)-!) ЭЗЗ (гт) — Пъ(гт)Х((т) — Э"(г!))).', '()!Э) Г()!у„(!)-Л'(!). (!)— — Гы!' ',, + (!!т(!))(атп,~ г(! А.чгорятм терминального управления аъ г! - — В- ' (!)В' "(!кэ(о хе ! !) + ) (!)) У(мвненпн Лля коэффициентов и!) = -э(!)А'(!) — а' (!) Ври+ зи)В'(!)В '\!)В'! (!) В(Π— Л" (!)(т(!)П" (!), Ф(т) 4 ° т(!)а(!) ь Э(!)В (!)я-ю(!)В г(ц)т (!) — $(!)с"(!)+ 0 т(!)Г)(!)(у (!) ! (!)) Граничные условии т(гъ ) = .т„, улт,) =и т(тг)зт() ((у), Ьи;) — — В'г(гт) Зт( „(! ) — З'(г,п Показано, что для моделей с кусочно-линейными характеристиками и квадратичным интегральным критерием качества терминального управления существует единственное решение, удовлетворяющее условиям задачи, ко орое опоеделено в замкнутой форме.
3.2. Необходимые условия в задаче аналитического проектирования управляющих подсистем Рассматрнвается движение модели динамического объекта, описываемого уравнениями вида х (С) = г (х (!), и (ь), Е), (3.5) где х — п-вектор состояния; и — т-вектор управления.
Необходимо найти закон управления и = и (х (1)), доставляю)ппй минимум функционалу качества: 1(х(~), и ((), () = )'г,( (Ы, г,) + ~ Ч' (х ((), ((), () ()г гъ и обеспечивающий устойчивость замкнутой системы. Предполагается, что отображение ~ (х (г), и (1), ~): (,( — э- Лн и функции Таблица 3.2 'Алгортпм терминального управления для автономных динамических обьектои на ектои на бесконечном интервале времени Модель объекта управления х(С) = А'х(С) + В'и(О + г" Модель прелскатыиаемого конечного состояния у(с) = Р"х(с) + с)' Критерий иачества Ка(С).
и(С)) =(1/2) Г ~ПУ (С) — О"(,)(О с) (и + )(и(С)))т ) Л Алгоритм терминального управления ио(с) — В 'В" с (В"хо(с) + й') Уравнения для коэффициентов ВИЛ" + А' йр — В'В"В со' ВУ + 0" ОО" = О, А"й" — В"В Я- В т й о В с 0 го(у И ) -0 Начальные условия х(со) -' хо Таблица 3,2а Алгоритм терминального управления дал автономных динамических объектов на оесконеч. ноы интервале времени Модель ооьекта управления Х(С) Лол(С) + В"и(С) + С" Модоль предсказьсваемого конечного соссониии у(с):.
о" х(с) с" К) глорий качества ссх(с),и(г)~=(1!2) 7~Ну, оо — 0'х(с) — и'(г +!!у„(с) — 0"л'мо — 0'В'исс)— а С) с ))д (сс(с) и Ллгоргты те)оминаиьного уп(оаплснпх ,;! и"СС).= (В О В' О"РОВ) )О~О''Я~)У м(С) — Ос' ) — Вт)БХОСС) + й )) уравнения для расчета парамгтрон -'и'о Л 'В' — Я В(Вон'О сто В )-'В гв' — В В (В+В гога 0 В' '-'В' Х Х о гф О 1 л то'то~о В'св о В оО го~о В с-св тЯ + А со'то|0'л -Л" О гф О ВОЛ+ В'0" О О'В')'В"'0"тО О'Л' + О'тОО' бб Л' С вЂ” Ч'Г'Са+ В''и''С),ОВ') 'В' Сс' — Л' О' ОсП1)'(В + В'гО' С),О'В') сВ' й" + +ЯГРО)т(ООС)+ЯВСП+ВтоС3>ЛВ)ВОЯ)те(С)О -Л" О'г(),(т — О'") + Л го гО,О-В(В+ ОгО" а,о В'С-'В'О а, Х ) )ачальные условия хс(о)= хо Чг (х (6) т).
У- Л1 У (х Р), ц ф, ~); ЕУ вЂ” ~ Л' УдовлетвоРЯют условию Липшица в открытом множестве С С " Х Л»' Х Лт В оощем случае м~ ~ (о», +со). Момент времени й мо'кет прв нимать значение 6~ = +ос. В атом случае предполагаем,;то Ч" (х (1). Г ) = О. Это означает, что ошибка терминального управления должна быть сведена к нулю, т, е. е (1) = О, за время 1 меньшее полного времени управления.
