Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Обозначим через 53 единичный шар в У: ~~ = (у: ~~ у 11 < 1) = (у: 1(у. О) < 1). Он представляет сооой замкнутое выпуклое множество, так как является множеством уровня нормы, которая выпукла н непрерывна. Для любого Ь ~ У шар радиуса е ) О с центром в точке Ь определяется выражением (у: с( (у, Ь) «( е) = (Ь + г: '1 г )~ < е) = Ь + е%. И, з свойства выпуклои оболочки следует справедливость следующих равенств: солт" Я, Т, е) = ( 5~ очу;: т Е= Ж, ~~~' сс; = 1, он ) О, 3=1 1 ги у; Е=Я(е, Т)'= (Х а;(Ь! + е:Я): Ь;;-Т, пт~ Т, к=т 11 1з 111 У и; = 1, а; > О~ = (Х а;Ь; + Х а;е.Я: Ь; ~=: Т, г=т 1=г 40 т ~:= й',,'Я~ со; = 1, а; ) 0) = Б (е, соит Т).
о=т Лемма 2.4. Пусть для любого х Е= Г Т (х) есть непустое замкнутое ограниченное множество в У, отображение Т (х): Г-~ — ~- 1 полуиепрерывно сверху. Тогда выпуклая оболочка соих Т (х) множества Т (х) полунепрерывна сверху. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение Т (х) полунепрерывно сверху в точке х, Е= Г. По определению, для любого е .> 0 существует 6 ) 0 такое, что Т (х) ~ Я (Т (х,), е) прп Н (х, х,) ( 6. Тогда в силу леммы 2.3 соит Т (х) С соич 8 (Т (х,), е) = = Я (соит Т (х,), е).
Следовательно, соих Т (х) полунепрерывна сверху в точке х,. Из доказанных лемм вытекает следующее свойство обобщенной производной. С в о й с т в о 2.3. Пусть Х вЂ” банахово пространство, У— компактное метрическое пространство, отображение Ф (х): Г -~ У является локально-липшицевым в открытом множестве Г С Х. Тогда д„Ф (х) является полунепрерывным сверху отображе нием Г в У. Доказательство. По определению 21, д,.Ф (з) = соит (1(по Ф' (хо)1. В соответстшш с леммой 2.2 множество предельных значений Т =- = (1(т Ф' (х;)) для всех (х ) из Г и т ~ Г определяет полуне- Х ° прсрывиое сверху отображение. По лемме 2.4 выпуклая оболочка множества Т (х) также является полунепрерывным сверху отображением в точке х.
Пусть 1: Г -~  — локально-липшнцевый фуикпионал. В (1301 введено понятие обобщенной производной по направлению локально-липшицеиа функционала. Обобщенной производной по направлению )о (з-, г) функционала / в точке х Е= Г по направлению и,— Х пааывается число / (х, о) — 1ыи зир[~ (х+ р+ сои) — ~(х+ Д))/со, б оп,о где [5 =- Х, а Е= (О, — ' оо). Следующее свойство устанавливает связь между обобщенной производной по направлению и обобщенной производной локально-лнпшицевых функционалов. С в о й с т в о 2,4.
Для любого и 1-= Х выполнено соотношение ) о (х: г) = шах ((г, ): С Е= д,,( (х)). Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим функционал: д (х; и) = шах ((~, и): ~ Е= д„.1 (х)). Иа определения 2.$ следует, что ~' (х: г) = 1ип вор (г, г' (х + (3)) . (2.2) а о Тогда для некоторых соответствующих последовательностей (~,) и (а,) -+. О д(х; г) = Пш (~(х+ р; + а г) — !(х+ Р;))/аг Из определения обобщенной производной по направлению следуе неравенство я (х; г) «( (о (х; г). Покажем, что для некоторого по ложительного е выполнено неравенство 1о (х; г) ( д (х; г) + е.
(2,3) Предполон;пм, что г чь О. Пусть к (х, г) = б. Тогда из (2.2) сле дует, что для р из некоторого шара радиусом Ь ) О около нуля где (,. (х + р) существует, справедливо неравенство (г, ~' (х + р)) ( о + е. Так как производная 1„. (х) существует почти всюду, то для поч ти всех () функция а — «( (х + р + ат) дифференцируема почти всюду, ее производная определяется выраженпем (г, ~' (х + га + аг)). Отсюда имеем ~ (х + р + аг) = ~ (х + р) + ~ (г, ~' (х + () + ~г) Й, о С учетом соотношения (2.4) для почти всех р таких, что !) () (~ ( ( Ы2, и всех а < Ы ~) г ~) 2 справедливо равенство У( +Р+а ) — У( + Р)1!а = — „~ <г, Р'(х+Р+гг))й ( о (6+ е.
Последнее соотношение выполняется для почти всех р. При атом требуемое неравенство следует из определения ~о (х; г). Таким образом, обобщенная производная по направлению го(х: г) локально-липшицева функционала есть опорная функция (1051 обобщенной производной функционала. Свойство 25 (139!. Пусть~,: У вЂ” «Л, ~,: à — «В — локачьно-лиишпцевы функционалы, определенные в открытом множестве У банахова пространства Х.
