Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Так как в рассматриваемом случае выполнены условия теоремы 3.9, то решение 5 (1) = — 0 ОУЭЛ устойчиво по Ляпунову. Поэтому найдется такое положительное число 6 (е), что для всякого решения $ (1) ОУЭЛ> 82 проходящего при 1 =1о череа точку 5о = ч(4о го) и$оИ~ б для всех 1) 1о выполняется неравенство й 5 (1) ~! ~( е. Покажем, что при этом выполняется равенство 11ш $(1) = О. с Так как решение 5 (1) = 0 устойчиво по Ляпунову и облш;ть '9 ~ (1) й ~~ е огРаничена, то множество Й (со) а-пРеделькых точек любой траектории 5 ($„1) не пусто.
Так как У Я) является определенно-положительной функцией, не возрастающей вдоль;нобого решения ОУЭЛ, то для любого $ (1) = $ ($„1) существует предел 1 Ип У ($ (1)) = У ($о). Пусть точка д с-= Й ($о) есть ю-предельная точка траектории ~ ($„1). Тогда У (д) =- У (~о). В соответствии с теоремой 3.7 для каждой ю-предельной точки д Е= оо ($ ) существует траектория $ (о, 1), вся состоящая иэ ы-предельных точек траектории с ($„1), т. е. В (ч, Х) ~ 11 (а.) для всех — оо ( 1.~ +со.
Тогда й' Я (д, 1)) = У ($,) = сопа1. Из условия 3 следует, что $" (ьо) = О. Так как К Я) является непрерыъной положительно определенной функцией, то последнее эквивалентно равенству 1йп$(~„1) = О. При решении некоторых практических задач более аффективной может оказаться проверка условий неустойчивости процессов управления. Имеет месхо следуоощая теорема.
Теорема 3.11 (о неустойчивости). Пусть в некоторой окрестности 0 начала координат пространства Ло" существует непрерывно дифференцнруемая функция У ($), являющаяся положительно определенной и неограниченно возрастающей вдоль какого-либо решения с (1) ОУЭЛ (3.82). Тогда решенно ь- (1) = 0 неустойчиво по Ляпунову. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть 5 (1) есть решение ОУЭ.1, вдоль которого функция неограниченно возрастает. Предположим, что решение ~ (1) остается при всех 1) 1, внутри окрестности У. Но тогда в атой области функция $', будучи непрерывной, необходимо ограничена, что противоречит условию теоремы. Следовательно, решение $ (1) при 1) 1о покидает область Г, что н доказывает неустойчивость решения $ (1) = 0 ОУЭЛ (3.82). Сформулированные теоремы 3.9, 3.10, 3.11 позволяют исследовать устойчивость равновесного движения замкнутой оптималь- ной системы терминального управления в некоторой достаточно малой его окрестности, т. е. устойчивость в малом. Однако дл„ нелинейных систем терминального управления с предсказанием коночного состояния, устойчивых в малом, необязательно следует устойчивость прп больших отклонениях от равновесного движе нпя. 1(роме того, установившиеся движения в нелинейных сиота мах могут иметь сложный характер и располагаться в некоторои ограниченной области Я; пространства решений ОУЭЛ В связи с этим с практической точки зрения при определении точности функционирования замкнутых систем терминального управления важным является определение всей области пространства состоя нпй, внутри которой заключена совокупность возможных предель ных движений (предельная ограниченность решений), исследо ванне устойчивости таких систем по отношению и множеству Я п определение количественных оценок области притяжения С (Я ) множества Я= (устойчпвость в большом), исследование устойчйвостп в целом (когда область С (Я~) совпадает со всем пространством состояний).
