Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Красовским [59) в рамках метода аналитического конструирования регуляторов по критерию обобщенной работы. Однако использование указанного метода в силу разрывности производящей функции не позволяет строго обосновать оптимальность п устойчивость получаемых решений. Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕГЛАДКИХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СИСТЕМ ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Сформулированные в гл. 1 задачи аналитического проектирования алгоритмов функционирования подсистем оценивания состояния, идентификации параметров, предсказания конечного состояния, управляющих подсистем и интегрированных систем терминального управления (ИСТУ)ЛА в целом в рамках предложенного подхода на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик представляют собой вариационные задачи исследования на экстремум функционалов качества функционирования отдельных подсистем и всей системы в целом при ограничениях, задаваемых уравнениями движения ЛА и уравнениями информационно-измерительных подсистем, Следует отметить, что кусочно-линейные характеристики в общем случае удовлетворяют условию Лившица п, следовательно, являются негладкими функциями.
В то же время известные методы аналитического проектирования оптимальных систем управления, основанные иа использовании классического вариациопного исчисления (метод Летова — Калмаиа), принципа максимума Понтрягина, динамического программирования Беллмана, аналитического конструирования регуляторов по критерию обобщенной работы А.
А. Красовского, применимы для динамических объектов, характеристики которых удовлетворяют сильным условиям непрерывной дифференцируемостп (гладкости). Потребности решения негладких задач аналитического проектирования ИСТУ иа основе кусочнолипейиой аппроксимации нелинейных характеристик привели к необходимости разработки и применения методов решения негладких экстремальных задач.
Именно в этом направлении исследований были сконцентрированы усилия математиков в последние годы. Наиболее важные результаты содержатся в ряде работ !25, 39, 40, 10(), 139). В настоящей главе дано развитие теории негладких экстремальных задач на условный экстремум. Основными результатами являются обобщение известных теоремы Ферма и принципа множителей Лагранжа для лппшицевых отображений [114, 119). Результаты этой главы используются прп обосновании и разработке предложенного метода аналитического проектирования ИСТУ ЛА с предсказанием конечного состояния. 37 2.1.
Обобщенная производная лиишпцевых отображений и ее свойства решения негладких экстремальных задач привел к необходимости обобщения понятия производной па негладки Пусть отображение Ф: Х вЂ” ~. Г банахова пространства Х в банахово пр б .. о пространство У' является локально-лппшицевым в от крытом множестве У С ' Х, т. е. для любой точки х ~-= Ь' сущест вует окрест о рестность О и некоторая константа Й, такие, что для лю бых х„х, пз окрестности б выполнено неравенство Ф (х,) — Ф (хз) [[г ~( й [[ х~ — хз [[ г ° Известно, что локально лппшицево отображение Ф (х) имеет про неводную Ф' (х), понимаемую в смысле Фреше, для р — почти всех х ~-= У [25[.
Введем следующее определение. Определение 2 1 И14[. Обобщенной производной локально липшпцева отображения Ф (х) в точке х ~== 0', обозцачаемои д,Ф (х), называется выпуклая оболочка множества пределов по следовательпостей производных в смысле Фреше отображения Ф (х), рассматриваемых в точках, где онп существуют, т е. д„.Ф (х) = сопч ( 1нпзФ' (х )). (2.1) х,.
х Введенное понятие обобщает на бесконечномерный случай поня тие обобщенного якобиана, введенное в работе И41). В случае, если отображение Ф (х) является непрерывно дпфферепцпруемым на множестве У, то обобщенная производная д„Ф (х) в каждой точке х ~ У состоит из единственного элемента, совпадающего с обычной производной отображения Ф (х) в смысле Фреше [55[. В качестве иллюстрации рассмотрим функцию 1(х) =-= [ х [, х ~= ~- Л', график которой представлен па рпс.
2.1. Эта функция в точке х = 0 не имеет производную в обычном смысле. Однако в этой точке существует обобщенная производная в смысле определения 2.1. При этом д„.( (О) = [ — 1, +1[, т. е. представляет собой отрезок, заключенный между точкамн х =- — 1, х = +1. Установим некоторые свойства обобщенной производной локально лппшпцева отображения И14[, которые будут использованы в дальнешем. С в ой й с т в о 2.1.
