Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Следовательно, можно выбрать окрестности Н, и И» так, что норма отображения д„А (у), определяемая аналогично (2,20), удовлетворяет неравенству «1 д„А (у) ',~ ( 1. (2 -'-М Условие (2.24), согласно формуле конечных приращений для лнпшпцевых отображений (2.19), означает, что отображение А (у) пространства 1' при любом х Е= Ню является сжимающим. Следовательно, в соответствии с прннципом сжимающих отображений «531 существует единственная в окрестности И» точка у = = юр (х), для которой выполнено соотношение У = У вЂ” (вор (Тю(хю Ую): Тю ~-.=даН(хю Ую))Г'Н(х У) Прп зтои в силу условия 3 теоремы для точки у выполнено равенство Н (х, Я) = О.
Отображение ч (х) и есть искомое. Действительно, справедли во сть уравнения Н (х, ~р (х)) для любого х с= Н„докааана, а ра веягтво о (х„) =- у, вытекает пз единственности неподвп;кной т очки для отображения Л (у). Как следствие пз теоремы 2.3 вытекает следующая теорема о сущес1вовавпп обратного отобра1кения. Теорема 2.4, Пусть обобщенная производная локально липши цева отображения Ф (х) в точке хе принадлежит пространству нееырождеяных линейных операторов 6А (Х, 1'). Тогда сущест вуют окрестности У и Ь' точек хе и Ф (хе) соответственно и отобра жение гр: ру- Х такие, что Ф (~р (у)) = у для любого у — -- Д: Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим множество значений от ображения Ф (х) через у = Ф (х).
Рассмотрим отображение Н(х,у) =Ф(х) — у. (2.25) Очевидно, что в точке (хр, у,), где уа = Ф (х,), отображение (2,25) удовлетворяет условию Н (х„ур) = О, является локально-липшпцевым, и оообщенная производная д,.Н (х, у) принадлежит пространству линейных невырожденных операторов, имеющих ограниченные обратные. Таким образом, для отображения (2,25) выполнены условия теоремы 2.3. Следовательно, существуют окрестности У и И' точек хе и Ф (хе) соответственно и отображение ср: И'- Х такие, что Ф (<р (у)) = у для любого у е= 11'. Доказанные теоремы 2.3 и 2.4 обобщают на бесконечномерный случай результаты, полученные соответственно в (141) и (75).
Следующая теорема устанавливает условия существования обратного отображения ~р во всем пространстве Х. Теорема 2.5. Пусть отобран'ение Ф (х): Х вЂ” ~ У бана|ова пространства Х в банахово пространство У удовлетворяет следующим условиям: 1) отображение Ф (х) является локально-липшицевым в каждой точке пространства Х; 2) обобщенная производная д„Ф (х) в каждой точке х е= Х принадлежит пространству линейных невырожденных операторов, имеющих ограниченные обратные; 3) выполнено соотношение Пш ~1Ф (х) б — — оо при й х ~! —. оо. Тогда отображение Ф (х) взаимно однозначно в пространстве Х.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии с теоремой 2.4 выполнение условий 1 и 2 обеспечивает существование обратного отображения в каждой точке х е= Х. Следуя доказательству в работе (157), можно показать, что выполнение условия 3 обеспечивает взаимную однозначность отображения Ф (х) во всем пространстве Х. При решении практических задач условие 3 теоремы 2.5 неудобно для непосредственной проверки.
Однако часто встречаются случаи, когда область определения отобра;кения Ф (х) представляет собой часть пространства Х. В частности, когда область определения представляет собой выпуклое множество, условие 3 теоремы 2.5 может быть заменено на более простое условие. Теорема 2.6, Пусть отображение Ф: К-~ Н" выпуклого множества К С Н" на евклидово пространство Н" удовлетворяет условиям: 1) отображение Ф является локально-лппшицевым в каждой точке области К; 2) обобщенная производная д,.Ф (х) в каждой точке х ~ К принадлежит пространству невырожденных операторов; 3) для любого и-мерного вектора я квадратичная форма (и, ",и) (ье ~ д„Ф (х)) положительно (отрицательно) определена прп всех х ~ К.
Тогда отображение Ф (х) взаимно однозначно в области К, Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим две произвольные точки х„х, из области К такие, что х, чь хз. Покажем, что при выполнении условий теоремы Ф (х,) чь Ф (х,). Действительно, рассмотрим множество точек х (1) = х, + ~6, где 6 = х, — х„1 Е:— е= (О, 1). В силу выпуклости области К х (1) б= К. Рассмотрим функцшо Н (г) = 2, [Ф; (х (~)) — Ф; (х )1 6,.
1=т В соответствии с леммой 2.6 обобщенная производная отооражеыия Н (1) определяется выражением 1~ д,Н (~) = ~Ъ д,.Ф;,(х(~)) 6;6,. 11з условий теоремы следует, что (а, ~а) ) 0 (ь~ ~= д~Н). В силу леммы 2.8 существует точка с ~ [О, 11 такая, что и (1) — Н (О) — У,Н (Ц. Следовательно, Н (1) — Н (0) ) О, Н (1) чь Н (0). Отсюда следует, что Ф (х,) ч~ Ф (х,). Это неравенство доказывает теорему. Ооратнмся теперь в задаче оптимизации вида (2.11) с ограничениями типа равенств.