Использование идей прямого метода Ляпунова позволяет аффективно решать указанные задачи. Введем ряд определений. Определение 3.6. Областью асимптотической устойчивости (областью притяжения) С (Я) некоторого множества Я С Д'-", включающего в себя начало координат $ =- О, называется множество точек пространства Де", обладающее том свойством, что все решения ОУЭЛ, начинающиеся в этой области, прп 1 — э оо стремятся с множеству Я, т. е. (3.84) Определение 3.7. Асимптотически устойчивым множеством (областью установившихся решений) Яз ОУЭЛ называется минимальное множество, обладающее тем свойством, что для любого решения $ Я (1,), 1), начинающегося в области С (Ь~), т. е.
$ (~,) Е= Е— : С (Я~), п для любого сколь угодно малого е 0 можно указать такое число Т Д (1,), е) ) О, что прп 1) Т расстояние Р ($ ($ (г,), Г), И ( е, где Л С Я; — некоторое множество точек пз Ю-„. В соответствии с определением 3.4 ю-предельной точки траектории область установившихся решений представляет собой объединение ю-предельных множеств всех решений ОУЭЛ, начинающихся в области С (Яз), т. е. ~в= 0 0 " йй(10) 1). (3.85) ц~лащз~> ~дкл,и Определение 3.8.
Решение ОуЭЛ (3.82) называется предельно ограниченным, если асимптотичоски устойчивое множество (3.8б) ограничено. Таким образом, множество Я~ включает в себя множество всех установившихся решений ОуЭЛ, и его размеры характеризуют максимально возможные отклонения по координатам $; (1) в ста ционарных режимах работы системы терминального управл< ппя. Множество 6 (Я;) определяет область работоспособности системы по начальным условиям т; (Г,).
С практической точки зрения при определении точности работы системы терминального управ;н.— ния в установившихся режимах имеет смысл определять не какой- нибудь конкретный тнп движений, а всю область пространства состояний, внутри которой заключена совокупность возмо'кных предельных движений. Следующая теорема позволяет получить оценку сверху области установившихся решений ОУЭЛ. Теорема ЗЛ2 (о предельной ограниченности). Пусть Р— некоторое замкнутое ограниченное множество и 17"', включающее в себя точку $ = О, и пусть существует непрерывно диффереипируемая функция г' (~), однозначно определенная в 11'", удовлетворяющая условиям: 1) УД))0 при 5.р-"Р; 2) К (~) — ~ со при 3' $ )(-+ со; 3) У Я) не возрастает по 1 для любого решения $ (~) ОУЭЛ, пока 5 (Е) С Р', где 1" == 6 (Я;) ~,Р.
Тогда все решения ОУЭЛ (3.82) прп Ц (Х„) ~ С (Я.,) предельно ограничены, а оценка сверху Ь'~ аспмптотпческп устойчивого множества дается соотношением Ю;. = [с ~ 11": р (с):=.'. 31 =- еир К Я)). (3,86) в.- н Д о к а з а т е л ь с т а о. По условию теоремы функция У ($) ограничена снизу и монотонно убывает всюду в дополнении Р' некоторого замкнутого ограннчешшго мпонгества Р и, следова- тельно, должна стремиться с конечному пределу.
В 1" отсутствуют предельные точки, так как У ($) монотонно убывает при $ Е= Р', Это означает, что любое рсшеппс, начинающееся в Р', 5 (1,) Е= Р', при некотором ~ =- Т входит в множество Р, Допустим, что при некотором Т* ~ Т решение покидает множество Р. Рассмотрим множество значений ье Я (Т""), Е) при $ (Тв) ~ Р. Это множество ограничено, и функция $~ (Е) достигает на пем своей точной верх- ней грани апр р ('С) ==- ЛХ, цт*)ыР Отсюда непосредственно следует, что если решение $ (1) оказалось во множестве Р, оно уже никогда не покинет множества Я, опре- деляемого соотношением .у; = Д Л'": р (Ц ( ЛХ = зпр У Д)) $<=Р При последовании устойчивости или предельной ограниченности Решений важно знать область начальных отклонений, прп которых сохраняется устойчивость системы, т.