Тогда для любых т. С= У и г Е= с== Х выполнено неравенство (~, + ~о)о (х; г) ( ~~ (х; г) + Д (х; г). Доказательство. По определению (/, + 1,)о(х; г) = Пп1 зир~~,(х+ р+ аг) + ~о(х -,'- ~>+ аг)— з о алло — ~,(х+ р) — ~,(х+ Р))/а. Р)з выпуклости операции точной верхней грани следует неравенство Д, .+!о)о (х; о) (11п1 зир (1, (х -1- ~3 + ссо) — ~,(х+ ~1))/со+ З о а~о + 11п1 зар (~о (х + (1 + соо) — ~о (х + )3))~й З оа1о =.(1(х1 в) + 12(х; и) С в о й с т в о 2.6 И391.
Для всех х е= У п и ~ Х справедливо соотношение уо (х у) ( 1)о (х о) Д о и а з а т е л ь с т в о. По определению обобщенной производной, Р(х, — г) = 1пп зпр(((х -1- р соо) ~( + а)у З аалто = 11ш во Р 1 — 1 (х + 11 + Ь') + 7' (х + р)]р„= 6 о гало = ( — ()о(х; о). Лемма 2.5. Пусть О есть непустое выпуклое юо — компактное подтшожество Х*, сопряженного банахову пространству Х. Обобщенная производная д„у (х) локально-лнпшицева функционала /: Г -+ Л содержится во множестве Р тогда н только тогда, когда для любого и Е= Х выполнено соотношение 1о (х; о) - .
п1ах «о, ~>: 1 Е= Й). (2.5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть д„~ (х) С о1. Тогда требуевше соотношение (2.5),'следует непосредственно из определения /о (х; и). Предположим теперь с целью получения противоречия, что соотнопоение (2.5) выполнено, но некоторый элемент ~ е— : д„~ (х) не принадлежит о1. Тогда по теореме отделимости (55) существует элемент и ~ Х такой, что зир «~7, оо>: (О Е=. 'а) < (г, 1> Ш Ио зто противоречит соотношению (2.5), так как по свойству 2.4 справедливо равенство /о(хг к) = шах «и, ">:;Е=да((х)) С в о й с т в о 2.7. Пусть 71: У-о Л, ф У-о- Л вЂ” локально-лнпшпцевы функционалы, определенные на открытом подмножестве У банахова пространства Х. Тогда для любого х ~-= У выполнено соотношенпе да (7, + (,),(х) Г' д,~, (х) + д„~о (х).
Доказательство. По свойству 2 5 ((, + (о)' (х; о) ~( /' ,(х; и) + ~~ (х; и), яли Р,; )0 (,) .~ ша„((„",~ 4 (г ~„) , = д,.1 (х), ", ~ д,,1,, (х)). (2 б) Обозначим й = д,.~, (х) + д„7е (х). Тогда по лемме 2.5 неравенство (2.6) эквивалентно включению: д.,- У, + 1;) (х) С:. О, иля с учетом введенного обозначения д~. ~11 т 7т) (х),: д. 1~ (х) + д,.(~ (х). С в о й с т в о 2.8. Пусть Ф,: У вЂ” ~- т, Ф.: У вЂ” ~ У' — локально-липшнцевы отображения открытого множества УС Х в банахово пространство У, Тогда для любого х ~ У справедливо соотношение д„.. (Ф, + Ф,) (х) С д,.Ф, (х) + д„.Ф, (х). (2.7) Доказательство.
Пусть ~Л: ) -+  — невырожденный функционал, По свойству (2.7) д,.((Л, Ф, (х) + Ф, (х))) (х) с ' д„ ((Л, Ф, (х)~) (х) + + д„. ((Л, Ф, (х))) (х).~ Отсюда непосредственно следует включение (2.7). Введенное понятие обобщенной производной позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия существования акстремума липшицевых функционалов без ограничений и с ограничениями типа равенств, задаваемых лппшпцевыми отображениями, 2.2. Необходимые условия су,цествования экстремума, липшицевых функционалов без ограпичений. Обобщение теоремы Ферма,' Пусть Х вЂ” банахово пространство, У ~ Х вЂ” открытое множество в Х, 7': У вЂ” +.
А — локально-липшнцевый,'функционал. Рассмотрим задачу исследования на экстремум: 7' (х) — ~- ел$г. (2.8) Точку х" будем называть решением задачи (2.8), абсолютным минимумом (максимумом), если 7' (х) .=~ 1 (х') (соответственно 7' (х) ~( ,. 1 (х")) для всех х Е= П. Так как Х вЂ” банахово пространство, то оно наделено топологией, порожденной нормой в пространстве (Х, ~' ° "). Следовательно, в Х можно задать набор окрестностей.
Тогда х" называется локальным экстремумом, минимумом (максимумом), в задаче (2.8), если существует окрестность И'" точки х' такая, что х' есть решение задачи (2.8) для всех х ~ С~ ' ' И~. Теорема 2.1 (1141. Пусть Х вЂ” балаково пространство, У— окрестность в Х, (: У -+.  — локально-липшицевый функционал н ха является локальным экстремумом в задаче (2.8). Тогда справедливо включение 0 е:— д,~ (х).", (2.9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности х' является локальным минимумом в задаче (2.8). Так как функционал У-~- Л является локально-липшицевым, то для него определена обобщенная производная по произвольному направлению е Е= Х в точке х"; ~~ (*, г) — !па ьир [~ (х + (3 + ао) — ~ (х + р)]/а.
з ос~о Так как х" есть локальный минимум, то ) (ха + (1 + яи) ~ ) (х~ + + р) для всея р-+. О, и ], О. Следовательно, в точке х' справедливо неравенство ( а ( х ~ ) (2.10) По свойству 2.4 обобщенная производная по направлению )е (х; н) определяется выражением 10 (х; и) = шал ((г, 1): ~". Е= д„1 (х)) т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
