Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Возникает важная проблема построения функций Ля- пунова, для которых достаточные условия устойчивости в боль- шом н предельной ограппчешюстп близки к необходимым. Пусть У* = — (1" Я). М„, ~ ~ 1Ч) — некоторое множество функ- ций Ляпунова»" (с), дающих достаточные условия предельной ограниченности решений ОУЭЛ относительно аспмптотическп устойчивого множества 5;., Х == (1, 2,...), М, — константа, определяющая оценку сверху У, области установившихся двин~е- ний, доставляеиую функцией Ляпунова Ъ Я), Я; = (ь: р ($) ~~ ~~~М»), причем в области С (Ь~)'~Я; ~ ф функции Р (К) непрерывно дпфферепцируемы по Определепие ЗЛО, й1по;кество С (Я-,) == Д С' (Я;), где С' (Я;)— киям оценки снизу области притяжения С (Я;) ОУЭЛ, достав- ляемые функциями Ляпунова 1" (Е) ~== Ре, называется мак- симальным подмноя;оством области асимптотической устойчиво- сти С (Я.„), определяемым с помогцыо фупкцпп У' (Е) нз допусти- мого класса функций Гв.
Функцию Ляпунова Р (К) =' Р»*, где Р" — класс возможных функций Ляпунова ОУЭЛ (т. е. 1»ч Я)— непрерывно дпфференцпруема, 1 Я) ) О прп %" (К) — + оо, ЦКЦ вЂ” васо прп Ц$Ц вЂ” «со, 1г'(Е) = — О при $ ==Оп У'Я) не воз- растает вдоль любого решения ОУЭЛ), назовем оптимальной, если доставляемая ей оценка С (Яа) области притяжения С (Я=) множества Я~ точно совпадает с областью С (Яа), Имеет место следующая теорема.
Теорема 3.15 (о существовании оптимальной функции Ляпу- нова). Пусть имеется оценка сверху Я, области установившихся решений ОУЭЛ, полученная с помощью функции 7 ($), т. е. Г-',. = Д: 1- Д) =.. М.) ~ С (Я:) г«п' д . Г (г) = ду ) — граница множества Яг, не годер жащая отрезков решений, начинающихся в области С = С (Яг)' юз. Тогда в области С существует непрерывно дифферен, „ по $ оптимальная функция Ляпунова Г Я), равная нулю на,п, жестве Р«Ьг п дающая точную оценку С (Я~) области ас ческой устойчивости С фГ).
Доказательство. Построим в прострапс е дм1 ницу Р«о множества ь~ и рассмотрим совокупность (г д (Г решений УЭЛ с начальными условиями ~ (г,) ~:= С В „. функции 17 ($) выберем максимальное время у (г («)) вдоль непрерывной траектории среди всех решений ОУЭЛ кающихся из точки $ (га) Е= С до попадания нзображающеп $ (г) на граняцу Р«д;.
В соответствии с построением ф °,к пя (« является непрерывйо дифферепцируемой по г поло .„ определенной в области С и равной нулю па тра г ~ /«у' ства Я;. При атом, очевидно, )7 (г)— функция Г ($) не возрастает по ~ для всех решений ОУЭЛ и су ществует всюду в С. Таким образом, в соответствии с теоремой 3.14 об устойчивости в целом в пространстве С относительно Я= финк -т з ция Г ($) позволяет вычислить оценку снизу б. (Я;) С Яя, сов падающу|о с областью притянгения С (Я~). Прп использовании теорем прямого метода Ляпунова об устойчивости систем терминального управления возникает необходимость проверить, что функция Ляпунова Г Я) но возрастает вдоль решений ОУЭЛ.
Следующая теорема позволяет проверить это свойство без какого-либо знания решений. Теорема 3.16. Пусть заданы непрерывно дпфференцпруемая определенно положительная функция Г = Г ($) н скалярная многозначная функция И«, определяемая соотношением И«($) = ((дГ/д$)~: ~ (/) е= Е ($ (г))), (3.88) где ь (~) — некоторая суммпруемая функция, причем зпр И' (~) «( ( 0 для каждого $ нз области определения. Тогда функция Г (/) == Г (Е (/)) не возрастает вдоль любого решения ОУЭЛ. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1 (/) — произвольное решение ОУЭЛ.