Решение поставленной задачи будем искать среди фуньции х (~) ~ %~ (, Л»), удовлетворяющих условшо Липшнца, и функ ций и (~) ~ КС (, Л"'), рассматриваемых в пространстве ку сочно-непрерывных функций. Определение 3.1. Процесс (х' (1), и' (~)) ~= И" (, Ло);< :( КС (, Л"') называется оптимальным для рассматриваемой за дачи аналитического проектирования (3.5), (3.6), если (хо (1), ц' ~р)) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.5) и доставляет сильный минимум функционалу качества (3.6), т. е. существует е ) О такое, что для любого процесса (х ( ), и ( )) ~ Ит~ (., Л") ~ Х КС (, Л"'), для которого выполнено неравенство ~~ (х( ), и (.)) — (хо( ), ио ( )) ц = справедливо соотношение г(.
() () .)-- г( о() о( Пусть теперь Х Е= Л', р (1) Е= И" (, Л»о). Здесь Ло"'' — евклпдово пространство транспонированных векторов (сопряженное пространство). Рассмотрим функцию Лагранжа 1у х (х (с), ц (К); р (~), Х) = Х Ч"т (х (с.,), ~~) ч- ~ (й Ч' (х (~), и (~), Р),'+ -~- р (Е) (х(Х) — 7(х(к), и(г), ф) й. (3.7) Следующая теорема дает необходимые условия существования оптимального решения в поставленной задаче аналитического проектирования УП для модели динамического объекта с негладкими характеристиками (36, 117!. Теорема 3.1 (необходнмые условия). Пусть х' (1) = Иг,„' (., Л") и ио (1) 6= КС (, Л ') таковы, что ( .о (1) цо (1)) — г7 (хо (1), ио (1)) является оптимальным процессом для зада ги (3.5), (3.6) и функция Ч' (х (х), и (с), х) выпукла по аргументам х, и.
Тогда существуют множители )о е= Л', р' ( ) е= И'1 (, Л "), ие равные одновременно нулю и такие, что выполнены необходимые условия существования экстремума функции Лагранжа (3.7) 60 по х ( ) и и (.), которые могут быть записаны в виде р (~)е=до~( — Н( (т),и (~);р (~),) )), 0 ~ д т( (хо (Г) ио (Г).
о (Г) оо) (3.8) (3.9) с граничным условием ро Ю ~ д.«,Л~(хо(У, ~~), где функция Я (х (о), и (о); р (1), )) определяется соотношением Я (х (о), и (о); р (т), А) = р Я~ (х (~), и (1), ~)— — ) Ч~ (х (1), и (1), ~). (3.10) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” пространство, образованное прямым произведением пространств И' (, Ло) х х КС ( °, Ло') Х Л', У вЂ” пространство липшпцевых функций И"„.
(, Л"). Рассмотрим отображения ~~: У-+- Л' н Г: У вЂ” э Уа определяемые выражениями 0 <Г (х (г), и (ю), ~) = Ч"~ (х Я, г~) + ~ Ч' (х(~), и (ю), ~) й, (3.11) г" (х (о), и (о), Е) = х (1) — ~ (х (1), и (Е), 1). (3.12) Отоораженне Г: У вЂ” о- У и функционал Ч~: У вЂ” Л~ определены в области У С Х н являются локально-липшпцевымп. Кроме того, пространства Х, У являются банаховыми [55).
Таким образом, сформулированная задача (3,5), (3.6) является негладкой задачей на условный зкстремум вида (2.11), решение которой рассмотрено в гл. 2. Пусть (хо (~), ио (~)) — оптимальный процесс для задачи (3.5), (3.6). Тогда в соответствии с полученным обобщением принципа множителей Лагранжа для лппшпцевых отображений (теорема 2.7) существуют такие множители Хо е= Л~, у*о Е= 1'~, не равные одновременно нулю, что для функции вида 0 Я (х (Е), и (Е); у*, Х) = Ррт (х (г1), су) + ) ) Ч" (х (~), и (С), «) йй + + (у*(Е), д (~) — ~(х(Е), и(К), «)) (3.13) выполнены необходимые условия существования зкстремума по х (.), и (.): (3.14) (3.15) 0 -- д, 1 л', (х (Ю), и (М); у*о, 1,о), 0-= до«,.'б (х' (Е) и'(Ю) уоо У) 61 соответственно. Заметим, что функции (3.13) не тождественна функции Лагранжа (3.7), указанной в формулировке теоремы.
