Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 12
Текст из файла (страница 12)
является опорной функцией множества д„~ (х). Из свойства опорной функции выпуклого множества с учетом неравенства (2.!0) следует справедливость включения (2.9). Пусть теперь х" является локальным максимумом в задаче (2.8). Рассмотрим эквивалентную задачу исследования на минимум функционала ~ (х) = — ~ (х).
Используя свойство 2.6, имеем УО(х о) .— ( (О) (х. в) 10(х г) = — )Пилар [ — ~(х + р — аи) + ~(х + р)]!а = с а я~О = Пш енр [((х + [)) — ~ (х + [1 + ог)]/сс «О. а а и'~а Отсюда следует справедливость включения (2.9). Доказанная теорема является обобщением теоремы Ферма [2] для лнпшицевыл функционалов. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу исследования на экстремум функции ) (х) = !х ~. В точке х' = 0 функция ) (х) = =' ,х ~ достигает минимума (см.
рис. 2.1). Записать аналитически необходимые условия минимума втой функции в виде ~'(х) = = О ко представляется возможным, так как обычная производная в точке х" = 0 не существует. Однако для функции )(х) = !х ~ всюду существует обобщенная производная в смысле определения 2.1. Прн этом в точке х" = 0 д„.~ (0) = [ — 1, +1], н, следовательно, выполнено условие 0 = д,.~ (0), т.
е. в точке х~ = 0 выполнены необлодимые условия существования экстремума. .3. Необходимые условия существования экстремума в негладких задачах с ограничениями типа равенств Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, 1/ — открытое множество в Х, /: (/- Л н 1': 1/- У вЂ” функционал и отображение, локально-липшицевые в точке х~. Рассмотрим задачу оптимизации с ограничениями типа равенств вида /(х)-» ехьг, Р (х) = О. (2.
11) Точка х' называется точкой локального экстремума в задаче (2 11), если существует окрестность И' точки х' такая, что х' есть решение задачи / (х) -» ех$г для всех х Е= (/ ( ) И', удовлетворяющих условию г' (х) = О. Докажем ряд вспомогательных лемы (114). Лемма 2.6. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, у = = Н (х) — локально-липшпцево отобра'кение, х = хо + 16х, / ~=- 6= А.
Тогда справедливо равенство дсН (х (1)) = д,.Н (х) х; (/).[ (2.12) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассыотрим отображение Н в точке х -~- /~„которая соответствует значению 1 + тэ ~ А, где существуют производные в смысле Фреше для Н и х. Дадим 1+ т приращение Ы. Тогда х + й, получит приращение Ьх, и у дадим те приращение Ьу. Рассмотрим тождество (йу/Ы) = (Ьу/Лх) (Ьх/Ы).
(2.13) Из (2.13) и непрерывности отображений Н и х следует существо ванне следующих пределов при Ы вЂ” » О: 11ш [НИ+[т,[+ Ь|)[ — НИ+ т,)1/Ь~ = 1йп [Н(х+ й, + Ьх)— ы о э о 1Н (х + ЬрД/Ьх' 1мп [х (1 + т + Ь|) х (~ -'г т )1 й/ ° (2.14) По определению производной Фреше, равенство (2.14) эквивалентно соотношению Нс (г + тэ) = Н, (х + но) А (1 + тэ) (2.15) Рассмотрим пределы правой и левой частей равенства 2.15 п и тэ-» О (й,-» О). Имеем 11ш Н[(С + т,) = [11ш Н, (х + /~э)) .тл (г) »ь о л„О При этом справедливо равенство сопч (11ш Н~ (1 —,,т,)) = сопч ([11ш Н„. (х + Ь,)1 х' (~)). ~ о Здесь хг (Е) = бх = сопз(. С учетом обозначения для обобщенной производной локально-липшицева отображения имеем д,Н (Е) = сопч ([1(пг Н„(х + 6,)1 бх).
(2.(6) л;о Рассмотрим правуго часть равенства (2Л6). Из определения выпуклой оболочки получим сопгг ([1Еш Н„(х + !го)]бх) = сопи(Й;бх: г = (,2...,) л;о = (;~~~ аей,бх: Я~ ат — — 1, а; ~ )О) = Д', а;Не) бх = 3 3 = соггч (1Еш Н„(х + йо)) бх = д,.Н (х) бх. л-о о Отсгода вытекает требуемое равенство (2.(2). Лемма 2.7 Пусть Е (Е):  — ~  — локально-липшнцева скалярная функция скалярного аргумента, определенная на отрезке Ио, Ег1 В, удовлетворяющая условию Е (Ео) = Е (Ег).
Тогда на отрезке [Ео, Ег1 существует точка $ такая, что 0 Е= б— : д,Е (з). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как Е (Е) непрерывна на отрезке [Ео. Ег1, то она принимает на нем свои наибольшее Е (Е) = М и наименьшее Е (Е) = т значения. Возмоогоны два случая: М = т или М ~ т. !. Пусть оМ = т. Тогда Е(Е) = сопел и, следовательно, 0 ~ ~== дгЕ ($) для лгобого $ ~ [Ео, Ег1. 2. Пусть теперь М ~ т, Так как Е (Ео) = Е (Ег), то функция Е (Е) принимает на отрезке какое-либо значение М или т. Следовательно, существует точка $ Е= [Ео, Ег1, являющаяся точкой экстремума.