В соответствап с теоремой 3.3 $ (/) удовлетворяет условию Лнпппгца. Рассмотрим функцию Г =-: Г (~) п вычислим ее производную на произвольном решении З (/): 1~ (~) = (д Г/д$) 3(/). Здесь проиаводная; (/) рассматривается в точках, где опа суще- ствует. По определеншо решеппя ОУЭЛ, $ (~) е=- Б Ы (~)). Следовательно, можно записать, что р Я ~ ((дНдВ) ~: Ц (т) ~ Е К (г))) или, сравнивая с выражением для И~ (с), 1п( И' ~( Р (г) ~( зир И", з Непосредственно пз условия теоремы следует г (Е)<0. Отсюда видно, что функция У (Е) = Р (Й (Е)) не возрастает вдоль любого решения $ (г) ОУЭЛ.
3.6. Алгоритмическое обеспечение управляющих подсистем з (ю) = А (г)л (г) + 8 (г)и (х) + с (г), (3.89) где каждое из уравнений справедливо в соответствующей области. Кроме того, рассматривается следующая модель с кусочно-линейнымп характеристиками для предсказываемого конечного Основной целью процесса аналитического проектирования управляющих подсистем является получение алгоритмов оптимального терминального управления в замкнутой форме. Сформулированные в предыдущих разделах теоремы существования оптимального решения и критерии обеспечения устойчивости составляют достаточно общий метод решения задач оптимального терминального управления.
Однако эффективность разработанного метода, как, впрочем, и любого метода синтеза, определяется совокупностью условий, при которых основные соотношения метода могут быть доведены до алгоритмов в замкнутой форме. Решение атой задачи определяется в основном способом построения модели движения ЛА, а танные выбором вида критерия качества. Таким образом, формирование структуры модели объекта управления н вида критерия качества определяется, с одной стороны, необходимостью достаточно полного учета физических особенностей функцноннровапия ЛА и цели управления, а с другой стороны, возмонсностью получения алгоритма управления в замкнутой форме, т. е. как функции текущего вектора состояния ЛА. В достаточно полной мере указанным требованиям удовлетворяет развиваемый в настоящеи работе подход к решению задач оптимального терминального управления, основанный на кусочнолпнейпой аппроксимации нелинейных характеристик и представлении критерия качества терминального управления в виде интегрального функционала квадрата ошибки терминального управления.
В соответствии с указанным подходом рассматрнвается модель уравнений движения ЛА с кусочно-линейными характеристиками вида состояния как функции текущего вектора состояния; у (1) =- В» «)х «) + о( «). (3.90) Критерий качества функционирования системы терминального управления запишем в виде ~ (х (1), . «)) = Я,) й уооа (11) — 0'(11) х (11) — а (11)!Ф + с1 + (~/О) ~ 6 Уоаа «) .0 (1) Х (1) — О(» «)~~О1О + ~~ и (1) ЦОН< ) С11. (3.91) Здесь у»о (1) — заданное конечное состояние.
Задача аналит„ ческого проектирования заключаетсн в определении закона управ ленпя и = и (х (1)) как функции текущего вектора состояния, доставляющего минимум функционалу ошибки терминального управления (3.91) и обеспечивающего устойчивость замкнутой оптимальной системы. Следующая теорема позволяет конкретизировать пеобкодимые и достаточные условия существования оптимального решения в задаче аналитического проектирования УП систем терминального управления для выбранной ашдели уравнений движения ЛА (3.89) и заданного критерия качества терминальпого управления (3.91). Теорема 3.17.
Управление ио (1) с соответствукнцим решением а' (1) является оптимальным решением задачи аналитического проектирования (3.89), (3.91) в том и только в том случае, когда существует вектор-функция р' (1) Е= И" ( . 11"*) такая, что выполнены условия: х' «) = А» «)х' (1) -~- В» (1)и (1) + с" «); р' (1) = — Р»~ (1)1? (1)()1» «)х' (1) + о(» (1)) — А"г (1)р'(1) + + В" (1) ? «)у.;.