В соответствии с теоремой Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на пространстве непрерывных функций (55) имеем с! ~' !' ()) =~де(!)l:(!), 1„ где т (!) = (т, (!), ео (1),..., т„(1)) — вектор-строка из каноническим функций ограниченной вариации. С учетооо (3.16) функ ция (3.13) записывается в виде 2 (х (!). а (1); у о, Х) = ХЧ! (х (!!), 1!) + ) ХЧ' (х (!), и (!), 1) д1 + + 1 дт(!)('(!) — Ф(1) (1) 1)).
(3.17) Если функция в ( ) абсолютно непрерывна, а ее производная совпадает с р ( ), то функция (3.17) совпадает с функцией Лагранжа (3.7). Докажем абсолютную непрерывность вектор-функции т ( ). Рассмотрим сначала необкодимое условие существования экстремума функции Лагранжа (3.17) по х (.). В соответствии с обобщением теоремы Ферма (теорема 2.1) для оптимального процесса (х' (1), и' (1)) выполнено соотношение 0Е=А 2(х (1),ц (1);у ',~.).
(3.18) Вычислим обобщенную производную по направленшо функции (3.17) в точке хо ( ) по произвольному направлению !1 ( ) ~.-= ~ И" (, Л"). Из свойства 2.4 непосредственно следует (хо (!) ь (1)) зпр ((х' (хо (1) цо (1) до о ) о) 1 (1)) ( о (1) о (1).
роо )о) ~- д оо (хо (1) о (1). оо )о)) (3.19) С учетом выражений (3.17), (3.19) и свойства 2,5 включение (3.18) можно эквивалентно записать в виде неравенства ('105) 0,<- зцР (аоЧ'!т (1!) Ь (1!): Ч!1,. с=- дар )Ч"! (хо (1!), 1!)) + !! + ~ епр (ХоЧ'„(!) й (!): Ч',. (1) с=.= д,чп Ч' (хо (1), ио (1)., 1)) 81 + $! ~ Нто(1) (!! (1) — вцр(~„.(1) Ь(1): ~„.(1) ~ д,<сД (хо(1), ио(1),1))) )„ (3.20) Обозначим через Ъ., (!!) = д.
„,,Ч ! (хо (1!), 1!), цк (1)~-д ~у (хо(1) цо(1) 1) 1„(!) ~ д 4(хо(1), цо(1), 1), значения', Ч'/„(х' (г/), г ), Ч'„(хо (!), ио (/), !), /„. (хо (!), ио (!), !), прн которых в (3.20) выполняется знак равенства, т. е. ! 0 =1Ч'/. (//) /г(//)+ ~ ~~р„.(/) ~(/) 1/+ г, г! + ~ //то (Е) (/г (г) — /,. (/) /г (г)). (3.2!) Так как направление и величина й ~ И'„)(, Л") являются про- извольными, положим 1г (/) = у + ~ Ч (т) Йт, / е=(со, М, (3.22) где 7 Е= Л", Ч ( ) Е К (, Л").
С учетом (3.22) уравнение (3.20) записывается в виде г/ !/ ~.~ ),т,.(/)/Л вЂ” ~ а. (1) 7,,(1)+ ),гр/„(//)) у + !/ + ~ ).Ч!„ (1) ) Ч (т) (т (/ + ~ (ъ г1(/) !, г/ г/ — ~ Лтв(/)7„(/)~ Ч(т)/1т+ХЧ/,,(г/)~ Ч(т)г(т=О. (3.23) г„ г, В обозначении (3.22) у, Ч ( ) можно выбирать независимо друг от друга. Примем г) ( ) = О, у — лгобым. При этом равенство 3.22) принимает вид ~ '.Чг/,. (1) !1/ — ~ !(т (/) 1„(/) + /,Ч/ „, (1 ) = О. (3.24) С учетом (3.24) для любого Ч ( ° ) б= И" (, Л") из (3.23) вытекает равенство г/ !/ 1 Х'1'.„,(1) 1 Ч ( ) 1 Л + ~ Ь (1) г) (Е)— / '/ — ~г /1т (/)у.(1)~ Ч(т) (т+ Ч„.'(1/)~ Ч()1 = О. (3 25) Меняя в первом и третьем члене левой части равенства (3.25) порядок интегрирования в соответствии с формулой Дирилле!55) и обозначая во втором члене переменную интегрирования буквой т, преобразуем (3.25) к виду сс сс ~ с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
