Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Полученное в настоящем параграфе обобщение принципа множителей Лагранжа для липшицевых отображений в терминах обобщенных производных является достаточно эффективным методом решения широкого круга нелинейных экстремальных задач и полон<ено в основу разработки и обоснования метода аналитического проектирования алгоритмов функционирования интегрированных систем терминального управления с предсказанием конечного состояния на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик. Важным этапом решения экстремальных задач является получение и проверка выполнения достаточных условий существования экстремума (максимума иля минимума). яимума 1 (х).
Отметим, что использование для решения указанной задачи классических результатов, основанных на исследовании знака второй пронзводной, невозможно, так как функционал / (х) в силу предположений не удовлетворяет достаточным условиям гладкости. Покажем, что при выполнении дополнительных требований выпуклости функционала 1 (х) сформулированные выше необходимые условия существования экстремума локальнолипшицевых функционалов (теорема 2.1) являются одновременно и достаточными условиями. Докажем вспомогательные леммы.
Лемма 2.9. Пусть 1 (х) есть локально-лппшнцевый функцио нал, определенный на открытом мноя'естве У из банахова пространства Х. Тогда обобщенная производная д,1(х) в каждой точке х е= У есть замкнутое множество. Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество предельных точек (Иш г' (х,)) замкнуто по определен~по. Известно (105), что выпуклая оболочка замкнутого множества есть замкнутое множество. Тогда из определения 2,1 следует, что обобщенная производная д„.~ (х) в каждой точке х е:— У есть замкнутое множество.
* В (105) определено понятие субдпфференциала выпуклой функции ): У вЂ” »- В в точке х Е= У как множества злементов х'»: (х" ~ ~ (з) ~ ) (х) + (х'», з — х,'») для любого г из некоторой окрестности точки х е= У. Следующая лемма устанавливает связь между обобщенной производной и субдифференциалом выпуклой функции. Лемма 2.10. Пусть 1 (х): У вЂ” »- й — выпуклый локально-липшицевый функционал. Тогда обобщенная производная д,.
~ (х) совпадает с субдвфференциалом 1 (х). Доказательство. По определению 21 имеем д Д(х) = сопч (Иш1'(х,)). По лемме 2.9 множество д,.1 (х) замкнуто, т. е. д„1(х) = с1 сопи (1пп ~'(х;)). х х '» При атом доказательство теоремы непосредственно следует из свойства субдифференциала выпуклой функции (105). Теорема 2.6. Пусть 1(х): У-».
В есть выпуклый локальнолипшицевый функционал в открытой области У, содержащей точку х'. Для того чтобы х" е= У являлась точкой локального минимума функционала 1 (х), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (2.34) 0 ~ д ~ ( х ~ ) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия существо- вания минимума вытекает непосредственно из обобщения теоремы Ферл1а для липплнцевых отображений (теорема 2.1). Докажем достаточность. По предположению, функционал 1 (х) является выпуклым в некоторой окрестности 0 точки хР.
По лемме 2.'10 обобщенная производная д„~ (х) в точке хР совпадает с субдкфференцналом ~ (х) в точке х': д,.~ (х) = (ха: ~ (х) ' ~ ~ (хР) + (х"', х — хр), ~ — ~р ( р)) (2.35) Так как по предположению теоремы в точке х' выполнено усло- вие (2.34), то существует злемент х* = О. Тогда нз условия (2.35) вытекает неравенство ~ (х) ..- ~ (х") для всех х е= О (з, х"). Следовательно, х' — точка локального минимума функционала, Доказанная теорема дает достаточные условия минимума локально-липшицевых функционалов. Рассл1отрим в качестве при- мера задачу исследования на экстремум функции ~(х) = ~ х ). В соответствии с результатами равд.
2.2 в точке х' = 0 выпол- нено условие 0 6= :д„.~ (0). Кроме того, надграфпк функции ~ (х) ер'У(х) =((х )): р =-У(х)) в точке ха = 0 есть выпуклое множество. Следовательно, функ- ция ~ (х) = ~ х ~ в точке х' выпукла (105). Отсюда в соответствии с теоремой 2.6 вытекает, что функция ~ (х) в точке х' = 0 дости- гает мннил~улла. Глава 3 АНАЛПТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ПОДСИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ.