Р) х' Р) ~.= Х" Е= сонь- ( — Й»т (1)Д (1)(П» (1)х' (1) + гМ» (1)) — А "т (1)р' (1) + + ):)»~ (1)<? «)у, «). г)<»+ыт (1)(? (1)(~)».т (1)хо «) ' г(»ог (1)) 4< '~т (1)ро (1) -)- ,(м»+Ыт (1)(? «)у «)) хо (1) ~== Х» ( ~ Х»+о О~»+ >т «у(1)р+~(1)Хо(1) ( СК»+П«)) А<»+Мт (1)р'(1)+ + О " т «)(? (1)у„, «), ' (1) ~= Х'; (3.92) с граничными условиями (1о) хо (3.93) р' «) = О»т (1 )АД» (11)х' (11) — Д~~ (1~)Я1 (уооа (11)— — д» (1,)), (3.94) где оптимальное управление определяется соотношением и' (г) = — В ' (о)В»г (й)ро (1) (3.95) почти всооду.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (хо (1), ро (Г)) — оптимальный процесс для рассматриваемой задачи аналитического проектиро- вания УП (3.89), (3.91). Заметим, что для рассматриваемой задачи выполнены условия теорем 3.1 и 3.2, и функция Я (х (1), и (г); р (1), Х) имеет вид Я (х (Е), и (Ю); р (Е), Х) =- р (й)(А (Е)х (Е) + В» (г)и (Е) + с (Й)) — Р ( /о) ~~ рооа(Й) — ЕЭ (г) х(с)— д»(г) цо )~(1у ) Ц и (г) Ц~~, (3.96) В соответствии с теоремой 3.1 существуют множители Хо ~ Д', ро (т) ~ И'(, Лов), пе равные одновременно нуоно, и такие, что оптимальный процесс, (хо ( ), и (~)) является решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа вида хо (~) —,— д<„.~ Я (х" (Е), ио (1); ро (1), ),о), рО (С) о-= д„< ~ ( Я (ХО И), иО (Е).
рО (Г) Р,„<О~)) (3.97) (3.98) с граяпчными условпямп (1о) .= хоо (3.99) РоЯ =(1/о) дои> 1~ 9„з(Р~) — В (~~) хо(~~) — Ы~(1т)$,, (3.100) где оптимальное управление определяется па выражения О=д„о>Я(хо(1), о(1); Ро(Г), )'). (3.101) Покажем, что для рассматриваемой задачи выполнены условия регулярности, т. е. множитель ).о не равен тождественно нулю.
Предположим противное. Пусть Хо:= О. Так как по условию теоремы ро (г) н О, то пз анализа соотношений (3.96) п (3.101) следует, что оптимальное управление должно доставлять минимум функции вида р' (1)В (г)и (0. Но данная функция в открытой области определения не достигает экстремума нп в одной точке.
Следовательно, предположение о том, что ).о == О, неверно. Без потери общности положим )о = 1. Тогда, вычисляя обобщенную производную в выражениях (3.97), (3.98), (3.100), (ЗА01) в соответствия с определением 2.1 и обозначением (3.96), получим доказательство теоремы, Теперь задача аналитического проектирования УП систем терминального управления заключается в получении решения обобшенного уравнения Эйлера — Лагранжа (3.92), (3.95) с граничными условиями (3.93), (3.94). Предварительно покажем, что для выбранной модели уравнений движения ЛА с кусочно-линей- 91 нымн характеристиками (3.89) и заданного интегрального квад ратичиого критерия качества (3.91) обобщенное уравнешге Эйлера — Лагранжа имеет единственное решение. Этот результа является основным следствием качественной теории аналитич ского проектирования УП, изложенной в и. 3.4. Доказательство единственности решения обобщенного уравнения Эйлера — Ла гранжа основывается на понятии множества достнжимостп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