Тогда в соответствии с теоремой 2Л в точке ~ выполнено вклгочение 0 б= д,Е Д). Лемма 2.8. Пусть Е (Е): В -г-  — локально-липшицева скалярная функция скалярного аргумента, определенная на отрезке [Е„(г[ С В. Тогда существует точка $ Е= [Ео, Е,1 такая, что выполнено соотношение Е (е,) — Е (е,) д Е (з)(е — Е.) (2Л7) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Расслштрим функцию (Е (Е) = Е (Е)+ + г(Е), где функция Г (Е) — Е (Ео) [Е (Ег) Е (Ео)1(С Ер)l(гг Ео) Д представляет собой уравнение отрезка, соединяющего точки (Ео. Е (Е,)) н (Е„Е (Ег)). Заметим, что функция гЕ (Е) удовлетворяет условиям леммы 2.7, так как гЕ (Е,) = гЕ (Е,) = О. Тогда существует точка $ ~х [Е„Ег[ такая, что 0 ~-= дггЕ Я).
По свойству 2.7 имеем дг ( Я) + г (с)) ': дгЕ (В) + д г (Ы. 47 Отсюда получаем, что О ~ 41 Ф вЂ” [1 (1о) — 1 (1о)[/(1~ 1о) (2.18) 1(1о) — 1По) ~ до1 (оН1~ — 1о). Так ьак с=1 а ' = о + 0 (1 — 1) для некоторого 0 Е— : [О, 1), то соотношение (2.18) можно эквивалентно переписать в виде 1 (1,) — 1 (1,) Е= д,1 (1о + 8 (1, — 1о))(1, — 1о). Тео ема 2.2. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, Н— открытое множество в Х, отрезок [ „р;; Х - Т вЂ” локально-лппшпцево отображение, определенное на О, Ьх=х — х,. Тогда справедливо неравепство ЦН(х) — Н(хо)Ц «апр ЦдоН(Е)Ц ЦЬхЦ, (2Л 9) "о=1', 1 где Ц доН (х) Ц = шах (Ц й Ц: я ~:— д„Н (х)).
(2. 20) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у* Е= У* — произвольный линейный функционал. Рассмотрим чпсловуоо функцию вида 1(1) =(уо,Н(х,+1 Ьх)), 1Е=В, 0<1«1. Функция 1(1) является локально липшицевой по 1 и, следовательно, имеет в точке 1 Е= [О, 1! обобщенную производную. В соответствии с лемтюй 2.6 имеем д,1 (1) = <у*, д„Н (х, + 1Ьх) Ьх>. Учитывая, что (уо, Н (х) — Н (х,)) = 1 (1) — 1 (0), по лемме 2.8 получим, что существует 0 ~ [О, 1! такая, что (у'", Н (х) — Н (х,)) о:= до1 (8). ('2.
21) Вычислим норму правой н левой частей выражения (2.21). С учетом (2.20) получим неравенство [<у',Н(.) — Н(,)>!«Цу Ц ° р,[[д„Н(х,—,0Ь.)Ц ЦЬ. Ц. , ая1о,п (2.22) Выберем ненулевой функционал уо так, что <у*, Н(х) — Н(.)> =$Цу*Ц ЦН(х) — Н(х.) Ц. Такой функционал существует в силу следствия теоремы Хана— Банаха [55!. Прн этом пз (2.22) получаем неравенство (2.19), которое можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для недифференцируемых функций [55!.
Справедлива следующая теорема о неявной функции для липшицевых отображений. Теорема 2.3 Ц141. Пусть Х, 1", Л вЂ” банаховы пространства, Н С Х, И' С У вЂ” окрестности точек х, и у соответственно и Н вЂ” отображение 0 х И' в Я, обладающее свойствами: 1) Н(х,,ую) =О; 2) Н (х, у) удовлетворяет условию Липшица в точке (х„у,); 3) обобщенная производная д„Н (х, у) принадлежит пространству 6Е (Х х У, Л) невырожденных линейных операторов, имеющих ограниченные обратные.
Тогда существует окрестность Н, С Н точки хю и отображение юр: Н-ю. И" такие, что Н (х, юр (х)) = О для любого х ~ (»ю, н выполнено условие юр (х,) = у,. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что окрестность 1»'ю точки хю настолько мала, что у, ~ И',. Рассмотрим определенное на И» отобреюкение А: 4 (у) = у «зпр (Ти (хю ую): Тэ ~=— дюН (хюю ую))1 юН (х у). Заметим, что уравнение .4(у) =у (2.23) равносильно уравпеншо Н (х, у) = О в силу условия 3 теоремы.
Для доказательства существования решения уравнения (2.23) применим принцип сжимающих отображений. С этой целью покажем, что отображение А является сжимающим для достаточно мался окрестности 1)» такой, что х ~= Н . Вычислим и оценим по норме обобщенную производную отображения А. Имеем дюА (у) = = Š— «зир Т„(хю, у,)1 'дюН (х, у) = = «зпр Т (х, у )1"' «зпр Тэ (хю, у ) — дюН (х., у)1. В силу свойства 2.3 отображение д„Н (х, у) полунепрерывно сверху в точке (х„ у,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