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ 3.1. Постановка задачи. Подход к решению Одной пз основных задач аналитического проектирования интегрированных систем терминального управления (ПСТУ);1А является разработка алгоритмического обеспечения управляющих подсистем (УП), обеспечивающего минимизацию в реальном масштабе времени значения предсказываемой ошибки тертшнального управления. На первом этапе представляется целесообразным рассмотрение детерминированной модели уравнений движения ЛА прн условии, что вектор состояния х (1) доступен непосредственному измерению, а параметры ЛА и их изменение во времени априорно известны.
Кроме того, предполагается, что предсказываемое конечное состояние хар (г) в каждый момент времени определяется в виде явной функции от полного вектора значений текущего состояния. Прн принятых предположениях в соответствии с общей постановкой задачи аналитического проектирования УП ИСТУ, изложенной в равд. 1.5, рассматривается движение ЛА, описываемое уравнениятш вида (3.1) где х = (х„х„..., ха)т — и-мерный вектор состояния; и = = (иы иы ° ° ° иа,)т — т-меРный вектоР УпРавленпЯ; 1 С= [О, -г-саа)— независимая переменная (время). Предсказываемое конечное состояние определяется выражением х„р (г) = хрр (х (1), г).
В общем случае размерность вектора хар может быть меньше и. Обозначим через х,„„(1) текущее значение заданного конечного состояния системы. Сформируем вектор ошибки терминального управления в виде е Ф = хааа (1) — хрр (1). Задача аналитического проектирования УП заключается в определении закона управления и = и (х (1)), доставляющего мпнп- 56 мум функционалу ошибки терминального управления вида 1С 1 (.г (С), и (С)) = Ч'С(е (СС), СС) †, ~ Ч' (е (С), и (С). С) сСС (3.3) ! и обеспечивающего устойчивость замкнутой системы. Здесь С,— конечный момент времени управления.
Следует отметить, что известные методы аналитического проектирования систем, основанные на использовании классического вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина, динамического программирования Беллмана, метода аналитического конструирования регуляторов по критерию обобщенной работы А. А.
Красовского разработаны в полной мере и доведены до алгоритмов в замкнутой форме лишь для линеаризованных моделей объектов управления. В то же время характерной особенностью ИСТУ на основе предсказания конечного состояния является принципиальная невозможность линеаризацип существенно нелинейных уравнений движения ЛА, что связано с отсутствием программных траекторий. С целью преодоления указанных трудностей в настоящей работе используется достаточно общий подход, основанный на кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик уравнений дви'кения ЛА. В соответствии с указанным подходом наряду со сформулированной задачей рассматривается вспомогательная задача аналитического проектирования УП для модели двпжения ЛА с кусочно-линейными характеристпками: х (С) = С" (ез (С), и (С), С), (3.4) где /" (х (С), и (С), С) = А ' (С).с (С) + Вт (С)и (С) + с' (С), ч = 1. 2,..., Х, функция 1" (х (С).
и (С), С) в общем случае удовлетворяет усчовпю Липшица и, следовательно, не является непрерывно дифференцнруемой всюду. Именно зто обстоятельство не позволяет использовать известные методы аналитического синтеза, которые обоснованы и применимы для динамических объектов, характеристики которых удовлетворяют сильным условиям гладкости. Сформулированная задача аналитического проектирования УП для модели ЛА вида (3.4) представляет собой негладкую вариационную задачу на условный экстремум.
Для ее решения применим изложенный в гл. 2 метод решения негладких экстремальных задач. В настоящей главе. основываясь на этих результатах, для днпатшческпх объектов и критерия качества общего вида без предположений непрерывной дпфференцпруемости получены необходимые и достаточные условия существования оптимального решения сформулированной задачи аналитического проектирования УП, приведены основные положения качественной теории оптимальных процессов терминального управления, дано обоснование прямого метода Ляпунова обеспечения устойчивости. таблица а 1. ното у.—,„вяления ляя неавтономных го!нам!нескин объектов уьчгорптм термннальнопт у ! ан г конечнмм в)именем управления попель объслта уп(налепив х(т! = ! !!)г !!) а (!) ы!) + с'(!) М тлеть прелскаэываемого конечного состояния э!!! (!'(г(г(!)е ц'(О Критерна лачества (!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