е. необходимо иметь ко- 85 личегтвенные оценки области притяжения 6 (Яг) множества 3 Следующая теорема позволяет определить количественную оцени, 6 (Я;) снизу. Теорема 3,13 (об устойчивости в большом). Пусть б С да замкнутая область пространства Я'", в которой определена функ цпя Г (Е), удовлетворяющая условиям: 1) Г($) ) 0; 2) Г(Е) — + оо прп Ц К Ц вЂ” ~- оо; 3) Г (В) не возрастает по 1 для любого решения $ (г) ОУЭЛ прп $ (1) ~= Р', $ ч~ О, где Р— некоторое замкнутое ограниченное множество, включающее в себя равновесное состояние Е (~) = 9 Тогда любое решение Е (1) ОУЭЛ, начинающееся в области 6 (Я~), з (~0) Е= 6 ф~) является предельно ограниченным, а область 6 (Я;) есть оценка снизу области притяжения множества Я, прн чем 6(Я~) = ДЕ=В:Г(Е)(Ь = (п( Г(Е)), ;-ИЖ (3.87) где Ггб — внеоеняя граница области 6'.
Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании доказаннык теорем 3.9 и 3.12 об устойчивости и предельной огранпчегнюстп решений ОУЭЛ заключаем, что прн выполнении условий теоремы все ре шенпя, начинающиеся в области 6 (Я;), стремятся к аснмптотн чески устойчивому множеству Я~. Рассмотрим случай, когда область притяжения 6 (Я;) совпадает со всем фазовым пространством решений ОУЭЛ. Введем определенпе. Определение 3.9. Асимптотнческп устойчпвое множество Я~ ОУЭЛ устойчиво в целом в подпространстве 6 ~ В'", если область притяжепня 6 (Яз) асимптотпческн устойчивого множества Яа совпадает с подпространством 6, т. е.
6 (Ю«,) =- 6. Имеет место следующая теорема. Теорема 3.14 (об устойчивости в целом). Пусть в подпространстве 6 С' Ва" существует непрерывно дпфференцгруемая однозначно определенная скалярная функция Г (Е), удовлетворяющая условиям: 1) Г (Е) ) 0 прп Е~ЯЯ;; 2) Г (Е) = сопз$ = 0 прп Е е= РгБ:; 3) Г (Е)- прп 8' Е )~, стремящейся к границе гг6; 4) Г (Е) не возрастает по г для любого решения Е (г) ОУЭЛ, пока Е (Ю) ~ 6'~ Я;. Тогда асимптотнчески устойчивое множество Я; ОУЭЛ устойчиво в целом в подпрострапстве 6.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что множество Я; устойчиво по Ляпунову. Предположим противное. Тогда существует число ~1 ) О и последовательности 6» — ~- О, $» ~== Я (Я~, б») и ~~ такие, что р Я Я», г), Я~) «, ц при О ( г ( 1» и р ($ ($», г»), Юа) = = Ч где $ ($». т) — некоторое решение ОУЭ,1!, начинающееся в момент 1» в точке $». В силу условия 4 теоремы справедливо не- равенство 1 (ь (ь» "»)) «1 ($»). Пусть )» = 1пг»' Д) для $ замкнутого многообразия р Я, Я~) =- »1. Из условия 1 теоремы следует, что р ) О. Тогда нз неравенства получаем, что и ~~ »' (з»). Правая часть полученного неравенства при 6»-э.
О стремится к нулю, а левая — положительная и от к не зависит. Полученное противоречие доказывает теорему. Метод функций Ляпунова в общем случае позволяет проводить оценивание глобальной макроструктуры пространства состояний замкнутых оптимальных систем терминального управления на основе принципа достаточпости, т. е. каждая конкретная функция Ляпунова К Я) определяет оценку сверху аспмптотически устой- чивого множества и оценку снизу его области притяятения. Иногда зги оценки с практической точки зрения могут оказаться весьма грубымп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