Следующая теорема дает необходимые условия существования экстремума в негладких задачах с ограничениями. Теорема 2,7 [114). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, à — открытое множество в Х, /: Г-~- В и К: У вЂ” + У вЂ” функция и отображение, локально-липшицевые в У, точка х' является точкой локального экстремума в аадаче (2.11). Тогда найдутся такие множители Лагранжа У е Л и у*' ~== Уе, не равные одновременно нулю, для которых выполнено условие стационарностп функции Лагранжа .Т (х", уа', У) = А'/ (х') + (у*', Г (х')). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Предположим, что х' есть точка условного минимума в задаче (2.11). Определим отображение 51 (2.30) Соотношение (2.30) означает, что множество д» (Ло, Ф (х')) содержит вырожденный оператор, который обозначим через 1!1! (хо). Ф (х): Г-+- В Х 1 в виде Ф (,) (1(,) ~(..), В(.)).
(2. 26) Отображение Ф (х), очевидно, является локально-липшицевым в Г. Прп этом обобщенная производная отобран'ения Ф (х) в точке хо определяется зъ!раженпем д Ф ( о) (д,У (хо) д В ( о)) (2.27) По свойству 2 1 множество д„.Ф (хо) принадлежит пространству линейных операторов Ь (У, В Х У). При атом возможно одно из двух: обобщенная производная д.Ф (х'), определяемая (2.27), принадлежит совокупности всех невырожденных линейных опе- раторов СЛ (У, В Х У), имеющих ограниченные обратные, плн д,.Ф (хо) не принадленсит совокупности СЬ (У, В х У). 1.
Рассмотрим случай, когда д„.Ф (х') С СЬ (У, В Х г). Тот да в соответствии с теоремой 2.4 существует окрестность Иг точ- ки (О, 0) == В Х ! и отображение !р: И'-+. Х такие, что для л!обых (а, у) ~ И' выполнено соотношение Ф (<р (а, у)) = (а, у). (2.28) Положим х, = !р ( — е, 0), е ) О.
Тогда из (2.28) и (2.26) следует 1(х,) — ~(хо) = — е> В(хо) = О, т. е. хо не является точкой условного минимума в задаче (2.11), что противоречит предположению. Следовательно, имеет место второй случай. 2. д„.Ф (х') не принадлежит пространству СЛ (С, В Х У). Определим на пространстве В Х 1' линейный ненулевой функ- ционал Л' Е= (В Х 'г) ":. При этом многозначное отображение (Л', д,.Ф (х')) не принадлежит пространству линейных невырож- денных операторов, т. е. (Ло дФ( о))~Сг(В Х 1» В) (2.29) Покажем, что многозначное отображение д„(Ло, Ф (х")) также не принадлежит пространству невырожденных линейных опера- торов.
По определению 2 1 имеем <Ло,д,.Ф( )> =«Ло,~>:,б=д,.Ф(хо)) = » = ((Ло, ь): ~ Е— : (,Я~ аоФ;: и Е= Л!,,Я~ а, = 1, о=! о=! а; ~)О, цэ; Е= ( )ип Ф' (х!)))1! . Отсюда с учетом (2.29) получаем, что д,. (Л', Ф (хо)) гт- С!. (В х У, В). 52 Тогда для ненулевого р ~= В и некоторых (а, у) Е= и х г полыеыо равенство (р, 1Ф (хо)[а, у[) = О. При этом для любых (а, у) <= В х у справедливо неравенство зпр ((р, <Ф (х')[а, у1: [Ф (х') <== до (Ао, Ф (хо))1 =..- О.
(2.31) Из свойства 2.4 обобщенной производной по направлены<о и свойства опорной функции выпуклого множества [1051 непосредственно следует включение[ О ~ д, (~о, Ф (хо)). В соответствии с леммой об общем впде линейного функционала ыа произведении пространства [21 из (2.32) получаем О ~:= д о: (хо уэо то) где <б(хо оо )о) )„оу( о) 1 ( оо х ( о)) (2.33) 2.4.
Достаточыые условия существоваш<я экстремума лппшицевых фуыкцпоналов 1[усть Х вЂ” баыахово пространство, У вЂ” открытое множество в Х, ~: У-+.  — локально-липшнцевый функционал. Рассмотрпа< задачу получения достаточных условий существования ми- 53 С учетом теоремы 2.1 соотношение (2.33) представляет собой условие стационарности функции Лаграпя<а. Доказанная теорема представляет собой обобщение принципа множителей Лагранжа решения задач на условный экстремум оез предположения выпуклости и гладкости. Следует отметить, что в [1401, используя понятие обобщенного градиента, получен лип<ь ослабленный вариант принципа множителей Лагранжа для липшицевых отобран<ений. На основе понятия обобщенной производной по направлеыню в [401 получено обобщение принципа множителей Лагранжа, записываемое в виде неравенств. Это затрудняет его использование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