Обобщенная производная д,.Ф (х) локально лппшицева отображения Ф в каждой точке х й Г является подмножеством пространства Ь (Х, 1') линейных операторов из Х в 1', Д о и а з а т е л ь с т в о. Обозначим множество предельных значений производных Ф' (х;) отображения Ф, рассматриваемых в точках х; ~ У, в которых цроизводные существуют через (Ф; (х)). По определенгпо производной Фреше, множество (Ф; (х)) принадлежит пространству Х (Х, 1') линейных операторов из Х 38 Рис. 2.1. Пример негладкой Функции 1(х), имеющей обобщенную производную в З . Выпуклая оболочка множества (Ф; (х)) состоит из элементов вида 11 сопч (Ф; (х)) = (,У, а;Ф; (х), а; > О, г=г й ~~а;=1, а;е=Л) о=в по всем и е= Х.
По определении, пространство Ь (Х, У) линейных операторов замкнуто относительно операций сложения и умножения на число. Следовательно, обобщенная производная д„Ф (х) локально липпшцева отображения Ф (х) в точке х является подмножеством пространства Т, (Х, У). С в о и с т в о 2.2.
Для любого х 1== У даФ (х) определяет выпуклое множество в У. Доказательство следует непосредственно из определения выпуклой оболочки множества [1051 п выражения для обобщенной производной (2.1). Известно, что многозпачное отображение Т: Х-+- У называется полупепрерывпым сверху в точке х, ~ У, если для любого е ) 0 существует такое 6 > О, что множество Т (х) принадлежит е — окрестности множества Т (хо), т. е, Т (х) С Ю (Т (х,), е) при д (х„х) ( 6. Отображение Т: У вЂ” ~ У называется полунепрерыноым сверху, если оно полупепрерывно сверху в любой точке х Е=- (г. Обозначим через Л' (У) класс всех непустых замкнутых подмножсств банахова пространства У.
Пусть ег' — замкнутое подмножество пз Х. Если Т (х) есть отображение пз б~ Х на П (У), то графиком отображения Т называется множество "„У (Т) = ((х., у) Е Р Х У: у Е Т (х)). Имсгот место следующие леммы. Лемма 2.1. Пусть У вЂ” компактное метрическое пространство.
Мпогозначное отображение Т: à — ~. К (У) полунепрерывно сверху тогда и только тогда, когда график у: (Т) есть замкнутое подмножество пз Р Х У. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть мнон'ество ф (Т) замкнуто, (хт) — последовательность в б, сходящаяся к точке х я Р, и е ~~ О. Тогда Т (х) ~ и" (У) для всех х 1-= У,. Покажем, что существует такой номер уе 1-= У, что Т (х1) С Я (Т (4, е) для всех у:-.: уо. Действительно, предположим противное.
Тогда существует последовательность у С (1, 2,...) и точки у; Е= Т (х,) такие, что д (Т (х). у,) ~ е. Так как У является компактным метрическим пространством, то можно предположить, что последовательность (у,) сходится, т. е. 1пп у1 — — у ~ У. Отсюда получаем, что 39 (х у) 1;ш (х, ут) ~=:,л (Т). Следовательно, у ~- — Т (х), что про ! тпворечит предположению. Наоборот, пусть отображение Т: Р— ~ 'Л' (Г) иолунеирер„ц но сверку и последовательность ((х~, у,)) в 5 (Т) сводится к не которой точке (х, у) ~ Р Х У. Тогда ут б= Т (х,) для всея 1 ~=- ~ Л', и для любого е ) О выполнено включение у, ~-- Я (Т (и) прн достаточно больших у.
Так как Т (х) — компакт, то у ~ Е= Я (Т (и), е) для всея е) О. Следовательно, у ~ — — Т (г) и У) я З (Т). Лемма 2.2. Пусть Х вЂ” банахово пространство, У вЂ” компакт ное метрическое пространство и для любого х из открытого мно жества Г' Х задано отображе|ше Ф' (х): О'-+ У, а для любо го х ~ Г множество Т (х) есть множество всех предельиык зна ченпй Ф' (х) при х-+ х. Тогда многозначное отображение Т (х) полупепрерывно свер ку в точке х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество Т (х) предельнык зна ченпй отображения Ф' (х) замкнуто по определению. Рассмотрим график Я (Т) отображений Т (х) для всея х — Р.
Это множество замкнуто, так как является замыканием графика отображения Ф' (х). Действительно, если х; — э х, Ф' (х;) — + у ~= Т (г). Тогда по лемме 2.1. Т (х) является полунепрерывным сверку. Лемма 2.3. Пусть У вЂ” бапахово пространство, Т вЂ” иепустое подмножество из У. Тогда выпуклая оболочка е-окрестности мно жества Т совпадает с е-окрестностью выпуклой оболочки миоже ства Т, т. е. имеет место равенство сопз Я (е, Т) = Я (е, сопз Т). Д о и а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
